高中数学高考一轮复习一轮复习 第五节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象

课时作业(二十六)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的简图是()A[令x＝0，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B，D.由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝0，排除C.]2．要得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移eq\f(π,12)个单位长度B．向右平移eq\f(π,12)个单位长度C．向左平移eq\f(π,3)个单位长度D．向右平移eq\f(π,3)个单位长度A[∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))，∴要得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度．]3．(多选)(2023·湖北恩施月考)将曲线y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,5)))上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴的方程为()A．x＝eq\f(3π,80) B．x＝－eq\f(3π,80)C．x＝eq\f(3π,20) D．x＝eq\f(13π,20)CD[由题意，得变换后的函数解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,5))).令2x＋eq\f(π,5)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝eq\f(3π,20)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，所以得到的曲线的一条对称轴的方程为x＝eq\f(3π,20)或x＝eq\f(13π,20).故选CD.]4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))＜π)的图象如图所示，则()A．ω＝3，φ＝eq\f(π,4) B．ω＝3，φ＝－eq\f(π,4)C．ω＝6，φ＝－eq\f(π,2) D．ω＝6，φ＝eq\f(π,2)A[由题图可得A＝1，eq\f(1,4)·eq\f(2π,ω)＝eq\f(5π,12)－eq\f(π,4)，解得ω＝3.所以f(x)＝sin(3x＋φ)，因为f(x)＝sin(3x＋φ)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，所以φ＝eq\f(π,4)＋2kπ，因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))＜π，所以φ＝eq\f(π,4).故选A．]5．(多选)(2023·玄武区校级月考)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中正确的是()A．φ＝eq\f(π,3)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))是f(x)图象的一个对称中心C．x＝eq\f(π,12)是f(x)图象的一条对称轴D．f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递减ABC[∵函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)，若将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，得到函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ－\f(π,3)))的图象．再根据所得图象关于原点对称，可得φ－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，∴φ＝eq\f(π,3)，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，故A正确；令x＝eq\f(5π,6)，求得f(x)＝0，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，0))是f(x)图象的一个对称中心，故B正确；令x＝eq\f(π,12)，求得f(x)＝2，为最大值，故x＝eq\f(π,12)是f(x)图象的一条对称轴，故C正确；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))时，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上单调递增，D不正确，故选ABC.]6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，f(x)的最小正周期为π，且f(0)＝eq\r(3)，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f(0)＝eq\r(3)且|φ|<eq\f(π,2)得到φ＝eq\f(π,3).答案：2；eq\f(π,3)7．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移eq\f(π,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________．解析：y＝y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).答案：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为____________．解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(π,2)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋φ))＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＋6，结合表中数据得eq\f(π,2)＋φ＝2kπ，k∈Z，可取k＝0，则φ＝－eq\f(π,2)，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,2)))＋6＝6－coseq\f(π,2)x.答案：y＝6－coseq\f(π,2)x9.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示．求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心．解析：由图象可得A＝2，eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝π，所以ω＝2.由x＝eq\f(π,6)时，f(x)＝2，可得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋φ))＝2，所以φ＝eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ，φ＝eq\f(π,6)＋2kπ.因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6).所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).令2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，0))(k∈Z).10．(2023·济宁模拟)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinωxcosωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值．解析：(1)由题意知f(x)＝eq\r(3)sin2ωx＋1＋cos2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋1，∵周期T＝π，eq\f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1，∴g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)时，g(x)max＝2×1＋1＝3.11．(多选)已知函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1，则下列结论正确的是()A．f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))上单调递增C．将函数f(x)图象的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移eq\f(π,6)个单位后关于y轴对称D．函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,8)))上的最小值为－2eq\r(2)－1AB[对于函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1，它的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π，故A正确；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))时，2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1单调递增，故B正确；将函数f(x)图象的横坐标缩短为原来的一半，可得y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,4)))－1的图象，再向左平移eq\f(π,6)个单位后，可得y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3)－\f(π,4)))－1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(5π,12)))－1的图象，故所得图象不关于y轴对称，故C错误；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,8)))时，2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))，f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－1的最小值为－4－1＝－5，故D错误，故选AB.]12．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))＜\f(π,2)))的图象如图所示，则f(x)在区间[－π，π]上的零点之和为________．解析：由题图可得eq\f(3T,4)＝eq\f(3,4)·eq\f(2π,ω)＝eq\f(11π,12)－eq\f(π,6)，解得ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ).把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入得1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).∵x∈[－π，π]，∴2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)，\f(13π,6)))，则f(x)共有4个零点，不防设为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则2a＋eq\f(π,6)＋2b＋eq\f(π,6)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))，2c＋eq\f(π,6)＋2d＋eq\f(π,6)＝2×eq\f(3π,2)，两式相加，整理得2a＋2b＋2c＋2d＝eq\f(4,3)π，故f(x)的所有零点之和为a＋b＋c＋d＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)13．(开放型)在①函数f(x)的图象中相邻的最高点与最低点的距离为5，②函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝－1，③函数f(x)的一个对称中心的横坐标为eq\f(1,2)这三个条件中任选一个，补充在下面题目的横线处，并解决问题．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<ω<\f(π,2)，|φ|<\f(π,2)))，且________，点A(2，2)在该函数的图象上，求函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间．解析：若选①，设函数f(x)的最小正周期为T，则eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))\s\up12(2))＝5，得T＝6＝eq\f(2π,ω)，则ω＝eq\f(π,3)，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋ω))＝2，得eq\f(2π,3)＋ω＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，则ω＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ<－eq\f(π,6)，所以函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,6)))，令eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,3)x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1)和[2，3).若选②，则sin(－ω＋φ)＝±1，得－ω＋φ＝eq\f(π,2)＋k1π，k1∈Z，因为点A(2，2)在该函数的图像上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝eq\f(π,2)＋2k2π，k2∈Z，则φ＝eq\f(π,2)＋eq\f(2（k1＋k2）π,3)，k1，k2∈Z，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，ω＝eq\f(π,3)＋k2π，k2∈Z，又0<ω<eq\f(π,2)，所以ω＝eq\f(π,3)，所以函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,6)))，令eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,3)x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3).若选③，则2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ω＋φ))＝0，得eq\f(1,2)ω＋φ＝k1π，k∈Z，因为点A(2，2)在该函数的图象上，所以2sin(2ω＋φ)＝2，得2ω＋φ＝eq\f(π,2)＋2k2π，k∈Z，则φ＝－eq\f(π,6)＋eq\f(2（2k1－k2π）,3)，k1，k2∈Z，因为|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,6)，ω＝eq\f(π,3)＋k2π，k2∈Z，又0<ω<eq\f(π,2)，所以ω<eq\f(π,3)，所以函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,6)))，令eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,3)x－eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z，因为(－3，3)∩{x|2＋6k≤x≤5＋6k，k∈Z}＝(－3，－1]∪[2，3)，所以函数f(x)在区间(－3，3)上的单调递减区间为(－3，－1]和[2，3).14．已知函数f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＋eq\r(3)cos2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的解，求实数m的取值范围．解析：(1)f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＋eq\r(3)cos2x＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＋eq\r(3)cos2x＝1＋sin2x＋eq\r(3)cos2x＝1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，则由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)，k∈Z.所以函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))，k∈Z.(2)由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，由图象得f(0)＝1＋2sineq\f(π,3)＝1＋eq\r(3)，函数f(x)的最大值为1＋2＝3，∴要使方程f(x)－m＝2在x∈eq\b\lc\[\rc\