高中数学人教A版第二章平面向量 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义（第1课时）一、教学目标重点：平面向量数量积的概念，性质、运算律的发现与论证．难点：平面向量数量积的定义及运算率的理解，平面向量数量积的应用．知识点：平面向量数量积的概念，性质、运算律．能力点：通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．教育点：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的．培养学生思考问题认真严谨的学习态度．自主探究点：有关向量数量积的性质及运算律的证明．考试点：=1\*GB3①考查向量数量积运算；=2\*GB3②有关向量夹角的计算；=3\*GB3③应用向量解决垂直问题．易错易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别．拓展点：向量在几何中证明垂直的应用．二、引入新课任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？思考：1．如右图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功是多少？结论：2．功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量与的“数量积”．一般地，对于非零向量与的数量积是指什么？【设计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系．三、探究新知1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(innerproduct)（或内积），记作，即，其中是与的夹角．特别强调：两个向量，的数量积与代数中两个数的乘积是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量与的数量积是记作，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成．思考1：对于两个非零向量与，其数量积是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？结论：，当，即时，；当，即时，；当，即时，．思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．2．投影的定义对于两个非零向量与，设其夹角为，叫做向量在方向上的投影．如上图所示，，即有向线段的数量为．特别强调：向量的投影是一个数量．思考1：向量在方向上的投影一定是正数吗？向量在方向上的投影是什么？结论：不一定是正数，其正负取决于，即的取值．向量在方向上的投影是．思考2：根据投影的概念，数量积的几何意义是什么？结论：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的投影的乘积．【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识．3．平面向量数量积的运算性质思考1：设与都是非零向量，若，则等于多少？反之成立吗？结论：思考2：当与同向时，等于什么？当与反向时，等于什么？特别地，等于什么？结论：当与同向时，；当与反向时，；，所以．通常记作．思考3：设与都是非零向量，如何计算它们的夹角？结论：由可得，再结合可求出．思考4：与的大小关系如何？为什么？结论：，因为，所以【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动．这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情．4．平面向量数量积的运算律=1\*GB3①发现数量积的运算律教师引导学生回顾实数运算中有关的运算律，并类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，然后由学生自主完成下列表格：在实数运算中在向量运算中是否正确交换律(1)（）结合律(2)（）(3)（）分配率(4)（）消去律(5)（）【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的能力．答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√；(5)×．对于上述表格，学生在处理的过程中(2)(5)出错率较高，需要老师着重分析：(2)这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以一般不成立，即使与共线，此式也不一定成立．(5)如下图，均满足，但．=2\*GB3②明晰数量积的运算律已知向量、、和实数，则：(1)；(2)；(3)．=3\*GB3③证明数量积的运算律学生自主证明(1)(2)，同时对于(2)，注意引导学生反思：当时，向量与、与的方向的关系，此时向量与、与的夹角与向量与的夹角相等吗？教师分析证明(3)：如右图，在平面内任取一点O，作，，，因为（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影的和，即，所以，所以，所以．【设计意图】发现运算律、明晰运算律、证明运算律，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起．四、理解新知1．对数量积的理解平面向量的数量积是两个向量之间的运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是：数量积的运算结果是数量而不是向量．这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关，数量积运算结果的符号取决于向量与的夹角．2．灵活掌握平面向量数量积的性质(1)，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2)与可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化．(3)不仅可以用来直接计算两向量、的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围．五、运用新知例1．已知，，且与的夹角，求．【设计意图】本例及拓展变式1，2均由学生自主完成，然后教师进行答案的校对．其目的是通过计算巩固对数量积定义的理解．解：例2．我们知道，对任意，恒有，．对于任意的向量，，是否也有下面类似的结论？(1)；(2)．【设计意图】使学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异同．解：(1)(2)例3．已知，，且与的夹角，求．解：===．拓展变式3．已知，，与的夹角，求．答案：例4．已知，，且与不共线．为何值时，向量与互相垂直？【设计意图】学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律的优越性．解：与互相垂直的条件是，即．因为，所以，所以．也就是说，当时，与互相垂直．拓展变式4：若，，，求的值．答案：．六、课堂小结1．知识方面：（1）平面向量的数量积的定义；（2）平面向量数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律；（4）平面向量数量积的运算律．2．思想方法方面：体会类比的数学思想和方法，进一步提高抽象概括、推理论证的能力．【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈．七、布置作业必做题：教材P108习题2.4A组1、2、3；B组1．选做题：已知与都是非零向量，且与垂直，与垂直求与的夹角．【设计意图】通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．八、教后反思1．教学设计亮点：通过创设情境引入引入新课，激发了学生的学习兴趣；以提问、猜想、讨论、变式练习等方