高中数学人教A版5柯西不等式与排序不等式3

第三讲三一、选择题1．若A＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．A≤B解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C2．(1＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,61)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3n－2)))的取值范围是()A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)C．(4，＋∞) D．(3n－2，＋∞)答案：C3．已知a1，a2，a3为正整数，则a1＋eq\f(a2,4)＋eq\f(a3,9)的最大值为()A．3 \f(1,3)\f(5,6) \f(49,36)答案：D4．设a，b，c∈R＋，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3abA．M≥0B．M≤0C．M的符号与a，b，c的大小有关D．不能确定解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4.又a3≥b3≥c3，且ab≥ac≥bc.∴a4b＋b4c＋c＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca≥a3bc＋b3·ac＋c3ab∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab∴M≥0.答案：A二、填空题5．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s,4s,3s,7s，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：416．设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，则eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)的最小值为________(A，B，C用弧度制表示)．解析：不妨设a≥b≥c，则A≥B≥C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC.aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，将以上三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，∴eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)≥eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)三、解答题7．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，求证：eq\f(a1,c1)＋eq\f(a2,c2)＋…＋eq\f(an,cn)≥n.证明：不妨设0<a1≤a2≤…≤an，则eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an).∵eq\f(1,c1)，eq\f(1,c2)，…，eq\f(1,cn)是eq\f(1,a1)，eq\f(1,a2)，…，eq\f(1,an)的一个排列，故由排序原理：反序和≤乱序和得a1·eq\f(1,a1)＋a2·eq\f(1,a2)＋…＋an·eq\f(1,an)≤a1·eq\f(1,c1)＋a2·eq\f(1,c2)＋…＋an·eq\f(1,cn)，即eq\f(a1,c1)＋eq\f(a2,c2)＋…eq\f(an,cn)≥n.8．设a，b，c∈R＋，求证：eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,abc).证明：不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2，∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a＝ab(a＋b)．同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，所以eq\f(1,a3＋b3＋abc)＋eq\f(1,b3＋c3＋abc)＋eq\f(1,c3＋a3＋abc)≤eq\f(1,aba＋b＋abc)＋eq\f(1,bcb＋c＋abc)＋eq\f(1,cac＋a＋abc)＝eq\f(1,a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ab)＋\f(1,bc)＋\f(1,ca)))＝eq\f(1,abc).9．设a1，a2，…，an为1,2，…，n的一个排列，求证：eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n－1,n)≤eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an).证明：设b1，b2，…，bn－1为a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1<b2<…<bn－1，c1，c2，…，cn－1为a2，a3，…，an的一个排列，且c1<c2<…<cn－1，于是eq\f(1,c1)>eq\f(1,c2)>…>eq\f(1,cn－1)，由排序不等式：乱序和≥反序和，得eq\f(a1,a2)＋eq\f(a2,a3)＋…＋eq\f(an－1,an)≥eq\f(b1,c1)＋eq\f(b2,c2)＋…＋eq\f(bn－1,cn－1) ①由于b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n，于是eq\f(b1,c1)＋eq\f(b2,c2)＋…＋eq\f(bn－1,cn－1)≥eq\