高中数学苏教版第三章概率单元测试 2023版第3章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①几何概型②对立事件③P(A)＋P(B)④1－P(B)随机事件及其概率必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象，事件都是在“一定条件下”发生的，当条件改变时，事件的类型也可以发生变化．随机事件的概率是指大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率eq\f(m,n)接近的常数，记作P(A)．它反映的是这个事件发生的可能性的大小，即一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)又有规律性(对大量重复试验来说)，其中规律性是体现在eq\f(m,n)的值具有稳定性，即当随机试验的次数不断增加时，eq\f(m,n)的值总在某个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.对一批电子元件进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率eq\f(b,a)(1)计算表中次品的频率；(2)从这批电子元件中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个电子元件，至少需进货多少个电子元件？【精彩点拨】根据频率、概率的定义及概率的意义求解．【规范解答】(1)表中的频率从左到右依次为eq\f(3,50)＝，eq\f(4,100)＝，eq\f(5,200)＝，eq\f(5,300)≈，eq\f(8,400)＝，eq\f(9,500)＝.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在附近摆动，所以从这批电子元件中任抽一个是次品的概率约是.(3)设需要进货x个电子元件，为保证其中有2000个正品电子元件，则x(1－≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个电子元件．[再练一题]1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？(2)假设该射手射击了300次，估计击中靶心的次数是多少？(3)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？【解】(1)概率约为；(2)估计击中靶心的次数为300×＝270(次)；(3)不一定.古典概型与几何概型古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝eq\f(m,n)时，要正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即无限性与等可能性．在应用公式P(A)＝eq\f(d的测度,D的测度)时，要正确理解测度的类型．古典概型与几何概型在高考中占有非常重要的位置，是高考的常见题型．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取的两个球上标号之和能被3整除的概率．【精彩点拨】eq\x(古典概型)→eq\x(列举法确定事件的个数)→eq\x(按公式求概率)【规范解答】从甲、乙两个盒子中各取出1个球，所有编号的可能情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16种．(1)设“取的两个球上标号为相邻整数”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6个．∴P(A)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).即取的两球上标号为相邻整数的概率为eq\f(3,8).(2)设“取的两个球上标号之和能被3整除”为事件B，则事件B包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(3,3)，(2,4)，(4,2)，共5个．∴P(B)＝eq\f(5,16).即取的两个球上标号之和能被3整除的概率为eq\f(5,16).[再练一题]2．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于eq\f(1,3)的概率为多少？【导学号：11032075】【解】设在区间(0,1)内任取的两个实数分别为x，y，则0＜x＜1,0＜y＜1，则区域M＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1}为如图所示的正方形区域，记事件A＝{(x，y)|x＋y＞eq\f(1,3)，0＜x＜1,0＜y＜1}，则其所表示区域为图中阴影部分，所以P(A)＝eq\f(S阴影,SM)＝eq\f(1－\f(1,2)×\f(1,3)×\f(1,3),1×1)＝eq\f(17,18).互斥事件与对立事件互斥事件和对立事件都是研究怎样从一些较简单的事件的概率来推算较复杂事件的概率的．应用互斥事件的概率的加法公式解题时一定注意要先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再根据公式求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率，含有“至多”、“至少”的问题求概率时，常考虑其对立事件的概率．互斥事件和对立事件是高考考查的重点内容，也是高考的热点．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．【精彩点拨】(1)运用古典概型求解．(2)利用对立事件的概率求解．【规范解答】(1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果有：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18种．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“C1恰被选中”这一事件，则M包含的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)，共9个．事件M由9个基本事件组成，因而P(M)＝eq\f(9,18)＝eq\f(1,2).∴C1被选中的概率为eq\f(1,2).(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq\o(N,\s\up6(－))表示“A1，B1全被选中”这一事件，则eq\o(N,\s\up6(－))包含的基本事件有(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)共2个，所以P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).∴A1和B1不全被选中的概率为eq\f(8,9).[再练一题]3．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为、、、、.计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率．【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即射中10环或9环的概率为.(2)法一P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝，即至少射中7环的概率为.法二射中环数小于7为至少射中7环的对立事件，所以所求事件的概率为1－P(E)＝1－＝.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝＋＝，即射中环数不足8环的概率为.数形结合思想在概率中的应用数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符合条件的点集问题)去解决．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．【精彩点拨】利用几何概型求概率即可．【规范解答】以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.如图平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(SA,S)＝eq\f(602－452,602)＝eq\f(7,16).[再练一题]4．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？【解】记三人为A，B，C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).1．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．【解析】由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,4)－C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)2．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【解析】取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1,6)，(2,3)，共2种情况．所求事件的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)3．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．【解析】因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值一共有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为P＝eq\f(20,63).【答案】eq\f(20,63)4．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．【解析】画出示意图，由图易知先后抛掷2次，共有36种不同的等可能的结果，点数之和小于10的结果有30种，不小于10的结果有6种．法一：所求概率P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).法二：所求概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)5．在[－1,1]上随机地取一个数k，则