高中数学北师大版1本册总复习总复习阶段质量评估3

第三章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(5x)′＝5xlog5e D．(x2cosx)′＝2xsinx解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq\f(1,x2)；(5x)′＝5xln5；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2x·cosx－x2sinx∴B选项正确．答案：B2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋1－2,Δx)＝2＋Δx∴eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))(2＋Δx)＝2.答案：A3．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))的值为()\f(π,2) B．0C．－1 D．1解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(π,2)coseq\f(π,2)＝0.答案：B4．一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，s的单位是米，t的单位是秒，该物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒 B．6米/秒C．5米/秒 D．8米/秒解析：∵s′＝－1＋2t，∴s′(3)＝5，故选C.答案：C5．若对于任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数为()A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2解析：∵A、B、C、D满足f′(x)＝4x3，∴只要验证f(1)＝－1即可．答案：B6．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A．e B．－e\f(1,e) D．－eq\f(1,e)解析：y′＝eq\f(1,x)，则eq\f(1,x)＝k.∴直线x＝eq\f(1,k)y过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)，1)).∴1＝lneq\f(1,k)，∴k＝eq\f(1,e).答案：C7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()\f(9,4)e2 B．2e2C．e2 D．eq\f(e2,2)解析：∵y＝ex，∴y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2＝k，∴切线为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.在切线方程中，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S三角形＝eq\f(1,2)×|－e2|＝eq\f(e2,2).答案：D8．设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A．2 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－2解析：由y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，求导得y′＝－eq\f(2,x－12)，所以切线斜率k＝y′|x＝3＝－eq\f(1,2)，则直线ax＋y＋1＝0的斜率为2，所以－a＝2，即a＝－2.答案：D9．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间(1,2]上切线的倾斜角都是钝角，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1]解析：g′(x)＝eq\f(－a,x＋12)，要使g(x)在(1,2]上切线的倾斜角为钝角，则有g′(x)＝eq\f(－a,x＋12)＜0，所以a＞0.而f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，由f(x)在(1,2]上切线的倾斜角为钝角知a≤1，故0＜a≤1.答案：D10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－eq\r(3))x＋eq\f(3,4)上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))解析：y′＝3x2－6x＋3－eq\r(3)＝3(x－1)2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3)，所以α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.解析：f′(x)＝(x3－ax2－4x＋4a)′＝3x2－2ax由f′(－1)＝0，得a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)12．设f(x)为偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．解析：∵f(x)为偶函数，∴f′(x)为奇函数．又∵f′(1)＝1，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－1.答案：－113．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为________．解析：点(1,3)在直线y＝kx＋1上，则k＝2.∴2＝f′(1)＝3×12＋a⇒a＝－1，∴f(x)＝x3－x＋b.∵点(1,3)又在曲线上，∴b＝3.答案：314．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(x5＋\r(x)＋sinx,x2)；(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(3)y＝eq\f(1－sinx,1＋cosx).解析：(1)y＝eq\f(x5＋\r(x)＋sinx,x2)＝x3＋x－eq\s\up4(\f(3,2))＋x－2sinx.∴y′＝3x2－eq\f(3,2)x－eq\s\up7(\f(5,2))－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5，∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－sinx,1＋cosx)))′＝eq\f(1－sinx′1＋cosx－1－sinx1＋cosx′,1＋cosx2)＝eq\f(sinx－cosx－1,1＋cosx2).16．(12分)已知函数f(x)＝ax2－eq\f(4,3)ax＋b，f(1)＝2，f′(1)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程．解析：(1)f′(x)＝2ax－eq\f(4,3)a由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝2a－\f(4,3)a＝1，,f1＝a－\f(4,3)a＋b＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2).))∴f(x)＝eq\f(3,2)x2－2x＋eq\f(5,2).(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.17．(12分)已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都经过点P(2,0)，且在点P处有公共的切线，求函数f(x)和g(x)的解析式．解析：由f(x)的图像经过点P(2,0)，得a＝－8，从而f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8.由g(x)的图像经过点P(2,0)，得4b＋c＝0，又g′(x)＝2bx，且f(x)、g(x)的图像在点P处有公共的切线，所以g′(2)＝f′(2)，即4b＝16，b＝4，所以c＝－16.综上f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.18．(14分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4解析：由f(2x＋1)＝4g(x)4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs