高中数学人教A版1本册总复习总复习 课后提升作业十七

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课后提升作业十七抛物线方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2023·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有()条 条 条 条【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()=13x =13y 【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.43 B.75 C.8【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由y=-x2由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-43所以l的方程为4x+3y-43因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=-8--44.(2023·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为()3 3【解析】选D.根据题意知,△FPM为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥抛物线的准线.设Pm2等边三角形边长为1+m2又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+m24=得m=23,所以等边三角形的边长为4,其面积为43.5.(2023·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则A 【解析】选B.设椭圆E的方程为x2a2右焦点为(c,0),依题意得c=2,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为x216+因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到x216+解得A(-2,3),B(-2,-3),故AB6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()=1 =-1=2 =-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:y1(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以y1-y2x所以所求抛物线的准线方程为x=-1.7.(2023·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=14x2 【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:14x2所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l=2(8.(2023·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34 B.32 【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,则|MM1|=|A|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故M到x轴的距离d≥2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172 C.5 D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F12,0,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于12二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2023·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=________.【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.答案:0或110.抛物线y2=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是________.【解析】设与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0,与抛物线方程y2=x联立成方程组x-2y+m=0,y2=x,消去x得y2-2y+m=0,令Δ=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y答案:(1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2023·宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因为y2=4x,所以F(1,0),又因为直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根与系数的关系得x1即圆心的坐标为(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圆的半径r=4,所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因为|FA|=2|BF|,所以FA→=2而FA→=(x1-1,y1),BF→=(1-x所以x易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系得x因为x1-1=2(1-x2),所以x1=1,x2=1所以直线l的方程为y=±22(x-1).【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+32所得的弦长|P1P2|=42【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),把直线方程与抛物线方程联立得y=x+32,y判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,解得p>0或p<-3(舍去),设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),x1·x2=94代入弦长公式得1+1·(3+2p)解得p=1或p=-4(舍去),把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,得y2=-2x.综上,所求抛物线方程为y2=-2x.12.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率为-k和k的直线l1,l2,设l1,l2与抛物线y2=2px交于A,B两点,证明直线AB的斜率为定值.【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2y2-2pky+2p由根与系数的关系得y0+y1=2p所以y1=2pk-y同理y0+y2=-2pk,所以y2=-2p由①,②得y1+y2=-2y0,所以kAB=y2-y1x2-即直线AB的斜率为定值.【能力挑战题】已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=14,直线l(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于5时,求k的值.【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=14,所以p2=14即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得:y1+y2=-1k,y1y