高中数学苏教版2逆变换与逆矩阵 优秀奖

学业分层测评(八)学业达标]1.设矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,43)).(1)求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)求矩阵M的特征值.【解】(1)矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))(ad－bc≠0)的逆矩阵为A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,ad－bc)\f(－b,ad－bc),\f(－c,ad－bc)\f(a,ad－bc)))所以矩阵M的逆矩阵M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)\f(2,5),\f(4,5)－\f(1,5))).(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－2,－4λ－3))＝λ2－4λ－5.令f(λ)＝0，得到M的特征值为－1或5.2.(江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)\f(3,4),\f(1,2)－\f(1,2)))，求矩阵A的特征值.【导学号：30650052】【解】因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)\f(3,4),\f(1,2)－\f(1,2)))，所以A＝(A－1)－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,21))，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(λ－2－3,－2λ－1))＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3.已知二阶矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－3))，属于特征值2的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，求矩阵A.【解】设A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，由题意知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,6))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3b＝－2，,c－3d＝6，,a＋b＝2，,c＋d＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,c＝3，,d＝－1，))∴A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,3－1)).4.已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M.【解】设M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(9,15)))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋2b＝9，,－c＋2d＝15.))联立以上两方程组解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－36)).5.已知α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，其中M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(am,2b))，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,5))，且a＋b＋m＝3，求a，b，m的值.【解】因为α是矩阵M的属于特征值λ＝3的一个特征向量，所以Mα＝λα，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(am,2b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,5))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,5))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋5m＝－3，,－2＋5b＝15，))由a＋b＋m＝3，解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(17,5)，m＝－eq\f(17,30).6.已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,0－1)).(1)求矩阵A－1；(2)求逆矩阵A－1的特征值及特征向量；(3)对任意向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，求(A－1)20α.【解】(1)det(A)＝2×(－1)－0×0＝－2，∴A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)0,0－1)).(2)f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)0,0λ＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))(λ＋1)，令f(λ)＝0，得A－1的特征值λ1＝eq\f(1,2)，λ2＝－1，属于特征值λ1＝eq\f(1,2)的一个特征向量α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))，属于特征值λ2＝－1的一个特征向量α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1)).(3)设eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＋yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，∴(A－1)20α＝x·(λ1)20α1＋y(λ2)20α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(20)x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,220),y)).7.(福建高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(21,12))).①求矩阵A；②求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【导学号：30650053】【解】①因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(2－1,－12)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3))).②矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－1,－1λ－2))＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(1,－1)))是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(1,1)))是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.能力提升]8.已知矩阵M有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，并有特征值λ2＝－1及对应的一个特征向量α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1)).(1)求矩阵M；(2)求M2016α2.【解】(1)令M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则由特征值与特征向量的定义，得Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，即有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))且eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋3b＝8，,2c＋3d＝12，,a－b＝－1，,c－d＝1.)