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学业分层测评(八)学业达标]1.设矩阵M=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,43)).(1)求矩阵M的逆矩阵M-1;(2)求矩阵M的特征值.【解】(1)矩阵A=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))(ad-bc≠0)的逆矩阵为A-1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,ad-bc)\f(-b,ad-bc),\f(-c,ad-bc)\f(a,ad-bc)))所以矩阵M的逆矩阵M-1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,5)\f(2,5),\f(4,5)-\f(1,5))).(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ-1-2,-4λ-3))=λ2-4λ-5.令f(λ)=0,得到M的特征值为-1或5.2.(江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)\f(3,4),\f(1,2)-\f(1,2))),求矩阵A的特征值.【导学号:30650052】【解】因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,4)\f(3,4),\f(1,2)-\f(1,2))),所以A=(A-1)-1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,21)),于是矩阵A的特征多项式为f(λ)=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(λ-2-3,-2λ-1))=λ2-3λ-4.令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.3.已知二阶矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,-3)),属于特征值2的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1)),求矩阵A.【解】设A=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd)),由题意知eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,-3))=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2,6)),eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2)),即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-3b=-2,,c-3d=6,,a+b=2,,c+d=2,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=1,,c=3,,d=-1,))∴A=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,3-1)).4.已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量α1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1)),并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵M.【解】设M=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd)),则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))=3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3)),故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a+b=3,,c+d=3.))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,2))=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(9,15))),故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-a+2b=9,,-c+2d=15.))联立以上两方程组解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,故M=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-14,-36)).5.已知α是矩阵M的属于特征值λ=3的一个特征向量,其中M=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(am,2b)),α=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,5)),且a+b+m=3,求a,b,m的值.【解】因为α是矩阵M的属于特征值λ=3的一个特征向量,所以Mα=λα,即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(am,2b))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,5))=3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,5)),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-a+5m=-3,,-2+5b=15,))由a+b+m=3,解得a=eq\f(1,6),b=eq\f(17,5),m=-eq\f(17,30).6.已知矩阵A=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,0-1)).(1)求矩阵A-1;(2)求逆矩阵A-1的特征值及特征向量;(3)对任意向量α=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y)),求(A-1)20α.【解】(1)det(A)=2×(-1)-0×0=-2,∴A-1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)0,0-1)).(2)f(λ)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ-\f(1,2)0,0λ+1))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ-\f(1,2)))(λ+1),令f(λ)=0,得A-1的特征值λ1=eq\f(1,2),λ2=-1,属于特征值λ1=eq\f(1,2)的一个特征向量α1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0)),属于特征值λ2=-1的一个特征向量α2=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1)).(3)设eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))=xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))+yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1)),∴(A-1)20α=x·(λ1)20α1+y(λ2)20α2=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(20)x,y))=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,220),y)).7.(福建高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(21,12))).①求矩阵A;②求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.【导学号:30650053】【解】①因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,所以A=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(2-1,-12)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)-\f(1,3),-\f(1,3)\f(2,3))).②矩阵A-1的特征多项式为f(λ)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ-2-1,-1λ-2))=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(1,-1)))是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(1,1)))是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.能力提升]8.已知矩阵M有特征值λ1=4及对应的一个特征向量α1=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3)),并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量α2=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,-1)).(1)求矩阵M;(2)求M2016α2.【解】(1)令M=eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd)),则由特征值与特征向量的定义,得Mα1=λ1α1,Mα2=λ2α2,即有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))=4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))且eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,-1))=-eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,-1)),即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a+3b=8,,2c+3d=12,,a-b=-1,,c-d=1.)
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