高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试学业分层测评2

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­2­9所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()图1­2­9A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【解析】∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．【答案】B2．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()【解析】正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为.【答案】C3．如图1­2­10为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()图1­2­10【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．【答案】C4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A．16 B．64C．16或64 D．无法确定【解析】若该边长平行于x轴或与x轴重合，则正方形的边长为4，面积为16，若该边长平行于y轴或与y轴重合，则正方形的边长为8，面积为64.【答案】C5．如图1­2­11所示是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为()【导学号：10690005】图1­2­11\r(2) \f(\r(2),2)C．2eq\r(2) D．2【解析】由斜二测画法规则画出直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin45°＝2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).【答案】A二、填空题6．如图1­2­12，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．图1­2­12【解析】由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.【答案】107．如图1­2­13，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为________．图1­2­13【解析】由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)8．(2023·潍坊高一检测)如图1­2­14，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________cm.图1­2­14【解析】由斜二测画法的规则知，与x轴平行的线段长度不变，以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为eq\r(2)，在平面图中对应的长度为2eq\r(2)，其原来的图形如图所示，AB＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3，所以周长为2×(3＋1)＝8cm.【答案】8三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图1­2­15所示)的直观图．图1­2­15【解】①过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示．②如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝eq\f(1,2)OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝eq\f(1,2)EC.③连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．用斜二测画法画底面半径为1cm，高为3cm的圆锥的直观图．【解】画法如下：(1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心，作A′B′＝2cm，C′D′＝1cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图；(3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′.(4)擦去辅助线，得圆锥的直观图．[能力提升]1．如图1­2­16所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()图1­2­16A．2 B．4C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)【解析】由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2eq\r(2)S直观图，得eq\f(1,2)·OB·h＝2eq\r(2)×eq\f(1,2)×2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4eq\r(2).【答案】D2．如图1­2­17，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()图1­2­17A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)cm，CD＝C′D′＝2cm，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．【答案】C3．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图1­2­18所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________．图1­2­18【解析】过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴四边形ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝eq\f(\r(2),2)，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋eq\f(\r(2),2)，高为2，∴原平面图形的面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(1＋1＋\f(\r(2),2))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).【答案】2＋eq\f(\r(2),2)4.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图1­2­19，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．图1­2­19【解