高中数学人教A版第一章集合与函数概念单元测试 名师获奖

eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．例如：判断下列函数的奇偶性：①y＝－x2；②y＝x3；③y＝x2－x；④y＝0.2．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．例如：若奇函数f(x)的定义域为[p，q]，则p＋q＝____.基础梳理1．①偶函数②奇函数③非奇非偶函数④既是奇函数又是偶函数2．0,eq\x(思)eq\x(考)eq\x(应)eq\x(用)1．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致？偶函数呢？解析：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反．2.若函数f(x)满足f(－1)＝f(1)，能否判断函数f(x)为偶函数？解析：不能，由定义可知，必须是定义域内任意x都有f(－x)＝f(x)，不能用特殊性代替任意性．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．奇函数f(x)图象一定过原点吗？2．(2023·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．3．(2023·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个自测自评1．当f(0)有意义时，由f(－0)＝－f(0)得：f(0)＝0;当f(0)没有意义时，如函数f(x)＝eq\f(1,x)，它的图象不过原点． 2.解析：根据奇、偶函数的性质，求出f(x)＋g(x)的解析式．∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.答案：C3．C►基础达标1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为()A．－1B．0C．1D定1．解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.答案：B2．(2023·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．22．A3．下面三个结论：①如果一个函数的定义域关于原点对称，则这个函数为奇函数；②如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于原点对称；③如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数只能为偶函数，其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．33．解析：一个函数的定义域关于坐标原点对称，不一定是奇函数，还必须要看f(－x)与－f(x)是否相等，所以①是错误的，②正确．f(x)＝0(x∈R)的图象关于y轴对称，f(x)既是奇函数又是偶函数，③不正确．故选B.答案：B4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝()A．7B．－7C．4．解析：∵f(－7)＝－7，∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，∴73a＋7∴f(7)＝73a＋7答案：D5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．5．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)►巩固提高6．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．解析：利用函数奇偶性的定义求解．A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|·g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．答案：C7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－2，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7．解析：∵f(x)是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f(x)＜f(2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D8．设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝____.8．解析：∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)，∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴f(1)＋f(2)＝－3，答案：－39．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2.求当x∈(－∞，＋∞)时，f(x)的表达式．9．解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x2，所以f(－x)＝(－x)－(－x)2，因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋x2.综上，x∈(－∞，＋∞)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋x2，x＞0，,0，x＝0，,x－x2，x＜0.))10．已知函数f(x)＝－x3＋3x.求证：(1)函数f(x)是奇函数；(2)函数f(x)在区间(－1，1)上是增函数．10．证明：(1)显然f(x)的定义域是R.设任意x∈R，∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．(2)在区间(－1，1)上任取x1，x2，且x1＜x2.f(x2)－f(x1)＝－(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1))＋3(x2－x1)＝(x2－x1)(3－xeq\o\al(2,2)－x2x1－xeq\o\al(2,1))．因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，3－xeq\o\al(2,2)－x2x1－xeq\o\al(2,1)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1，1)上是增函数．1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．(2)确定f(－x)与f(x)的关系．(3)作出相应结论．2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．5．由函数的奇偶性定义可