高考数学强基计划自主招生竞赛复数讲义

第1讲：复数的代数形式与运算复数虽然在高考试题中的考察极为简单，但在强基或者联赛一试中考察的力度和难度都远高于高考.究其原因，复数已是现代数学研究主要的工具之一，不论是在工程中的应用还是在基础研究中的应用中，例如傅里叶变换，著名的黎曼猜想等均与复数有关.同时，复数还和其他板块如三角，向量等有着重要的联系.综上所述，复数是中学数学中重要的内容之一，肯定也是强基或联赛的考察热点.本节开始，我们将系统地介绍强基或联赛难度的复数及其应用，从而更好地让大家认识复数，用好复数！首先来讲复数的的概念与重要性质，这一讲主要包括复数的代数形式及运算，共轭复数及性质.主要知识1.复数的代数形式.复数：（），其中为实部，为虚部.记作：表示的实部，表示的虚部.2.复数相等的条件.代数形式下，两个非零复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等.三角形式下，两个非零复数相等，当且仅当它们的模与幅角主值分别相等.3.共轭复数.（）它的共轭复数为，显然.下面梳理共轭复数的重要性质.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）为实数的充要条件为，为虚数的充要条件为.3.代数形式下复数的运算：关于代数形式下复数的运算是高考必考内容，相对简单，大家练得都比较熟练，我们在此处就不再赘述.4.几个重要的性质：（1）（2）；.（3）虚数单位的周期性.二．典例分析1.代数形式下复数的基本运算已知复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为_______.解析：由，得，故该复数在复平面内的点的坐标为，其到原点的距离为．例2.已知复数满足，求解析：设，，所以，，解得：，或者.例3.若复数满足，则的最大值为_________解析：设，则，故，其中.当时，.例4.设复数.则的最小值为___.解析：令，则，且此时有.故.当，即时，的最小值为2.例5.复数，则________.解析：由得，所以，或者.因此可得：或.2.共轭复数及其应用例6.证明：虚数成对定理，即设虚数是实系数方程的根，则也是这个实系数方程的根.证明：因为是方程的根，所以，两边同时取共轭得：，即.因此也是这个实系数方程的根.由第一部分可知，共轭运算和四则运算是可以交换顺序的，那么利用共轭运算便可不必设出复数的具体形式，这样可避免有时因为代入具体形式而导致的复杂运算.这样的想法可使用于条件中包含模长或共轭复数的情况.例7.已知，，，求.解析：由下面将等式两边同乘，有，由于，故解得.注：当使用共轭复数计算有关问题时，类似与圆锥曲线中整体代入的思想来进行计算，此时不必考虑具体表示形式，减少运算，下面再看一例.已知复数满足，求的值.解析：由于，故可得：，于是我们将可进一步表示为：.那么，.注：此题若用具体形式计算，可能过程会很麻烦！例9.复数满足且，则（）A.B.C.D.解析：，所以，整理可得，解得或者.由于，进一步可得：.例10.（2015高联一试）已知复数数列满足，则的值为__________.解析：本题需要找寻递推关系，依题可得：，故可得：.那么，由累加法可得：.3.综合应用这一部分难度较大，综合各种性质和方法，读者应细心体会.例11.（2018浙江预赛）已知虚数满足，则_______.解析：由三次方程因式分解可知：，整理可得：.例12.（2020浙江预赛）已知复数满足，当取最小值时，求复数的值.解析：依题可得：，利用完全平方公式得：等号成立时，.例13．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：设，因为，所以，所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以，所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.第2讲：复数的三角形式及几何意义本节介绍复数的几何形式与三角形式，它们展示了复数的复平面的几何意义.通过复数的三角形式及运算，我们可以看到复数相乘（除）所对应的便是几何旋转.同时，复数的三角形式还可以有效地链接三角恒等变换，解决一些三角恒等式的计算，因此，本节内容也是强基或联赛中重点考察的对象.一．基础理论1.三角形式.复数（）与复平面上的点是一一对应的，点和向量于是一一对应的.向量的模长称为复数的模，即满足：.进一步，复数在复平面内对应的点为.我们把向量与轴正方向形成的角叫做复数的辐角，记为.取值在的辐角称为辐角主值，用来表示.对于非零复数，它的辐角主值是唯一的（复数0的辐角是任意的）.显然，若，则，，于是就可进一步得到复数的三角形式：设，为辐角，那么点点的坐标就可以记为，.幅角的性质.显然，若记则复数的主幅角可以表示为反三角函数的形式：3.指数形式.由欧拉公式：可得到复数的指数形式：.4.三角形式的基本运算.对于复数代数形式的加减乘除运算，属于高考数学的内容之一，这部分相对简单，此处就不再列举.我们这里重点需要强调的是复数的三角形式及运算.（1）乘法.进一步可得：，或.几何意义：模翻倍，角度逆时针旋转.（可以看到，复数乘法从几何意义上讲便是旋转，这是复数的一个重要价值.）进一步，可得乘方的运算公式：设，则（棣莫弗定理）（2）除法.几何意义：模折倍，角度顺时针旋转（实则为夹角，可正可负），即，或.开方设，则（）.例如，.可以看到，复数的次方根是个复数，它们的模都等于这个复数的模的次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与的倍的和的分之一.5.复数的几何曲线（1）满足的复数所对应的点的轨迹为线段的中垂线；（2）满足的复数所对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆；（3）满足的复数所对应的点的轨迹为以为椭圆，长轴长为的椭圆.二．典例分析例1.计算下列各式的值.（1）；（2）.解析：利用复数的三角形式可得：（1）；.点评：上述两个值是三次方程的两个单位根，其有重要的应用.例2．已知复数满足，且，则的三角形式为__________．解析：由可得，，所以，又，所以．因为，所以．故答案为：．例3.设，，，则等于A． B． C． D．解析：由于，∴.选D.例4.（2020清华强基计划）求__________.解析：令，由于，且根据复数的定义：.另一方面：，故，则，综上，.练习1．化简______.解析：令，，则有.从而，.下面我们再看复数的几何意义相关问题.例5.（2019上海竞赛）设复数满足，则的最大值为______.解析：显然，复数所对应的点的轨迹为方程为，故求的最大值等价于求的最大值.利用椭圆的参数方程可求最大值为.例6.（2020清华强基）设复数满足，则的（）A.最大值为B.最大值为C.最小值为D.最小值为解析：由可得：,则是以为圆心，为半径的圆.另一方面，，根据几何意义可知：.练习2.（2019中科大自主招生）若复数满足是纯虚数，则的最小值为__.答案：.练习3.若复数满足，则的最大值为______.答案：2练习4.若复数满足，则的最大值为______.答案：练习5．（2020高联A卷）设为复数．若为实数（i为虚数单位），则的最小值为______．解析：设，由条件知，故．从而，即．当时，取到最小值．故答案为：．练习6.（2016山东预赛）_______.答案：.第3讲：复系数方程与单位根本节介绍先复数域上的方程及其韦达定理，再介绍单位根及分圆多项式的概念，它们是复数中重要的概念之一，单位根的概念更是有效地链接了三角恒等式，因此，这部分内容在强基试题中以考察多次，值得注意.复系数方程1.代数基本定理：每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.注1.显然我们可以利用代数基本定理得到每个次数大于1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式.因此在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项式,于是多项式的因式分解定理在复数域上可以叙述成复系数多项式因式分解定理：每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.注2.因此复系数多项式具有标准分解式：其中是不同的复数,是正整数.标准分解式说明每个次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).2.韦达定理：复系数多项式的个复根为,则证明：由多项式的因式分解定理知道于是比较系数可以得到韦达定理.3.虚数成对定理：即设虚数是实系数方程的根，则也是这个实系数方程的根.二．典例分析例1.（2021北大优秀中学生暑期学堂）设，方程的三个根在复平面上构成一个等边三角形的三个顶点，则该等边三角形的面积为______.A.B.C.D.以上都不对.解析：有韦达定理可知，方程的三个根满足：.于是由重心公式可知该等边三角形的重心在坐标原点.进一步，；.这表明，三个根的形式为：,于是，令.代入上式：，故可得：.三．次单位根与分圆多项式次单位根：对于方程的解，由复数开方运算可得到它的个根的表示形式为：称这个根为次单位根.特别地，三次单位根三次单位根及性质：，.2.基本性质：（1）；（2），进一步，若令，对等式两边同时求导可得：.（3）有韦达定理：.3.本原根.利用复数的乘方公式可得：，这表明，个次单位根可以表示为：.像上面这样，若个次单位根均可表示为某个给定的单位根的幂，就称为次本原单位根.定理：为次本原单位根的充要条件是，即互素，这样的话，所有的次单位根中共有个本原单位根，其中为欧拉函数.4.分圆多项式以表示为一个确定的次本原单位根，则全部次本原单位根组成的集合记为：令，则称为次分圆多项式.四．典例分析.应用1.单位根的性质例1.设，求证：（1）；（2）.证明：（1）显然，为次单位根，故有：，进一步可得：，代入即可证得.由于，故，取模可得：于是代入（1）中所证结果可得：整理可得：，证毕.点评：鞭炮模型，三角恒等变换中一类重要的题型.例2.（2017北大博雅）计算的值.解析：原式，进一步诱导可得：，利用例1的结论可得：.例3.（2021北大优秀中学生暑期学堂）已知复数为方程的个相异根，则________.解析：由于，进一步，若令，对等式两边同时求导可得：.利用上述结论可得：，代入可得：.例4.已知方程的根为，，则__.解析：由于，且假设，由题意，所以.故答案为：37．例5.（复数的妙用）设实数满足，实数为多项式的零点，求的最小值.解：因为，所以.当，此时，，等号成立，所以的最小值为.练习.设复数，则A.0B.1C.D.解析：显然为1的三次方根，.当然，此题亦可用例3的方法做.2.分圆多项式例5.（2021清华强基）设，则以为根的方程是（）A.B.C.D.解析：显然，为方程的单位根.另一方面，若以表示两个数的最大公因数，由于，故为方程的5次单位根，故.又因为，，故为2次单位根即，代入上式可得：这四个根为方程的根.例6．设，.求证：为一整系数多项式，且不能分解成两个至少为一次的整系数多项式之积.解析：由例5易知这是一个整系数四次多项式.因为的一次因式都不是整系数多项式，所以，若可分解成两个至少为一次的整系数多项式的乘积，则这两个因式必都是二次的.设，其中皆为整数.不妨设，，则由，得，进而有由式⑦知或若，则由式⑥得这与式④矛盾，于是.代入式⑤，得，与式④联立，解得，或，.这与、为整数矛盾.故不能分解成两个至少为一的整系数多项式的乘积.注：例6反映了分圆多项式的性质：都是有理数域上的不可约多项式！例7.（2017清华领军计划）已知，，则_________.解析：由单位根性质可知：，故可得：，，.从而，故原式.第4讲：单位根与分圆多项式本节介绍单位根及分圆多项式的概念，它们是复数中重要的概念之一，单位根的概念更是有效地链接了三角恒等式，因此，这部分内容在强基试题中以考察多次，值得注意.基本概念次单位根：对于方程的解，由复数开方运算可得到它的个根的表示形式为：称这个根为次单位根.特别地，三次单位根三次单位根及性质：，.2.基本性质：（1）；（2），进一步，若令，对等式两边同时求导可得：.（3）有韦达定理：.3.本原根.利用复数的乘方公式可得：，这表明，个次单位根可以表示为：.像上面这样，若个次单位根均可表示为某个给定的单位根的幂，就称为次本原单位根.定理：为次本原单位根的充要条件是，即互素，这样的话，所有的次单位根中共有个本原单位根，其中为欧拉函数.4.分圆多项式以表示为一个确定的次本原单位根，则全部次本原单位根组成的集合记为：令，则称为次分圆多项式.典例分析.应用1.单位根的性质例1.设，求证：（1）；（2）.证明：（1）显然，为次单位根，故有：，进一步可得：，代入即可证得.由于，故，取模可得：于是代入（1）中所证结果可得：整理可得：，证毕.点评：鞭炮模型，三角恒等变换中一类重要的题型.例2.（2017北大博雅）计算的值.解析：原式，进一步诱导可得：，利用例1的结论可得：.例3.（2021北大优秀中学生暑期学堂）已知复数为方程的个相异根，则________.解析