高中数学人教A版本册总复习总复习 章末综合测评2

章末综合测评(一)集合与函数的概念(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{1,5}C．{2,5} D．{2,4}【解析】由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．【答案】D2．(2023·临沂高一检测)下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】①1∈{0,1,2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；②∅⊆{0,1,2}，空集是任何集合的子集，正确；③{1}∈{0,1,2}，集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；④{0,1,2}＝{2,0,1}，根据集合的无序性可知正确．故选A.【答案】A3．下列各图形中，是函数的图象的是()【解析】函数y＝f(x)中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，∴函数y＝f(x)的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，故A，B，C均不正确，故选D.【答案】D4．集合A＝{x|y＝eq\r(x－1)}，B＝{y|y＝x2＋2}，则如图1阴影部分表示的集合为()【导学号：97030070】图1A．{x|x≥1} B．{x|x≥2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x＜2}【解析】易得A＝[1，＋∞)，B＝[2，＋∞)，则题图中阴影部分表示的集合是∁AB＝[1,2)．故选D.【答案】D5．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于()A．2 B．11C．5 D．－1【解析】由f(2x＋1)＝3x＋2，得f(1)＝f(2×0＋1)＝3×0＋2＝2，故选A.【答案】A6．下列四个函数：①y＝x＋1；②y＝x－1；③y＝x2－1；④y＝eq\f(1,x)，其中定义域与值域相同的是()A．①②③ B．①②④C．②③ D．②③④【解析】①y＝x＋1，定义域R，值域R；②y＝x－1，定义域R，值域R；③y＝x2－1，定义域R，值域(－1，＋∞)；④y＝eq\f(1,x)，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0，＋∞)．∴①②④定义域与值域相同，故选B.【答案】B7．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0,fx＋2，x<0，))则f(－3)的值为()A．5 B．－1C．－7 D．2【解析】依题意，f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1＋1＝2，故选D.【答案】D8．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)【解析】任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0.∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减，又f(x)是偶函数，故f(x)在(－∞，0]上单调递增．且满足n∈N*时，f(－2)＝f(2)，3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大，∴f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.【答案】A9．定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝3，则奇函数f(x)的值域是()A．(－∞，－3] B．[－3,3]C．[－3,3] D．{－3,0,3}【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－f(x)＝3，∴f(x)＝－3，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，x>0,0，x＝0,－3，x<0，))∴奇函数f(x)的值域是{－3,0,3}．【答案】D10．(2023·承德高一检测)已知f(x)＝x5－ax3＋bx＋2且f(－5)＝17，则f(5)的值为()A．－13 B．13C．－19 D．19【解析】∵g(x)＝x5－ax3＋bx是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，∵f(－5)＝17＝g(－5)＋2，∴g(5)＝－15，∴f(5)＝g(5)＋2＝－15＋2＝－13.【答案】A11．(2023·浏阳高一检测)已知函数f(x)＝eq\r(3－ax)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是()【导学号：97030071】A．(0,3] B．[0,3]C．(0,1] D．[3，＋∞)【解析】函数f(x)＝eq\r(3－ax)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则t＝3－ax在区间(0,1]上为减函数，且t≥0，分析可得a＞0，且3－a≥0，解可得0＜a≤3，∴a取值范围为(0,3]．【答案】A12．己知奇函数y＝f(x)在(－∞，0)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x－1)＞0的解集为()A．{x|－3＜x＜－1}B．{x|－3＜x＜1或x＞2}C．{x|－3＜x＜0或x＞3}D．{x|－1＜x＜1或1＜x＜3}【解析】由题意画出f(x)的草图如下，因为(x－1)f(x－1)＞0，所以(x－1)与f(x－1)同号，由图象可得－2＜x－1＜0或0＜x－1＜2，解得－1＜x＜1或1＜x＜3，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁UA)∪(∁UB)＝________.【解析】全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，所以∁UA＝{c，d}，∁UB＝{a}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝{a，c，d}．【答案】{a，c，d}14．若函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，则f(x)的增区间是________.【导学号：97030072】【解析】∵函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，∴a－1＝0，∴f(x)＝－x2＋3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线．故f(x)的增区间为(－∞，0]．【答案】(－∞，0]15．奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(x－1)，则在(－∞，0)上的解析式是________．【解析】x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，因为f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(x－1)，所以f(－x)＝－x(－x－1)，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x(－x－1)，所以f(x)＝－x(x＋1)．【答案】f(x)＝－x(x＋1)16．(2023·苏州高一检测)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②函数f(x)＝eq\f(x,x－1)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【解析】①函数f(x)＝x2(x∈R)不是单函数，例如f(1)＝f(－1)，显然不会有1和－1相等，故为假命题；②函数f(x)＝eq\f(x,x－1)是单函数，因为若eq\f(x1,x1－1)＝eq\f(x2,x2－1)，可推出x1x2－x2＝x1x2－x1，即x1＝x2，故为真命题；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)为真，可用反证法证明：假设f(x1)＝f(x2)，则按定义应有x1＝x2，与已知中的x1≠x2矛盾；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真，因为单函数的实质是一对一的映射，而单调的函数也是一对一的映射，故为真．【答案】②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2023·大同高一检测)设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求∁U(A∩B)；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．【解】(1)由集合B中的不等式2x－4≥x－2，解得x≥2，∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|－1≤x＜3}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，∴∁U(A∩B)＝{x|x＜2或x≥3}．(2)由集合C中的不等式2x＋a＞0，解得x＞－eq\f(a,2)，∴C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(a,2)))))，∵B∪C＝C，∴B⊆C，∴－eq\f(a,2)＜2，解得a＞－4.18．(本小题满分12分)(2023·南昌高一检测)已知函数f(x)＝eq\f(1,x2－1)，(1)判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明；(2)求函数f(x)在区间[2,3]上的值域.【导学号：97030073】【解】(1)函数f(x)＝eq\f(1,x2－1)在区间(1，＋∞)上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(1,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1),x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x2＋x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，又∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2＋x1＞0，xeq\o\al(2,1)－1>0，xeq\o\al(2,2)－1>0，∴eq\f(x2－x1x2＋x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)＞0，即f(x1)＞f(x2)．由单调性的定义可知函数在区间(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,3]上单调递减，所以函数f(x)的最大值为f(2)＝eq\f(1,3)，最小值为f(3)＝eq\f(1,8)，所以函数f(x)在区间[2,3]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3))).19．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400,80000，x>400，))其中x是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？【解】由于月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而利润f(x)＝R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(1,2)x2－20000，0≤x≤400,60000－100x，x>400，))当0≤x≤400时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，有最大值25000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，所以f(x)＝60000－100×400＜25000.所以当x＝300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．20．(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f[f(x)]＝4x－1.(1)求f(x)；(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值与最小值．【解】(1)由题意可设f(x)＝ax＋b，(a＜0)，由于f[f(x)]＝4x－1，则a2x＋ab＋b＝4x－1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,ab＋b＝－1，))解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.(2)由(1)知，函数y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，故函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝eq\f(3,2)，则函数y＝f(x)＋x2－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上为减函数，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上为增函数．又由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(5,4)，f(－1)＝6，f(2)＝－1，则函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值为6，最小值为－eq\f(5,4).21．(本小题满分12分)(2023·聊城高一检测)已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．【解】(1)由于函数的值域为[0，＋∞)，则判别式Δ＝16a2－4(2解得a＝－1或a＝eq\f(3,2).(2)由于函数f(x)的函数值均为非负数，则Δ＝16a2－4(2a＋6)解得－1≤a≤eq\f(3,2)，则－2≤a－1≤eq\f(1,2)，∴g(a)＝2－a|a－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋2，－1≤a≤1,－a2＋a＋2，1<a≤\f(3,2)，))①当－1≤a≤1时，g(a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤g(a)≤g(－1)，∴eq\f(7,4)≤g(a)≤4.②1＜a≤eq\f(3,2)时，g(a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(9,4)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))≤g(a)＜g(1)，∴eq\f(5,4)≤g(a)＜2，综上，函数g(a)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，4)).22．(本小题满分12分)