材料力学练习题

第二章轴向拉伸与压缩一、拉、压杆的应力和变形计算1、拉、压杆的内力为沿杆件轴线的力，故称为轴力(axialforce)，记为FN

。内力符号：拉为正，压为负。轴力图：2、横截面上的应力：横截面上的应力是均匀分布的。FNF3、轴向拉伸或压缩时的强度计算许用应力(Allowablestress)——等直杆：2设计截面：1强度校核：3确定许可载荷：

解决三类问题：安全经济的原则：σmax不超过[σ]的5%。纵向绝对变形量:纵向线应变:虎克定律:FN,l一定时，EA值愈大，变形愈小，因此，EA值反映了杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称之为杆件的抗拉刚度。4、拉伸或压缩时的变形一、纵向变形和线应变横向绝对变形为：由试验可知：ν为材料的横向变形系数或泊松比

⑵应力不超过比例极限时：二、横向变形和线应变⑴

二横向线应变相等，二、拉压超静定问题

１超静定次数n：n=未知力数－独立的平衡方程数２超静定问题的解题方法步骤：

(1)静力学关系－－列静力平衡方程

(2)几何关系（变形协调条件）－－列几何方程

(3)物理关系（胡克定律）－－列物理方程

(4)补充方程：由几何方程和物理方程得到

(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组。(3)装配应力:杆件尺寸误差引起的应力。(2)温度应力(1)拉压超静定问题[例2-1]变截面圆钢杆ABCD。已知F1=20KN，F2=35KN，F3=35KN

，l1=l3=300mm，l2=400mm

，d1=12mm，d2=16mm

，d3=24mm，E=210GPa，试求（1）作AD杆的轴力图；（2）杆的最大正应力max；(3)B截面的轴向位移△B及AD杆的伸长△lAD。F3

l1ABCDF1

F2

l3l2d1

d2

d3

20KN15KN50KNFN

－+

（1）轴力图（2）杆的最大正应力max求全杆总变形（缩短）求B截面的位移BC段AB段CD段(3)B截面的轴向位移△B及AD杆的伸长△lAD。[例2-2]刚性梁ABC由圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中载荷F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[σ]=160MPa。试校核CD杆的强度。并求：1.结构的许用载荷[F]；

2.若F=50KN，设计CD杆的直径d。2aaFABCDdFNCD

FABCＦAx

ＦAy

解：取刚性梁为研究对象。1.结构的许用载荷[F]

2.若F=50KN，设计CD杆的直径d。根据强度条件：取d=25mmABCDQ

钢丝

铝丝

=30°=30°[例2-3]重物Q由铝丝CD悬挂在钢丝AB之中点C，已知铝丝直径d1=2mm，许用应力[σ]1=100MPa,钢丝直径d2=1mm,许用应力[σ]2=240MPa，且=30°，试求许用载荷[Q]。解：1设铝丝轴力FN1；钢丝轴力FN22求许可载荷

当铝丝达到许用应力时当钢丝达到许用应力时许可载荷Q=188N。

即，当时，许可载荷Q=314N。为提高结构承载能力，应减少钢丝的受力。在之间，钢丝受力随角的增加而减小。当时，拉压[例2-6-1]一阶梯轴钢杆如图，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面积相同A2＝A3＝500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷载F1＝20kN，F2＝40kN，弹性模量E＝200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。解：(1)求各段轴力，作轴力图(2)求各段变形BC段AB段+-20kN20kNF1F2ADCB332211拉压(3)求全杆总变形（缩短）(4)求A和B截面的位移CD段F1F2ADCB332211解:由（1）、（2）式得作杆轴力图。[例2-４]作图示等直杆的轴力图。F2FF2FFAFBFN

－+

[例2-5]

刚性梁AB如图。杆1、2的截面积和弹性模量分别为A1、A2；E1、E2。求各杆内力。解：1)以刚性梁为研究对象，列静力平衡方程：2)变形几何协调条件:

FABaaal12FAyF1F2FABFAx3)力与变形间的物理关系：联解上各式得：即增加杆1后，杆2内力减小，变形Δl2减小，梁转过的角度也减小，故：静不定结构可减小构件内力，减小结构变形。（4）若去掉杆1，成为静定结构，则：讨论:（1）若二杆抗拉刚度相同，即

E1A1=E2A2=EA，则（2）若E1A1>>E2A2，则（3）若E1A1<<E2A2，则FABaaal12FAyF1F2FAx[例2---7]如图刚性梁悬挂于3根平行杆上，l＝2m,F＝40kN，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，δ＝0.2mm。1杆由黄铜制成，A1=2cm2，E1=100GPa，

。2杆和3杆由碳钢制成，A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa，。设温度升高20℃，试求各杆应力。F123baδlcAB解：分析，各杆中即有由外载荷F引起的应力，也有装配应力，还有温度应力。设三杆最终变形分别为Δl1、Δl2、Δl3

。取刚性梁为研究对象，受力如图所示。(1)

列静力平衡方程:F123baδlcABFABFN1FN3FN2Δl1Δl2－δΔl3(2)

几何方程:(3)

物理方程:联解（1）－（6）式得:（4）三杆应力分别为:P的单位为kW，n的单位r/min一、外力偶矩的计算；P的单位为Ps，n的单位r/min扭矩、扭矩图扭矩的符号规定：右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)MTxxaaMxaa右手螺旋法则正(+)正(+)第四章扭转(Torsion)

（1）剪应力互等定理：acddxbdy´´tz在单元体相互垂直的两个截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两个面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。二、圆轴扭转时的应力与变形剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（≤p)，剪应力与剪应变成正比。（2）剪切虎克定律：各向同性材料：p（3）等直圆杆扭转时横截面上的应力实心圆截面：空心圆截面：（4）等直圆杆扭转时的变形GIp—截面的抗扭刚度2.单位扭转角：1.相对扭转角

：等截面圆轴：([]称为许用剪应力)强度条件：（1）强度条件：三、圆轴扭转时的强度、刚度条件（2）刚度条件：[]称为单位长度许用扭转角。[例4.1]某传动轴转速n=200r/min，轴上装有5个轮子，主动轮2输入的功率为60KW，从动轮1，3，4，5，依次分别输出18KW，12KW，22KW和8KW。作轴的扭矩图。解:[例4.1]某传动轴转速n=200r/min，轴上装有5个轮子，主动轮2输入的功率为60KW，从动轮1，3，4，5，依次分别输出18KW，12KW，22KW和8KW。作轴的扭矩图。－+

1400N·m300N·mlABCl[例4.2]

一传动轴如图所示。作用在主动轮A上的外力偶矩MeA＝1700Nm，作用在从动轮B、C上的外力偶矩MeB＝1400Nm，MeC＝300Nm,BA段和AC段的长度

l=1.5m,传动轴的直径d=50mm，材料的剪切弹性模量G=80GPa。计算轴的最大剪应力及C截面相对B截面的扭转角。解：(1）求出各段扭矩，并画扭矩图如下。1400N·m300N·mlABCl（2）∵等截面，又BA段有最大扭矩

∴τmax发生在BA段的外边缘各点1400N·m300N·mlABCl（3）求C截面对A、B截面的相对扭转角[例4.3]

如图所示的空心圆轴，外径D＝100mm，内径d=80mm,l=500mm,M1=6kNm,

M2=4kNm,G=80GPa。(1)绘轴的扭矩图；（2）求τmax,并指出其位置；（3）求C截面对A、B截面的相对扭转角。llM1M2ACB解：(1）用截面法求出各段扭矩，并画扭矩图如下。（2）∵等截面，又BC段有最大扭矩

∴τmax发生在BC段的外边缘各点＋-4kN·m2kN·mllM1M2ACB（3）求C截面对A、B截面的相对扭转角＋-4kN·m2kN·m[例4.4]圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由900变为880。若杆长l=300mm，试求两端截面间的扭转角；若材料的剪切弹性模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩Me。解：由[例4.5]

传动轴直径d=3cm，受力如图。材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用剪应力

[]=40MPa,[θ]=1.8°/m。试校核轴的强度和刚度。解：(1)求扭矩并画扭矩图(2)强度校核(3)刚度校核90Nm270Nm180Nm+-90Nm180Nm∴由（1）、（2）知强度和刚度均符合条件。[例4.6]传动轴传递外力偶矩Me＝5kN·m，材料的[τ]=30MPa，G=80GPa，[θ]=0.50/m，试选择轴的直径d。解：（1）强度条件：（2）刚度条件：故取轴的直径d＝95mm。ⅠⅡⅢ[例4.7]阶梯形圆轴直径d1=4cm，d2=7cm，轴上装有个3皮带轮，已知由轮Ⅲ输入的功率Pk3＝30KW，轮Ⅰ输出的功率PK1＝13KW，轴作匀速转动，转速n＝200r/min，材料的剪切弹性模量G=80GPa，[]=60MPa，[]=2º/m，试校核轴的强度和刚度。1432.35Nm620.685NmT解:

(1)作扭矩图(2)强度计算：只需校核AC段和DB段(3)刚度计算：1432.35Nm620.685NmT轴满足强度和刚度条件[例4.9]长为l=2m的圆轴受均布力偶m=20Nm/m的作用，若轴的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计轴的外径；若[]=2º/m，试校核此轴的刚度，并求右端面转角。解:

(1)设计轴的外径T40Nm画轴的扭矩图如下(2)校核刚度T40Nm(3)右端面转角：内力的正负规定:①剪力FS:绕研究对象顺时针转为正；反之为负。左上右下的FS为正，反之相反。②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形的弯矩为负。左顺右逆的M为正，反之相反。

FS(–)FS(–)FS(+)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)二、弯曲内力——剪力和弯矩弯曲内力平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。

一、平面弯曲的概念另外还可以直接利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律：（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。（2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。（3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。四、荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系三、剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图FSF1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEM1.

无荷载段：2.有荷载段q：

FS图水平直线或为0q>0：上升斜直线q<0：下降斜直线上凸曲线

M图斜直线或水平线下凸曲线q(x)向上为正q(x)向上为正3.力F作用点处4.力偶Me作用点处FS图突变不受影响M图折点突变5.q起点及终点处不受影响相切6.弯矩最大绝对值处：FS＝0或集中力作用截面处或集中力偶作用处F1Meq<0CBAq>0DFEGHF2FAFEMFS作图步骤1.求支座反力，2.分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线），分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处3.求每一段控制截面的FS、M值，4.按规律连线。

[例4-4]图示外伸梁,q=3KN/m,Me=3KNm，试作剪力图和弯矩图.CABD2mqMe4m2m解：支座反力FS6KNM6.04kNm－+－+－8.5KN7kNm6kNm4kNm4.83m3.5KN

[例4-5]图示外伸梁,q=2KN/m,Me=10KNm，F=2KN，试作剪力图和弯矩图.解：支座反力CABD2mqMe4m2mFS5KN－+1.5m2KN3KN+M6kNm4kNm4kNm2.25kNm+－+－aaqABCMqa2/2qa2/2qaqa/2qa/2[例5-4]

试作图示刚架的弯矩图。aaqABCMqa/2qa/2[例5-5]

试作图示刚架的弯矩图。[例5-6]

试作图示刚架的弯矩图。[例5-8]

试作图示刚架的弯矩图。[例5-11]

试作图示刚架的弯矩图。lABDl/3C2l/3l/3Eq解：FAFBFD1、二、作图题aaaFaFFFSM－FFa弯曲内力2、qFSMaa2a2qa2qa2qa5qa2qa3qaqa2qa22qa2－+弯曲内力－+3、FSMqa/2－+qqa2/2qaaqa/2qa/2qa/2qaqa2/2qa2/8弯曲内力弯曲内力4、qaqqa2/2aaaqaqaFSqaqaMqa2/2qa2/2－+－+弯曲内力5、2qaqaa5qa/47qa/4FS－+7qa/43qa/45qa/4M5qa2/4+作图示梁的内力图例题4.9kNkNm4.51.55.5kNkNm例题4.10用直接法作图示梁的内力图例题4.11kNmkNσ符号：拉为正，压为负。zyxM一、平面弯曲时梁横截面上的正应力第六章弯曲应力最大正应力：抗弯截面模量

D对于跨高比l/h>5梁，剪力Fs的影响很小，可推广使用纯弯曲梁的正应力公式。横力弯曲：平面假设和单向受力假设不再成立。梁的横截面不对称于z

轴(中性轴)：y1y2yzM若则强度校核:

载荷设计:

截面设计:

二、弯曲正应力的强度条件若则且zxbhy一、矩形截面梁1．弯曲剪应力分布假设(1)方向均与剪力Fs的方向平行(2)沿矩形截面的宽度均匀分布Fsτdd1y三、弯曲剪应力剪应力互等定理：b─所求剪应力处横截面的宽度；Sz*为距中性轴为y的横线以下(或以上)的面积对中性轴z

的静矩。67y1dy1h/2bh/2zyy3．剪应力沿截面高度的变化规律y

=0，中性轴上：例：

已知

l=1m，q=6kN/m，10号槽钢。求最大拉应力和压应力。解：（1）作弯矩图（2）由型钢表查得，10号槽钢（3）求最大应力[例6-1]受均布载荷作用的简支梁如图，试求：（1）1-1截面上1、2两点的正应力；（2）1-1截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半径。解：画M图：1120180302yz20ql2/8M+q=60kN/m

1m2m11BA求应力求曲率半径1120180302yz20q=60kN/m

1m2m11BA67.560(kNm)M+[例6-2]钢板尺厚0.8mm，长252mm，弹性模量E=200GPa。求当钢板尺弯成π/3圆弧时，钢板尺内的最大正应力。解：[例6-3]如图所示圆轴，在A、B两处的轴承可简化为铰支座，轴的外伸部分是空心圆轴。试求轴内的最大正应力。解：(1)求支反力，并画弯矩图

RA=2.93kN;RB=5.07kN(2)计算抗弯截面模量实心圆轴Wz

：危险截面可能在C、B截面空心圆轴Wz’：ABC5kN3kN4003001000φ60φ43RARB-+0.90kNm1.17kNmM(3)计算最大正应力C截面的最大正应力：B截面的最大正应力：轴的最大正应力发生在B截面处，其值为57.7MPa。最大弯曲正应力不一定发生在弯矩最大的截面上，即弯矩最大的截面不一定是危险截面。ABC5kN3kN4003001000φ60φ43RARB-+0.90kNm1.17kNmM

长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。kNkNm查表N012.6工字钢WZ=77.5cm3练习6.4例：20a工字钢梁。若，试求许可荷载

F

。FAFB解：（1）计算支反力（2）作弯矩图（3）确定许可荷载

铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa，[σ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。AB练习6.6

为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ]＝160MPa

，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁1.确定F加在辅助梁的位置FAFB令:练习6.7

为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ]＝160MPa

，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁FAFB％％2.确定工字钢型号

承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。练习6.12(a)(b)(c)zzzzB[例6-4]

T形截面铸铁梁，许用拉应力[]+=30MPa，许用压应力为[]-=60MPa。已知中性轴位置y1=52mm