高中数学人教A版3第二章随机变量及其分布单元测试 全国获奖

选修2-3第二章一、选择题1．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内eq\x(导学号03960552)()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115][答案]C[解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是,,.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×≈41人，60×≈57人，60×≈60人．故选C．2．(2023·武汉高二检测)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ～N(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为eq\x(导学号03960553)()A．10 B．9C．8 D．7[答案]C[解析]∵考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102)，∴考试成绩ξ的概率分布关于ξ＝110对称，∵P(100≤ξ≤110)＝，∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝eq\f(1,2)(1－×2)＝，∴该班数学成绩在120分以上的人数为×50＝8.故选C．3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是eq\x(导学号03960554)()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3[答案]D[解析]由正态曲线的特点知σ越大，其最大值越小，所以σ1<σ2<σ3，又eq\f(1,\r(2π)σ2)＝eq\f(1,\r(2π))，∴σ2＝1.故选D．4．某厂生产的零件外直径X～N,，单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为eq\x(导学号03960555)()A．上、下午生产情况均为正常B．上、下午生产情况均为异常C．上午生产情况正常，下午生产情况异常D．上午生产情况异常，下午生产情况正常[答案]C[解析]根据3σ原则，在(8－3×,8＋3×]即,]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．5．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为eq\x(导学号03960556)()A．10% B．20%C．30% D．40%[答案]D[解析]由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝，∴P(ξ>120)＝，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－＝，故选D．6．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于eq\x(导学号03960557)()A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ))) D．2Φ(μ＋σ)[答案]B[解析]设η＝eq\f(|ξ－μ|,σ)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故选B．二、填空题7．正态变量的概率密度函数f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－32,2)，x∈R的图象关于直线________对称，f(x)的最大值为\x(导学号03960558)[答案]x＝3eq\f(1,\r(2π))8．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，则P(0<X<1)＝________.eq\x(导学号03960559)[答案]eq\f(1,2)－p[解析]∵随机变量X～N(μ，σ2)，∴x＝μ是图象的对称轴，∵P(X<1)＝eq\f(1,2)，∴μ＝1.∵P(X>2)＝p，∴P(X<0)＝p，则P(0<X<1)＝eq\f(1,2)－p.9．(2023·宜昌高二检测)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)等于\x(导学号03960560)[答案][解析]∵ξ～N(2，σ2)，∴P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝.∴P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝eq\f(1,2)×[1－2P(ξ≥4)]＝eq\f(1,2)×[1－2×]＝.三、解答题10．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？eq\x(导学号03960561)[解析]设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－＝1200×≈3(人)．一、选择题1．(2023·湖北理，4)设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是eq\x(导学号03960562)()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[答案]C[解析]由图象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)<P(Y≥μ1)，∴A错；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，∴B错；对任意实数t，P(X≥t)<P(Y≥t)，∴D错，P(X≤t)≥P(Y≤t)，∴C正确，故选C．2．(2023·黑龙江省龙东南四校高二检测)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ≤30)＝，则P(30<ξ<50)＝eq\x(导学号03960563)()A． B．C． D．[答案]C[解析]根据题意，由随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，P(ξ≤30)＝，则可知P(30<ξ<50)＝1－P(ξ≤30)－P(ξ≥50)＝1－×2＝，故选C．二、填空题3．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为\x(导学号03960564)[答案],[解析]正态总体N(25,在区间(25－2×，25＋2×内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为,．4．设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量ξ(单位为：元)，经统计得ξ～N(520,14400)，从该城市私家车中随机选取容量为10000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有________辆.eq\x(导学号03960565)(附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝[答案]6826[解析]由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝，∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：×10000＝6826.三、解答题5．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？eq\x(导学号03960566)[解析]对于第一个方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)＝eq\f(1＋,2)；对于第二个方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(x>5)＝eq\f(1＋P7－2<X≤7＋2,2)＝eq\f(1＋,2).显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案．6．(2023·天水高二检测)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X<75)＝，P(X≥95)＝，现从该市高三学生中随机抽取三位同学.eq\x(导学号03960567)(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析](1)P(80≤X<85)＝eq\f(1,