第二章随机过程(函数)(全部)

1章序题目学时主要内容第一章绪论4

课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。第二章随机过程(函数)16

随机过程(函数)理解、概念、研究方法。第三章随机微积分6

随机微积分及其求解方法介绍。第四章随机场18

随机过程(函数)理解、概念、研究方法。第五章无线电物理中随机场及简单应用2

无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料分析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。2第2章随机过程（函数）2.1随机过程的基本概念3

自然界变化的过程通常可以分为两大类，确定过程和随机过程，如果每次试验(观测)所得到的观测过程都相同，且都是时间t的一个确定函数，具有确定的变化规律，那么这样的过程就是确定过程。反之，如果每次试验(观测)所得到的观测过程都不相同，是时间t的不同函数，试验(观测)前又不能预知这次试验(观测)会出现什么结果，没有确定的变化规律，这样的过程称为随机过程。对连续时间的随机过程进行抽样得到的序列称为离散时间随机过程，或简称为随机序列，连续时间的随机过程和随机序列我们都称为随机过程，连续时间的随机过程用X(t)表示，随机序列用X(n)表示。1定义及分类4随机信号序列5678

按分布特性分类，依照过程在不同时刻状态的统计依赖关分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程,鞅，点过程等。

随机过程基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。9

随机过程的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图所示。

受随机变量控制的过程；随机变量控制是工程研究的物理基础!10

另外，随机过程（函数）根据其是否为实函数可以分为实随机过程（函数）和复随机过程（函数）。复随机过程（函数）Z（t）是由两个实随机过程X（t）和Y（t）线性组合而成。Z(t)＝X（t）+jY（t）

复随机过程的物理意义如何理解呢？随机介质波P99112随机过程举例受随机变量控制的过程；随机变量控制是工程研究的物理基础!

用无数次投掷硬币的随机试验可以定义一个随机过程X(t)，X(t)称为半二元传输信号。N=200;ind=find(rand(N,1)>0.5);z(1:N)=1;z(ind)=-1;stairs(1:25,z(1:25));axis([025-1.51.5]);xlabel('时间-秒（假定T=1秒）');ylabel('X(t)','FontSize',[12]);12一个样本函数13是否携带有充分的过程特征呢14

设t0

为(0,T)上均匀分布的随机变量，且与半二元传输信号统计独立，定义新的随机过程Y(t)=X(t-t0)我们称Y(t)为二元传输信号，二元传输信号是将半二元传输信号平移一随机量t0

构成的。

在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，很显然它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程。是否携带有充分的过程特征呢15lamda=11;M=32768;x(1)=19;forn=1:500x(n+1)=(mod(lamda*x(n)+11117,M));endplot(x/M);xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([050001])16伪随机序列17

伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确代替或者模拟了某类随机过程！所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！18

伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确代替或者模拟了某类随机过程！所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！工程中研究随机过程实际是通过理论分析其大量样本函数，建立符合其实际过程或者称为能体现其过程特点的伪随机序列模型，对伪随机序列进行研究，即可得到其过程特点。最后才能真正建立其数学模型随机过程！（随机过程课程是拿已经建立好的随机过程模型加以学习随机过程的基本概念）19随机过程的结果是随时间的演变而变化的

接收机噪声电压信号不能用有限的参数来加以描述，即对于任意一条样本函数，知道它的过去值，并不能确定它的未来值，称之为不可预测过程；随机相位信号，它是由一族正弦信号构成的，它的样本函数是由随机变量Φ的样本值完全确定，如果X(t,ei)对于n≤n0

已知，则n>n0

X(t,ei)完全确定，称为可预测过程。20

离散随机介质中在某点处接收到的散射场信号可以构成一个复随机过程。213随机过程的统计描述－概率分布3.1一维分布22233.3n维分布2425仅仅是时间的函数而已。2627

一般而言，对于任意的时刻t，随机变量X(t)是随机变量Y的函数，所以，如果，则28

作业1：将该例题的详细严密解体过程重复一下!29例：

解:本题的随机过程只有两个样本函数,且两个样本函数都具有确定的形式,是一种可预测的随机过程。它的两个样本函数为303132二维分布情况：

由于本例的随机相位信号是一个可预测的随机过程，当n1时刻随机过程的取值为1时，也就意味着在本次随机试验中取的是样本函数x1(n)，那么由图可以看出，即在n2

时刻随机过程的取值必定为-1，取其它值的概率为零。3334

另外，随机过程（函数）根据其是否为实函数可以分为实随机过程（函数）和复随机过程（函数）。复随机过程（函数）Z（t）是由两个实随机过程X（t）和Y（t）线性组合而成。Z(t)＝X（t）+jY（t）

复随机过程的概率分布是实随机过程X和Y的联合概率分布！353随机过程的统计描述－数字特征

随机变量的数字特征有均值、方差、相关系数等，相应地随机过程的数字特征常用的也是均值、方差、相关函数等，然而随机过程的数字特征一般不是常数，而是时间t（或n）的函数，因此随机过程的数字特征也常称为示性函数。（1）均值36

随机过程X(t)的均值是时间t的函数，也称为均值函数，统计均值是对随机过程X(t)中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均，它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律。37（2）方差方差也是随机过程重要的数字特征之一，定义对于随机序列X(n)，方差定义为38只受衰减作用后的信号其它方向的粒子散射到接收点的信号39

均值代表接收点处的平均信号（功率），只考虑发射信号受到媒质的衰减作用。

方差代表接收点处的起伏信号（功率），随机分布的粒子从各个方向散射向接收点处的信号。

代表某一时刻的总功率。4041（3）相关函数

均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特性,所用的只是一维概率密度,能反映随机过程在两个不同时刻状态之间的联系,如图所示的两个随机过程X(t)和Y(t)大致具有相同的均值和方差,但这两个信号还是有明显的区别的,Y(t)随时间t的变化较为剧烈,各个不同时刻状态之间的相关性较弱,X(t)随时间的变化较为缓慢,不同时刻状态之间的相关性较强,若只用均值函数和方差函数是不能反映出这些特征的,相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征。42（随机介质波P86）43

意义：自相关函数R(t1，t2)

可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。一般说来t1，t2相隔越大相关性越弱，R(t1，t2)的绝对值也越弱，当t1=t2时其相关性应最强。（随机介质波传播P96）44（4）协方差函数相关性的描述除了用相关函数外，有时也用协方差函数45正交、不相关、独立的关系？

当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的，但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看，保持统计独立的条件要比不相关还要严格。46正交、不相关、独立的关系？

当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的，但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看，保持统计独立的条件要比不相关还要严格。

内积为零可作为两个信号之间正交的定义，对于随机过程来说，除了互协方差函数外，还要求至少其中有一个随机过程的均值等于零，这时两个随机过程才互相正交。因此正交的条件满足了，不相关的条件就自然满足，但是反过来就未必然。可见正交条件要比不相关条件严格些。如果统计独立的条件能满足，则正交条件也自然满足，但反过来也不一定成立。因此统计独立的条件最严格。47（A）独立则必定不相关，而不相关却不一定互相独立，只有是高斯时独立和不相关才等价。（B）正交和不相关没有必然关系，只有当一个随机变量的统计平均等于零时，正交和不相关等价。独立－－－－－－－－－－－－－>不相关

<－－－－－－－－－－－－－均值为零的高斯随机对象有一期望为零不相关<－－－－－－－－>正交学会自己解决有疑问的地方！48不相关:2阶联合中心矩E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0正交:2阶联合原点矩E(XY)=0独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)49同样对于离散随机过程有：50（5）相关系数B代表协方差、R是相关函数。51（6）互协方差函数和互相关函数52535455例：求其均值、方差、自相关函数。5657例：解：58解：随机变量变换概率密度公式，可得到v,φ的联合概率密度：5960p（Y1，Y2…YN）=p(f1,f2…fN)J61（7）复随机函数的统计特征Z(t)＝X（t）+jY（t）E(Z(t))＝E(X（t）)+jE(Y（t）)R(t1,t2)=E(Z(t1)Z*(t2))＝[E(X（t1）*X(t2))+E(Y（t1）*Y(t2))]+j[E(X（t1）Y（t2）)-E(Y(t1)X(t2))]当t1＝t2时：R(t,t)=E（X2（t））＋E（Y2（t））62协方差函数C(t1,t2)=R(t1,t2)－E（Z（t1））E（Z（t2））Z(t)＝X（t）+jY（t）当t1＝t2时成为方差表达式σ2=C(t,t)=E（Z2（t））-E2（Z（t））有时也不用共轭表示R(t1,t2)=E(Z(t1)Z(t2))＝[E(X（t1）*X(t2))－E(Y（t1）*Y(t2))]+j[E(X（t2）Y（t1）)-E(X(t1)Y(t2))]…634随机过程的特征函数

特征函数是一种与概率密度相对应的统计描述方法，同样可以把随机变量特征函数的定义推广到随机过程的情形。随机过程的一维特征函数定义为一维特征函数与一维概率密度是傅里叶变换对的关系，所以64随机过程的一维特征函数定义为多维特征函数可依此类推,在工程上常用一、二维特征函数。65例：66675随机过程的平稳特性

随机过程可分为平稳和非平稳两大类,严格地说,所有过程都是非平稳的,但是,平稳过程的分析要容易得多，工程中有时需要近似分析过程的平稳特性。（1）平稳的概念及判断6869

严格平稳的随机过程必定是广义平稳的，但广义平稳的随机过程不一定是严平稳的。通常情况下工程要求广义平稳。70例例：判断其平稳性。71例：判断其平稳性。

均值为常数、相关函数与时间无关所以广义平稳。72

例：

判断其平稳特性。

解：

求其相关函数，判断平稳特性，将随机序列表示为737475

所以随机序列广义平稳！765平稳特性（2）平稳随机过程特性

由一般随机过程的相关函数满足厄密共轭条件性质得出777879

平稳随机函数的一般相关函数的示意图

以上性质的证明涉及到随机过程的导数、连续以及一般相关函数的特性等问题，以后学习中再加以证明。805平稳特性（3）平稳随机过程相关系数和相关时间81825平稳特性（4）平稳随机过程其它概念83严格循环平稳过程不一定是严格平稳过程。广义循环平稳不一定是广义平稳84大作业（一）（必做）：查阅到达角、离开角、波达方向及其估计的相关资料，体会循环平稳在波达方向估计中的应用。要求：阐述波达方向（到达角、离开角）的概念及相关理论；整理波达方向估计（到达角估计）的方法；就一种方法用程序实现；体会循环平稳过程在其中的应用。85865平稳特性（5）联合平稳随机过程878889...906随机过程的连续、微分、积分（1）连续随机过程的微分和积分运算类似于一般的函数的微积分运算，但由于涉及极限和收敛问题，因而略有不同。对于随机过程X（t）如果对于所有的时间都满足均方连续则X(t)均方连续。91对于随机过程X（t）如果对于所有的时间都满足均方连续则X(t)均方连续。对于随机过程X（t），如果其相关函数或者协方差函数连续，则X(t)连续－均方连续准则。对于随机过程X（t）均方连续，则数学期望连续。...926随机过程的连续、微分、积分（2）导数93对于随机过程X（t），如果存在X’(t)满足如果则随机过程均方可微（可导），即X’存在-柯西准则

.。9495对求极限9697基本规律：

随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数？

学习这些用在那儿？

导数的物理意义…986随机过程的连续、微分、积分（3）积分对于实随机过程X(t),令如果99100关于积分的一些重要结果(1)随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。(2)随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；随机过程积分的方差为随机过程协方差的二重积分。101(2)随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；随机过程积分的方差为随机过程协方差的二重积分。102(3)随机过程积分的相关函数,等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（先对t1,后对t2积分）。选读教材P4－P111037复随机过程(1)复随机变量1041051067复随机过程(2)复随机过程107108严平稳？109110

习题

1、1114、论述正交、不相关、独立的条件及关系？112

6、7、113基本规律：

随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数114关于积分的一些重要结果(1)随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。(2)随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；随机过程积分的方差为随机过程协方差的二重积分。115(2)随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；随机过程积分的方差为随机过程协方差的二重积分。116(3)随机过程积分的相关函数,等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（先对t1,后对t2积分）。选读教材P4－P111171181198随机过程的各态历经特性（遍历特性）（1）定义和判断

对于平稳随机过程，它的均值、方差都是常数，相关函数只与τ有关，这些数字特征都是集合平均的概念，也就是说，如果我们要得到这些数字特征的准确值，需要观测到所有样本函数，这在实际中是很难做到。如果只通过随机过程的一个样本函数，就可以解决随机过程数字特征的估计问题，很有实际意义，或者…

什么时候就可以只通过随机过程的几个样本函数，来解决随机过程数字特征的估计问题，…120...1211221231241251268随机过程的各态历经特性（遍历特性）（2）实际应用遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长，只要足够长即可。127可以看出，一般情况不同的样本函数，时间平均的结果不同，所以，一般说来时间平均是随机变量，但对于各态历经的随机过程而言，时间平均趋于一个常数，这就表明，各态历经随机过程的各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随机过程的均值可以用它的任意的一条样本函数的时间均值来代替。同样，相关函数亦可以用任意的一条样本函数的时间相关函数来代替，也就是说，各态历经随机过程一个样本函数经历了随机过程所有可能的状态。这一性质，在实际应用中是很有用的，因为我们可以通过对一条样本函数的观测，就可以估计出随机过程均值、方差和相关函数。1281298各态历经特性（遍历特性）（3）遍历和平稳的关系遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）1301319随机过程谱表示(频域研究)

前面我们研究了随机过程的统计特性,包括分布函数、概率密度、均值、方差和相关函数等，这些统计特性都是从时域的角度进行分析的。我们知道，对于确知信号，如果在时域分析较复杂，我们可以利用傅立叶变换转到频域进行分析。同样，对于随机过程，我们也可以利用傅立叶变换来分析随机过程的频谱结构。不过，随机过程的样本函数一般不满足傅立叶变换的绝对可积条件，而且，随机过程的样本函数往往并不具有确定的形状，因此不能直接对随机过程进行谱分解。但随机过程的平均功率一般总是有限的，因此我们可以分析它的功率谱。132133称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。134

对于随机过程而言，一般不满足严格的傅立叶变换条件，所以其频谱密度和能谱密度均不存在。但在实际中，随机过程的各个样本函数，其平均功率总是有限的，即（1）功率谱的定义135（1）功率谱的定义136137的功率谱密度138的功率谱密度139的功率谱密度140的功率谱密度141142143144145146147148149symswt;Fw=(w^2+4)/(w^4+10*w^2+9);ft=ifourier(Fw,w,t);pretty(ft);150151152153att_max=30;x1=0.1;yz1=1.5;randn('state',sum(100*clock))a1=randn(1,1);a2=randn(1,1);a3=randn(1,1);a4=randn(1,1);a5=randn(1,1);a6=randn(1,1);att_jz(1,1)=yz1;time_jz(1,1)=1;att_jz_index=2;time_jz_index=2;time=2;while5==5a=randn(1,1);x=a+0.2703*a1+0.1063*a2+0.0475*a3-0.0028*a4-0.0188*a5-0.0012*a6-0.1080*x1;att=yz1+x;yz1=att;x1=x;a6=a5;a5=a4;a4=a3;a3=a2;a2=a1;a1=a;154figure(1)plot(time_jz,att_jz)holdon[pxx,f]=psd(att_jz,1024,0.1,hamming(512),128);figure(2)plot(f,10*log10(pxx/(1024/2)));xlabel('频率Hz');ylabel('psddB^2/Hz')ifatt>1.5&att<att_max

att_jz(1,att_jz_index)=att;time_jz(1,time_jz_index)=time*10;att_jz_index=att_jz_index+1;time_jz_index=time_jz_index+1;time=time+1;endifatt_jz_index==1000breakendend大作业：计算机傅立叶变换的通用程序，计算解求解功率谱密度的例子。155（2）平稳过程功率谱密度的性质156157（3）随机序列的功率谱158（4）互功率谱159（5）非平稳信号的功率谱？160任意随机过程均成立，但是几乎不能用此方法计算。161162（6）时变谱如果R采用对称相关函数163164165166167?查阅马尔可夫过程及其应用！1682.2典型随机过程

按分布特性（Xt之间的依赖关系）分类，依照过程在不同时刻状态的统计依赖关分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程,更新过程，点过程（点过程的特例：Possion过程），鞅，高斯随机过程等。1691、鞅过程

鞅论发端于赌博,是用来刻画赌博(或投机)规则是否公平的数学模型.鞅论成为随机分析理论的核心内容,不仅是沟通概率论与纯数学(如泛函分析、(偏、常)微分方程、几何分析等)的重要桥梁，也发展成为数学物理和诸多应用学科(特别是保险、金融等领域)的主要研究工具之一。实际上属于随机分析的范畴。170171样本空间事件集概率度量1722、（平稳）独立增量过程3、更新过程1733、点过程

可分及可测！Poisson过程！1744、马尔可夫随机过程及其应用(1)、概念/概率分布及转移矩阵马尔可夫性(无后效性)

过程(或系统)在时刻t0所处的状态为已知的条件下，过程在时刻t>t0所处状态的条件分布与过程在时刻t0之前所处的状态无关。通俗地说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖于“过去”。175176177178=1179=1180181182183184多步转移矩阵性质：185例：(0-1传输系统)如图所示，只传输数字0和1的串联系统中，设每一级