高中数学人教A版第三章不等式 课时提升作业(二十五)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十五)基本不等式的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.设x>0，则y=3-3x-1x的最大值是 23 【解析】选=3-3x-1x=3-≤3-23x·1x=3-23，当且仅当3x=1【补偿训练】已知a>0，b>0，a+b=2，则y=1a+4bA.72 B.4 C.92【解析】选C.因为a+b=2，所以y=1a+4b=1a+4ba+b2=12+b2a+2a2.(2023·黄石高二检测)设a>1，b>1且ab-(a+b)=1，那么()+b有最小值2(2+1)+b有最大值(2+1)2有最大值(2+1)2有最小值2(2+1)【解析】选A.因为a>1，b>1，所以ab-(a+b)≤a+b22-(a+b)，即a由于ab-(a+b)=1，可知ab-2ab-1≥0，解得ab≥1+2，故ab有最小值为1+23.设x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为() 3+22 【解析】选A.由已知得x+3y-2=0，3x>0，27y>0，所以3x+27y+1≥23x+3y+1=6+1=7，当且仅当3x=27y，即x=1，y=14.(2023·安阳高二检测)若对x>0，y>0，有(x+2y)2x+1≤8 >8 <0 【解析】选A.(x+2y)2x+1y=2+≥4+24y当且仅当x=2y时取等号，所以m≤8.5.已知p>0，q>0，p，q的等差中项为12，且x=p+1p，y=q+1q B.5 【解析】选+y=p+1p+q+1q，而p+q=1，所以x+y=1+p+qpq≥1+p+q【误区警示】本题容易忽视条件p，q的等差中项为12，出现以下错误：x=p+1p≥2，y=q+【补偿训练】已知正项等差数列an的前20项和为100，则a5·a16() B.75 【解析】选=20(所以a5+a16=a1+a20=10，而a5+a16≥2a5·a16，故a二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2023·梅州高二检测)已知x>0，y>0，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为【解析】因为x3+y4=1，所以1=x3+y所以xy≤3，当且仅当x3=y4=1答案：3【补偿训练】(2023·吉首高二检测)已知a=(x-1，2)，b=(4，y)(x，y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是()A.12 12 【解析】选A.由已知得4(x-1)+2y=0，即2x+y=2.所以xy=x(2-2x)=2≤12×2x+2-2x当且仅当x=127.(2023·玉林高二检测)已知ab>0，则ba+ab的取值范围是【解析】因为ab>0，所以ba+ab≥2当且仅当a=b时取等号.答案：[2，+∞)8.若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是__________.【解析】因为x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1，所以(x+y)2=xy+1≤x+y22+1，故34(x+y)2≤1，所以x+y≤答案：2【补偿训练】已知x>0，y>0，lgx+lgy=1，则2x+5y的最小值为【解析】因为lgx+lgy=1，所以xy=10，所以2x+5y≥2当且仅当2x=5故2x+5答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·长春高二检测)阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少【解题指南】设矩形温室的一边长为xm，则另一边长为800xm(2<x<200)，则可得种植面积为S=(x-2)800【解析】设矩形温室的一边长为xm，则另一边长为800xS=(x-2)800x-4=800-=808-1600x+4x当且仅当1600x=4x，即x=20时等号成立.即当矩形温室的一边长为20m，另一边长为40m时种植面积最大，最大种植面积是10.(2023·乐山高二检测)(1)已知x<-2，求函数y=2x+1x+2(2)求y=x2【解析】(1)因为x<-2，所以x+2<0，-(x+2)>0.所以y=2(x+2)+1x+2=--2(x+2)+≤-2-2(x+2)·-1x+2当且仅当-2(x+2)=-1即x=-2-22时，y取最大值-22(2)令t=x2+4(t≥2)，则y=f(t)=t+由f(t)=t+1tf(t)min=2+12=52，即当x2+4=2，x=0时，y(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·泸州高二检测)已知x>1，y>1且lgx+lgy=4，则lgx·lgy的最大值是() B.2 D.1【解析】选A.因为x>1，y>1，所以lgx>0，lgy>0.所以lgx·lgy≤lgx+lgy当且仅当lgx=lgy=2，即x=y=100时取等号.2.若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 B.5 【解析】选C.3a+3b≥23a·【补偿训练】已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a+b) B.1 【解析】选D.(a+b)2cd=二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2023·百色高二检测)建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________【解析】设水池的造价为y元，长方体底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为4那么y=120×4+2×80×2≥480+320×2x·当且仅当2x=8x所以x=2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元.答案：17604.(2023·西安高二检测)设x>0，y>0，且x+2y=202，则lgx+lgy的最大值为__________.【解析】202=x+2y≥22xy所以lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.当且仅当x=102，y=52时取等号.答案：2【补偿训练】若x>0，y>0，且x+4y=1，则xy的最大值为__________.【解析】由1=x+4y≥24xy得xy≤1当且仅当x=12，y=1答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2023·张掖高二检测)设f(x)=2x+4(1)求f(x)的最大值.(2)证明：对任意实数a，b恒有f(a)<b2-3b+214【解析】(1)因为f(x)=2x+44x+8=16·2x(2x)2+8=16(2)因为b2-3b+214=b所以当b=32时，b2-3b+21由(1)知，f(a)有最大值22，又22<3，所以对任意实数a，b恒有f(a)<b2-3b+2146.(2023·衡水高二检测)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式.(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)【解析】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)=60；当20≤x≤200时，设v(x)=ax+b，再由已知得200解得a故函数v(x)=60(2)依题意可得f(x)=60当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20<x≤200时，f(x)=13≤13x+200-x2即x=100时，等号成立.所以，当x=100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值10000综上，当x=100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值10000【拓展延伸】基本不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，分