高中数学人教A版3第一章计数原理 优质课奖

章末检测一、选择题1．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m等于 ()A．9 B．8 C．7 D．6答案C解析由m(m－1)(m－2)＝eq\f(6·m（m－1）（m－2）（m－3）,4×3×2×1)，解得m＝7.2．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有 ()A．2人或3人 B．3人或4人C．3人 D．4人答案A解析设女生有x人，则Ceq\o\al(2,8－x)·Ceq\o\al(1,x)＝30，即eq\f(（8－x）（7－x）,2)·x＝30，解得x＝2或3.3．若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是 ()A．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,94) B．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,99)C．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94) D．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(2,94)答案C解析不考虑限制条件，从100件产品中任取3件，有Ceq\o\al(3,100)种取法，然后减去3件全是正品的取法Ceq\o\al(3,94)，故有Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94)种取法．4．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数是()A．18 B．16 C．14 D．10答案C解析第一象限不同点有N1＝2×2＋2×2＝8(个)，第二象限不同点有N2＝1×2＋2×2＝6(个)，故N＝N1＋N2＝14(个)．5．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有 ()A．18种 B．24种 C．45种 D．90种答案D解析Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝90.6．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是 ()A．7 B．8 C．9 D．10答案B解析a2＝Ceq\o\al(2,n)，an－5＝(－1)n－5Ceq\o\al(n－5,n)＝(－1)n－5Ceq\o\al(5,n)，∴2Ceq\o\al(2,n)＋(－1)n－5Ceq\o\al(5,n)＝0.eq\f(120,（－1）n－5（n－2）（n－3）（n－4）)＝－1，∴(n－2)(n－3)(n－4)＝120且n－5为奇数，∴n＝8.7．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数为()A．8 B．15 C．243 D．125答案C解析由分步乘法计数原理得发送方法数为35＝243.8．(2023·陕西理)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－\f(1,x)）6，x＜0，,－\r(x)，x≥0.))则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为 ()A．－20 B．20 C．－15 D．15答案A解析当x＞0时，f[f(x)]＝(－eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x)))6＝(eq\f(1,\r(x))－eq\r(x))6的展开式中，常数项为Ceq\o\al(3,6)(eq\f(1,\r(x)))3(－eq\r(x))3＝－20.9．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有 ()A．15种 B．18种 C．30种 D．36种答案C解析先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A球或B球所在的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．10．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6) C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)答案C解析先从后排中抽出2人有Ceq\o\al(2,8)种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，∴为Aeq\o\al(2,6).共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)种调整方法．二、填空题11．(2023·安徽理)若(x＋eq\f(a,\r(3,x)))8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.答案eq\f(1,2)解析通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(eq\f(a,\r(3,x)))r＝Ceq\o\al(r,8)arx8－r－eq\f(r,3)⇒8－eq\f(4,3)r＝4⇒r＝3，Ceq\o\al(3,8)a3＝7⇒a＝eq\f(1,2).12．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．答案30解析将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有Aeq\o\al(2,6)＝30(种)．13．(2023·大纲卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答)．答案480解析6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有Aeq\o\al(4,4)种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有Aeq\o\al(2,5)种方法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝480(种)．14．(x2＋2)(eq\f(1,x2)－1)5的展开式的常数项是________．答案3解析第一个因式取x2，第二个因式取含eq\f(1,x2)的项得：1×Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.三、解答题15．已知(eq\r(4,\f(1,x))＋eq\r(3,x2))n展开式中的倒数第3项的系数为45，求：(1)含x3的项；(2)系数最大的项．解(1)由题意可知Ceq\o\al(n－2,n)＝45，即Ceq\o\al(2,n)＝45，∴n＝10，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(x－eq\f(1,4))10－r(xeq\f(2,3))r＝Ceq\o\al(r,10)xeq\f(11r－30,12)，令eq\f(11r－30,12)＝3，得r＝6，所以含x3的项为T7＝Ceq\o\al(6,10)x3＝Ceq\o\al(4,10)x3＝210x3.(2)系数最大的项为中间项即T6＝Ceq\o\al(5,10)xeq\f(55－30,12)＝252xeq\f(25,12).16．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？解(1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有Ceq\o\al(4,4)种；②取3个红球1个白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)种；③取2个红球2个白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)种，故有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115种．(2)设取x个红球，y个白球，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，,2x＋y≥7，,0≤x≤4，,0≤y≤6，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))因此，符合题意的取法种数有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝186(种)．17．已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60.(1)求n的值；(2)求－eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)－eq\f(a3,23)＋…＋(－1)neq\f(an,2n)的值．解(1)因为T3＝Ceq\o\al(2,n)(－2x)2＝a2x2，所以a2＝Ceq\o\al(2,n)(－2)2＝60，化简可得n(n－1)＝30，且n∈N*，解得n＝6.(2)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(－2x)r＝arxr，所以ar＝Ceq\o\al(r,6)(－2)r，所以(－1)req\f(ar,2r)＝Ceq\o\al(r,6)，－eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)－eq\f(a3,23)＋…＋(－1)neq\f(an,2n)＝Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋…＋Ceq\o\al(6,6)＝26－1＝63.18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题．(1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；(3)若直线方程ax＋by＝0中的a，b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？解(1)分三步：①先选万位数字，由于0不能作万位数字，因此有5种选法；②个位数字只能从0，2，4这3个数字选，因此有3种选法；③十位、百位、千位，由于允许重复，有6×6×6种选法；由分步乘法计数原理知所求数共有5×6×6×6×3＝3240(个)．(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝18(个)；当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有