高考数学高分宝典

高考数学高分宝典

一、高考数学试题特点二、高考数学命题趋势三、高考复习方法建议

数学特征及其分类

数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。

——恩格斯联想、直觉、顿悟等方面，而且有严谨理性的证明过程，通过数学培养学生的逻辑思维能力是最好、最经济的方法。在学习数学知识及运用数学知识、思想和方法解决问题的过程中，能培养辨证唯物主义世界观，能培养实事求是、严谨认真和勇于创新等良好的个性品质。数学在培养人的思维能力、发展智力方面具有不可或缺的突出作用。加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操。”数学思维不仅有生动活泼的探究过程，其中包括想象、类比、数学可以分成两大类纯粹数学应用数学

20世纪产生一批应用数学的分支，例如，控制论，信息论，博弈论，规划论等等。这些数学分支涉及的问题已经成为数学重要的研究方向与课题。随着时代的发展，形成了许多新的学科方向，有许多都是与数学有关，例如生物数学，经济数学，计算化学，计量历史学…等边缘学科。有人甚至说，任何一个学科加上数学就可以成为一个新的交叉学科。姜伯驹院士曾多次强调“数学已经从幕后走到台前，在很多方面为社会直接创造价值。”这是对数学变化的一个很好的概括。提丢斯数列

（提丢斯）3，6，12，24，48，96，192，……

0，3，6，12，24，48，96，192，……

0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,……水星金星地球火星？木星土星？？实际距离0.390.721.01.52?5.29.5??计算距离0.40.71.01.62.85.210.019.6…1781年天王星（19.2）1801年谷神星（2.7）宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

—华罗庚天赋＋兴趣＋最好的老师是青少年成才的途径。数学专业在许多高校的招生排行榜上位置越来越靠前，学数学很有用，各学科都用得上。

数学是思想家的学问，万物皆数理，没有微积分，整个近代数学就没有了。几何拓朴学的黄金时代是陈省身年代。我听美国一支垒球队的老板讲，他们雇了一位搞数学的，研究攻球次数和薪水的恰当比例，防止多花冤枉钱。在微软还有专门一个纯数学的研究室，养着一批数学家。

尽管现在美国找工作不容易，华尔街还招大量的数学系毕业生，培训三个月就上岗，数学教人会思考。数学好像是抽象的，与你的生活无关。但比如买车，花同样的钱，数学家可能更会算计，可以买到更高价值的车；再比如现在普遍在用的电脑，它的发明人冯·诺伊曼、图林都是数学家。

一、高考数学试题特点对基础知识的考查：全面又突出重点.重视知识的交汇与融合把握学科特点，倡导通性通法突出能力立意，搞好探究创新顺应教育改革，体现课改精神设置实际背景，考察数学应用.对基础知识的考查：全面又突出重点.

例1

例2已知a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为_____________.选取a，b，c的符号可得ab+bc+ca的最小值

重视知识的交汇与融合例3长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),一质点从AB中点P0出发，沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到的CD,DA,AB上的P2，P3，P4，设P4的坐标（x4,0）,若1<x4<2,求tanθ的取值范围.ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4ABDCP0P1P2P3P4设P1的坐标(2，m),设P2的坐标(n，1),设P3的坐标(0，p),设P4的坐标(q，0),把握学科特点，倡导通性通法

例4设定义在R上的函数则关于x的方程xx结果c=0,b<0.xyoEABCDxyoEABCD突出能力立意，搞好探究创新

例6把集合{2t+2s|0≤s<t,s,t∈Z}的元素由小到大排列得到数列{an},例如a1=20+21=3,a2=20+22=5,a3=21+22=6,a4=20+23=9,a5=21+23=10,a6=22+23=12,……把数列{an}的项依次写成塔形:35691012………………（1）

写出塔形的第四、五行；（2）

求a100；

35691012………………观察找规律

171820243334364048第一行1个数，第二行2个数，……，第n行n个数，1+2+3+……+n≥100≥1+2+3+……+n-1,得n=14,说明a100在第14行，每一行的第一个数分别为2+1，22+1，23+1，24=1，25+1，26+1，……214+1，∵前13行用了91个数.∴a100在第14行的第9个数，

a100=214+1+1+2+4+8+16+32+64+128=16640.(s,t)(0,1)(0,2)(0,3)(0,4)…………(0,n)(1,2)(1,3)(1,4)…………(1,n)(2,3)(2,4)…………(2,n)(3,4)…………(3,n)…………(n-1,n)171820243334364048理性思维(0,14)(1,14)(2,14)(3,14)(4,14)(5,14)(6,14)(7,14)(8,14)(9,14)(10,14)(11,14)(12,14)(13,14)a100在第14列对应第9个数组，(8,14)a100=214+28=16640.

顺应教育改革，体现课改精神例7计算机常用十六进制的计数制，对应关系

16进制01234567

10进制01234567

16进制89ABCDEF

10进制89101112131415∵A×B=110,110÷16=6余14∴A×B=6EA×B=______.(A)6E(B)72(C)5F(D)B0例8对任意函数f(x),x∈D,可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①

输入数据x0∈D,经数列发生器输出x1=f(x0),②

若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则x返回输入端，再输出x2=f(x1),将依此规律继续下去.

现定义：

f输入打印输出

X1∈D

NoYes结束(1)

若x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；(2)

若数列发生器产生一个无穷的常数列，试输入初始值x0

的值；(3)若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足xn<xn+1

对任意正整数n成立，求x0

的取值范围.设置实际背景，考察数学应用.例9一接待中心有A,B,C,D四部热线电话，已知某一时刻电话A,B占线的概率为0.5,电话C,D占线的概率为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率和它的期望。解P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09P(ξ=1)=P(ξ=2)=…………

ξ

0

1

2

3

4

P0.090.30.370.20.04Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2 +4×0.04=1.8例10某城市要在中心广场建一个扇形花圃156423现在要栽种4种不同颜色的花，每一部分栽一种，要求相邻部分不同色，有多少种不同的种法？126543先考虑在1区内栽种有4种方法，再依次考虑2、3、4、5、6区的栽种方法。

23456

11564234×30＝120画树图当1区选中后，2区有三种选色方法。（21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且（I）求，，，（II）求数列的前项和（Ⅲ）记，求证：

求证：

答题中暴露的问题：

(1)题意不清

(2)公式用错

(3)计算错误

(4)表述凌乱

(5)过程繁琐

(6)套用题型

(7)会而不对

(8)对而不全考上名牌大学并没有想的那么难信心决心恒心方法数学真正成功者属于数学爱好者数学题是用脑子做的而不是用手做的带着欣赏的眼光做题吧二、高考数学命题趋势注重基础、稳中渐变主干知识、常考常新揭示本质、适度形式综合交汇、链接高等关注竞赛、导向选拔未来高考数学命题的趋势难度:0.60—0.65课本习题拓展化

发挥课本例、习题的基础性、典型性、示范性功能，努力“跳出题海”。研究性学习“成果化”

纸片剪拼成柱锥模型的设计方案

三角形数列的研究

如图1，有一条河，两个工厂P和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂P和Q距离河岸L分别为10千米和8千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q输水，请你给出一个经济合理的设计方案。L14810QP河R最佳选址问题水泵站R建立在河边（即L上），则问题转化为在L上找一点R，使|RP|＋|RQ|为最小。方案一：8L10Q14P河图1R水泵站R建立在河边（即L上），走R—P—Q的路线，则问题转化为在L上找一点R，使|RP|＋|PQ|为最小。方案二：L810Q14P河图2R水泵站R建立在河边（即L上），走R—Q—P的路线，则问题转化为在L上找一点R，使|RQ|＋|QP|为最小。方案三：14图3L810QP河R水泵站R不建在河边，则问题转化为要在L的P、Q一侧找点R，使R到P、Q及L的距离之和即|RP|+|RQ|+|RM|最小。方案四：R图48L10Q14P河M方案五图58L10Q14P河MR连MP，则MP+PQ≤RM+RP+PQ，而M—P—Q的路线即方案二，故只需考虑方案二。图68L10Q14P河RM方案六连MQ，则MQ+PQ≤RM+RP+PQ，而M—Q—P的路线即方案三，故只需考虑方案三。R方案一：8L10Q14P河图18L10Q14P河图4方案四：LQ14P图2810河方案二：R8L10Q14P河图3方案三：RR问题引申这就是著名的阿勒哈森问题。建议：同学们运用本课采用的研究方法去加以研究。PQ若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图），则应该如何选点？河R提示：注意运用圆心高考试题竞赛化

全国高中数学联赛的一试接近于高考，但它比高考更侧重能力考查数学竞赛专家积极参与了高考命题工作高考能力要求

思维能力运算能力空间想象能力实践能力创新意识思维能力：对材料会观察、比较、分析、综合、抽象、概括；会用演绎、归纳、类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地表述。运算能力：正确的运算、变形和数据处理；会寻找和设计合理、简捷的运算途径；根据要求会估算与近似计算。空间想象能力：依条件作图；从图形到直观；分清图形的元素及其关系；对图形能分解和组合；能利用图象或图表解决问题。实践能力：能综合应用所学知识解决实际问题；能阅读理解问题所涉及的材料；对信息会整理、归类，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，用数学语言表述和说明。创新意识：对新颖的信息、情境和设问，能选择有效的方法和手段给予收集和处理；能综合与灵活的运用知识与方法，进行独立思考与探究，能创造性的解决问题。三、高考复习方法建议

1．强化数形结合思想的训练

2．强化特殊化思想的训练

3．强化估值法的训练

4．适当进行新题型的训练

1．强化数形结合思想的训练例1

函数y=ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示,其中|x1|＞|x2|,则

(

)

(A)a＞0b＞0c＞0d=

0(B)a＞0b＞0c＜0d=

0(C)

a＜0b＜0c＞0d=

0(D)

a＜0b＜0c＜0d=

0【思路分析】

由图得f(0)=0，则d=0．∴f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d

=ax(x－x1)

(

x－x2)

当x＞x2时，由图得

f(x)＞0，x>0，

x－x1＞0，

x－x2>0，由此得a＞0．又y=ax(x－x1)(x－x2)

=ax3－a(x1＋x2)x2＋ax1x2x∴

b

=－a(x1＋x2)，c=ax1x2由于，|x1|>|x2|,且x1＜0,x2＞0,∴

x1＋x2＜0，x1x2＜0，又a＞0,由此可得b＞0，c＜0．选(B)

例2

函数y=logax在x∈[2,+∞)上恒有|y|＞1，则a的取值范围是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)或或或

【思路分析】

令x

=

2，|y

|

=

1，求出a

=

2或a

=

．在同一坐标系内画出y

=和的图象.然后再由

时|

y|＞1，任意画出y=logmx和y

=

lognx的两个函数图象,它们与直线y

=

1交点的横坐标即为m、n的值．从图可直观得到取值范围为或1<a<2．选(A)

例3已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x=0上的任意一点，则△ABC面积的最小值是()

(A)(B)(C)(D)

2．强化特殊化思想的训练例4

已知函数f(x)对任意实数x都有

f(3－x)=f(2＋x)，它的一个单调递增区间是[1,2]，则函数y=f(1－x)在()

(A)[－4,－3]上单调递增，[－2,－1]上单调递减

(B)[－3,－2]上单调递增，[－1,0]上单调递减

(C)

[－4,－3]上单调递减，[－2,－1]上单调递增

(D)[－3,－2]上单调递减，[－1,0]上单调递增

【思路分析】由f(3－x)=f(2＋x)得y=f(x)的图象的对称轴为.又f(x)在[1,2]上单调递增,可令

则

.从图中可直观得到正确答案(B).

例5已知三棱锥A－BCD中,E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，则截面EFGH把三棱锥A－BCD分成两部分的体积比为()

(A)1∶1(B)1∶2(C)2∶3(D)3∶

4使AD⊥平面BCD，且BC⊥CD．设BC=CD=AD=2，则

，选(A)．【思路分析】(一)．．．【思路分析】(二)

使三棱锥变为各条棱长皆相等的正四面体，认真观察后会发现,被截面所截的两个多面体是完全相同的,所以它们的体积比为1∶1,选(A)．

3．强化估值法的训练例6已知α、β都是锐角,且，

,则α＋β的值等于()

(A)(B)(C)或(D)或画出单位圆,由，

及，α、β

为锐角,可大致确定出

α、β及终边所在的位置.

由图，显然α+β≠

，也不会两解，所以选(B)．

【思路分析】

4．适当进行新题型的训练例7

已知三个函数y1，y2，y3以及对应的函数图象C1，C2，C3．将C1向左平移2个单位得到C2，将C2关于原点对称得到C3，若三个函数解析式从以下三式中选取：，，,则

y1=_______________,y2=_______________,y3=______________.【思路分析】变换的顺序与方法是确定的．第一次变换第二次变换x→

x+2y→

yx→

－xy→

－y观察三个解析式的特点，尤其是x的符号特点，先确定出y3，然后再确定y1和y2，最后进行验证．，，.例8

原市话资费为每3分钟0.18元,现调整为前3分钟资费为0.22元,超过3分钟,每分钟按0.11元计费,与调整前相比，一次通话提价的百分比()

(A)

不会高于70%

(B)

会高于70%而不会高于90%

(C)

不会低于10%

(D)

高于30%而低于100%特殊值排除．通话4分钟时，原话费：0.18×2=0.36

现话费：0.22＋0.11=0.33

提价为负值排除(C)(D)

通话30分钟时原话费：0.18×10=1.80

现话费：0.22＋0.11×27=3.19

排除(A)而选(B)．【思路分析】(一)【思路分析】(二)

可表示为：

所以提价.解好中等解答题的对策

例9

已知函数

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和值域；

（Ⅱ）求f(x)的单调增区间．

解：由于（Ⅰ）易知周期T=，值域为[－3，5]．

（Ⅱ）由，得因此，f(x)的单调增区间是．

例10

已知△ABC的三个内角A，B，C满足：

A＋C=2B，求的值．

解:由A＋C=2B及A＋B＋C=180°，知B=60°，A＋C=120°．

故．

上式可化为

．

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

.代入上式，得

由于，

，

将代入上式整理得，，，例11

某海军基地的三艘舰艇在某海域的A、B、C三处定点执行任务．已知A在B的正东方向，且A、B相距6千米．C在B的北偏西30°，B、C相距4千米．某时刻A处舰艇收到该海域内P处一渔船以每秒1千米的传播速度发出的“由于机器故障无法航行急需救助”的信号，4秒钟后B、C两处的舰艇才同时收到这一信号．现A处舰艇奉命前去救助，求A处舰艇前去救助时航向的方位角．解：以BA所在直线为x轴，线段BA的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系（如图），则A（3，0），B（－3，0），

=4．过C作CM⊥x轴于M，由于C在B的北偏西30°，故∠CBM=60°．∴，，于是得．

由于B处舰艇收到信号比A处舰艇收到信号迟4秒，且信号传播速度为每秒1千米，故|PB|－|PA|=4．

因此，P点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且2a=4，2c=6，从而

a=2，c=3，b2=c2－a2=5．所以，双曲线的方程为①因为B、C两处舰艇同时收到P处渔船发出的呼救信号，所以|PB|=|PC|，于是点P必在线段BC的垂直平分线上．

由点斜式得直线PQ的方程为整理，得．②

过P作PQ⊥BC于Q，则Q必为BC的中点．故得，．联立①、②，注意到x≥2，解得x=8，，于是得．设PA的倾斜角为，则．故．因此所求的方位角为30°．

解好解答题中综合性难题的对策一、“翻译”转化，弄清已知，明确目标，理顺思路．二、辨别题型，设计方案，寻求最佳解法．三、解前估测猜想，解后检验思考，总结经验教训，分析错误原因．

例12．已知函数，f(x)=ax2－1(a∈R，x∈R)，集合

且A=B≠Ø．求a的取值范围．

抛物线y=ax2－1

与直线y=x的交点的横坐标．

方程ax2－1=x的实根

方程a(ax2－1)2－1=x的实根

方程组的解中x的值

曲线y=ax2－1与曲线x=ay2－1的公共点的横坐标．

A=B≠Ø

集合A、B中元素都相同且不是空集

方程ax2－1=x有实根，且与方程

a(ax2－1)2－1=x同解

曲线y=ax2－1与y=x有交点，且交点就是曲线y=ax2－1与x=ay2－1的交点．

由A≠Ø，得到a的一个范围；证明；解题方案一(3)由于，说明四次方程

a(ax2－1)2－1－x=0

左边的四次式必能因式分解，分解出一个二次式ax2－1－x

与另一个二次式的乘积；利用A=B再得出a的另一个范围．

解：(1)由A≠Ø，知方程ax2－x－1=0有实根，

当a=0时，该方程有实根；

当a≠0时，由△1≥0，得

1+4a≥0，

即(a≠0)，

综上，得．(2)f[f(x)]=x即

a(ax2－1)2－1－x=0

a3x4－2a2x2－x+a－1=0(ax2－x－1)(a2x2+ax－a+1)=0．

A=B当且仅当方程

a2x2+ax－a+1=0②

无实根或方程②的实根都是方程

ax2－x－1=0①的实根，方程①与②的实根不都相同．

当△2=a2－4a2(－a+1)<0，即时方程②无实根；当△2=0，即时，方程②有重根，恰是方程①的两根之一；∴当且仅当时A=B．综上，A=B≠Ø时a的取值范围是．

(1)A≠Ø

y=ax2－1与y=x有公共点；解题方案二

(2)A=B

曲线y=ax2－1上不存在两个不同点关于直线y=x对称．

曲线y=ax2－1上斜率为－1的平行弦中点轨迹与y=x没有公共点．

解题方案二练习题1 函数y=ax2－2的图像上存在不同两点关于直线y=x对称，求a的取值范围．例13．已知无穷数列{an}的每一项都是正整数，且，

an<M(n∈N)

其中M是给定常数(M