高中数学人教B版第二章平面向量学业分层测评15

学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up13(→))的相反向量是()－b －a＋b D.－a－b【解析】∵eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＝b－a，∴eq\o(BD,\s\up13(→))的相反向量为－(b－a)＝a－b.【答案】A2.已知平面内M，N，P三点满足eq\o(MN,\s\up13(→))－eq\o(PN,\s\up13(→))＋eq\o(PM,\s\up13(→))＝0，则下列说法正确的是()，N，P是一个三角形的三个顶点，N，P是一条直线上的三个点，N，P是平面内的任意三个点D.以上都不对【解析】因为eq\o(MN,\s\up13(→))－eq\o(PN,\s\up13(→))＋eq\o(PM,\s\up13(→))＝eq\o(MN,\s\up13(→))＋eq\o(NP,\s\up13(→))＋eq\o(PM,\s\up13(→))＝eq\o(MP,\s\up13(→))＋eq\o(PM,\s\up13(→))＝0，eq\o(MN,\s\up13(→))＋eq\o(NP,\s\up13(→))＋eq\o(PM,\s\up13(→))＝0对任意情况是恒成立的.故M，N，P是平面内的任意三个点.故选C.【答案】C3.(2023·天津和平区期末)在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是()\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→)) \o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→)) \o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))【解析】由向量加减法法则知eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))，C项只有四边形ABCD是平行四边形时才成立，eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→)).故选B.【答案】B4.给出下列各式：①eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))；②eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))；③eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(OD,\s\up13(→))＋eq\o(OA,\s\up13(→))；④eq\o(NQ,\s\up13(→))－eq\o(MP,\s\up13(→))＋eq\o(QP,\s\up13(→))＋eq\o(MN,\s\up13(→)).对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是() 【解析】①eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))－(eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＝eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝0；③eq\o(AD,\s\up13(→))－eq\o(OD,\s\up13(→))＋eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DO,\s\up13(→))＋eq\o(OA,\s\up13(→))＝eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(OA,\s\up13(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up13(→))－eq\o(MP,\s\up13(→))＋eq\o(QP,\s\up13(→))＋eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(NQ,\s\up13(→))＋eq\o(QP,\s\up13(→))＋eq\o(MN,\s\up13(→))－eq\o(MP,\s\up13(→))＝eq\o(NP,\s\up13(→))＋eq\o(PN,\s\up13(→))＝0.【答案】A5.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()【导学号：72023047】图2­1­23\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0 \o(BD,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＝0\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝0 \o(BD,\s\up13(→))－eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(FC,\s\up13(→))＝0【解析】因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))，eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(DE,\s\up13(→))，eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(DB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))＝0，故A成立.eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))＝eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(BF,\s\up13(→))＋eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))≠0，故B不成立.eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))－eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))≠0，故C不成立.eq\o(BD,\s\up13(→))－eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(FC,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))－eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(ED,\s\up13(→))＋eq\o(ED,\s\up13(→))≠0，故D不成立.【答案】A二、填空题6.如图2­1­24所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b，eq\o(OC,\s\up13(→))＝c，则eq\o(OD,\s\up13(→))＝________.(用a，b，c表示)图2­1­24【解析】由题意，在平行四边形ABCD中，因为eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b，所以eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))－eq\o(OB,\s\up13(→))＝a－b，所以eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(BA,\s\up13(→))＝a－b，所以eq\o(OD,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝a－b＋c.【答案】a－b＋c7.在平行四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，且|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是________.【解析】由平行四边形法则知，|a＋b|，|a－b|分别表示对角线AC，BD的长，当|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|时，平行四边形ABCD为矩形.【答案】矩形三、解答题8.图2­1­25如图2­1­25，解答下列各题：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up13(→)).(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up13(→)).(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up13(→)).(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up13(→)).【解】因为eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(BC,\s\up13(→))＝b，eq\o(CD,\s\up13(→))＝c，eq\o(DE,\s\up13(→))＝d，eq\o(EA,\s\up13(→))＝e，所以(1)eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(DE,\s\up13(→))＋eq\o(EA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝d＋e＋a；(2)eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→))＝－eq\o(BC,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→))＝－b－c；(3)eq\o(EC,\s\up13(→))＝eq\o(EA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝a＋b＋e；(4)eq\o(EC,\s\up13(→))＝－eq\o(CE,\s\up13(→))＝－(eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(DE,\s\up13(→)))＝－c－d.9.(2023·泰安高一检测)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，eq\o(CM,\s\up13(→))＝a，eq\o(CA,\s\up13(→))＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.【证明】如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，得|eq\o(CM,\s\up13(→))|＝|eq\o(AM,\s\up13(→))|，|eq\o(CA,\s\up13(→))|＝|eq\o(CB,\s\up13(→))|.(1)在△ACM中，eq\o(AM,\s\up13(→))＝eq\o(CM,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up13(→))|＝|eq\o(CM,\s\up13(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，eq\o(MB,\s\up13(→))＝eq\o(AM,\s\up13(→))＝a－b，所以eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\o(MB,\s\up13(→))－eq\o(MC,\s\up13(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b).从而由|eq\o(CB,\s\up13(→))|＝|eq\o(CA,\s\up13(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.[能力提升]1.平面内有三点A，B，C，设m＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))，n＝eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(BC,\s\up13(→))，若|m|＝|n|，则有()，B，C三点必在同一直线上B.△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角C.△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°D.△ABC必为等腰直角三角形【解析】如图，作eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))，则ABCD为平行四边形，从而m＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq