高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）对数函数【全国一等奖】

第4课时对数函数的概念、图象、性质一、课前准备1．课时目标1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.2．基础预探1、对数函数的定义函数叫做对数函数，其中是自变量.2、对数函数的图象和性质（1）当时，对数函数的图象可由描点法得到；当时，对数函数的图象既可以由描点法得到，也可由对称性得到，因为，所以与关于轴对称.（2）函数的定义域为值域为（3）当时，是函数；当时，函数是函数（填“增”或“减”）（4）对数函数的图象过定点.3、若，则；若，则；4、对数函数与互为反函数，图象关于对称.5、对数函数的图象与性质定义底数图象定义域值域单调性公共点二、基本知识习题化1.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（）.解析：由题意得，当时，函数单调增函数，而为单调减函数，故选B2.函数的值域为（）.A.B.C.D.解析：由，得，故选C.3.不等式的解集是（）.A.B.B.D.解析：由，所以，故选A.4.比大小：（1）；（2）loglog2.解析：由对数函数的性质得，又5.函数的定义域为，值域为．解析：由对数函数的性质得，函数的定义域为R，又，所以，所以值域为三、学习引领1、对对数函数的定义理解（1）、同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如等都不是对数函数，只有才是对数函数.（2）、由于指数函数的定义域是R，值域为，再根据对数式与指数式的互化过程知道对数函数的定义域为，值域为R，它们的定义域和值域是互换的.2、函数与的意义指数函数与对数刻画的是同一对自变量之间的关系，所不同的是：在指数函数中，是自变量，是的函数，其定义域为R，值域是，在对数函数中，是自变量，是的函数，其定义域为，值域是R.四、典例导析题型一、求解对数函数的定义域、值域问题例1、求下列函数的定义域：（1）y=logax2；（2）y=loga（a＞0，a≠1）.分析：根据函数解析式列出满足条件的方程（组），求解函数的定义域.解：（1）由x2＞0，得x≠0.∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.（2）由题意可得＞0，又∵偶次根号下非负，∴x－1＞0，即x＞1.∴函数y=loga（a＞0，a≠1）的定义域是{x|x＞1}.点评：求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.变式练习1、例1求函数的定义域.解析：由，得.∴所求函数定义域为{x|–1＜x＜0或0＜x＜2}.题型二：有关对数函数的图象例2、求函数的定义域，并画出它的图象.分析：通过分类讨论去掉解析式中的绝对值，利用对数函数的图象求解.解析：函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}.012xy–2012xy–2······–1其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）.点评：对数函数的图象都过，当时，函数为单调增函数，当时，函数为单调减函数.变式练习：2、如图所示，曲线是对数函数的图象，已知值取，则相应于C1，C2，C3，C4的值依次为（

）

A．

B．

C．

D．解析：由对数函数的图象可得，相应于C1，C2，C3，C4的值依次为.题型三、有关对数函数的性质例3、求证：函数f（x）=lg是奇函数.分析：根据函数奇偶性的定义来证明.证明：设f（x）=lg，由＞0，得x∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），又对于定义域（－1，1）内的任意的x，都有f（－x）=lg=－lg=－f（x），所以函数y=lg是奇函数.点评：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.变式练习3、例2求证：函数f(x)=在(0,1)上是增函数.解析：设0＜x1＜x2＜1，则f(x2)–f(x1)==∵0＜x1＜x2＜1，∴＞1，＞1.则＞0，∴f(x2)＞f(x1).故函数f(x)在(0,1)上是增函数.五、随堂练习1、下列函数是对数函数的有（）⑴；⑵；⑶；⑷.A、1个B、2个C、3个D、4个解析：由对数函数的定义可得，只有⑶为对数函数.2、函数的定义域为（）A． B． C． D．解析：，解得3、设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（）A．B．2C．2D．解析：：由于，函数=在区间上的最大值与最小值之差为，那么，即，解得，即.4、函数的定义域为_________.答案：；提示：由题意得：.5、若不等式，则的取值范围是，的取值范围是.答案：，提示：由，则，此时.6、已知，比较的大小.解析：由，由对数函数的性质，得，，，又，∴，，∴大小关系为.六、课后作业1、已知函数的定义域为M，的定义域为N，则MN（）A、B、C、D、解析：依题意可得函数的定义域=，的定义域，∴.2、已知，则的取值范围是（）A、B、C、D、解析：：由，又，得，又，得，∴的取值范围是.3、已知函数的定义域为，则函数的定义域是.答案：提示：由题意得，即，解得.4、若函数，在区间上的最大值是最小值的3倍，则实数.解析：⑴当时，函数在上是单调递减函数，∴在上，则，，∴，解得：.⑵当时，函数在上是单调递增函数，∴在上，则，，∴，解得：.5、已知.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）求使的的取值范围.解析：（1），即，等价于，得，所以的定义域是；（2）==，所以，即为奇函数；（3）由，得，当时，有，解得；