第四章抽样与参数估计-抽样分布-01

第四章抽样与参数估计第一节抽样与抽样分布学习目标区分总体分布、样本分布、抽样分布掌握随机抽样方式理解抽样分布与总体分布的关系掌握单总体参数推断时样本统计量的分布掌握双总体参数推断时样本统计量的分布掌握抽样误差的测度及其影响因素4.1.1

三种不同性质的分布总体分布样本分布抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布

(populationdistribution)总体一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布

(sampledistribution)样本样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本样本统计量提供的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 抽样分布

(samplingdistribution)抽样分布

(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本4.1.2

样本统计量的抽样分布

(一个总体参数推断时)样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布抽样方差的抽样分布样本均值的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布

(例题分析)（重复抽样）【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3

、x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布

(例题分析)（重复抽样）

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为所有可能的n

=2的样本（共16个）第一个观察值第二个观察值123411,11,21,31,422,12,22,32,433,13,23,33,444,14,24,34,4样本均值的抽样分布

(例题分析)（重复抽样）16个样本的均值（x）第一个观察值第二个观察值123411.01.52.02.521.52.02.53.032.02.53.03.542.53.03.54.0计算出各样本的均值如下表。给出样本均值的抽样分布均值X的取值1.01.52.02.53.03.54.0均值X的个数1234321取值的概率P（X

）1/162/163/164/163/162/161/16X样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)（重复抽样）=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X样本均值的抽样分布

(例题分析)（不重复抽样）

如果从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在不重复抽样条件下，共有4×3=12个样本。所有样本的结果为所有可能的n=2的样本（共12个）第一个观察值第二个观察值123411,21,31,422,12,32,433,13,23,444,14,24,3样本均值的抽样分布

(例题分析)（不重复抽样）16个样本的均值（x）第一个观察值第二个观察值123411.52.02.521.52.53.032.02.53.542.53.03.5计算出各样本的均值如下表。给出样本均值的抽样分布均值X的取值1.52.02.53.03.5均值X的个数22422取值的概率P（X

）2/122/124/122/122/12X样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的抽样分布

(例题分析)（不重复抽样）=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体X中心极限定理

(centrallimittheorem)的分布趋于正态分布的过程抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n均值的抽样标准差所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度，又称为抽样平均误差小于总体标准差计算公式为重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

比例

(proportion)容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布

(例题分析)（重复抽样）【例】设某机床5台中有2台优、3台良，即总体单位数N=5。5个个体分别为优品A1、A2，良品B1、B2、B3

。若抽到优品，记x＝1；若抽到良品，记x＝0。当n＝2时，样本比例抽样分布如下表所有可能的n

=2的样本（共25个）样本比率样本频率P(p)1(A1,A1)(A1,A2)(A2,A1)(A2,A2)4/250.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/250(B1,B1)(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B2)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)(B3,B3)9/25样本比例的抽样分布

(例题分析)（重复抽样）重复抽样样本比例抽样分布04/25P(p)8/2512/2500.51.0

p总体分布：样本分布：样本比例的抽样分布

(例题分析)（不重复抽样）【例】仍用上例，采用不重复随即抽样时，机床优质品比率p的抽样分布如下表所有可能的n

=2的样本（共20个）样本比率样本频率P(p)1(A1,A2)(A2,A1)2/200.5(A1,B1)(A1,B2)(A1,B3)(A2,B1)(A2,B2)(A2,B3)(B1,A1)(B1,A2)(B2,A1)(B2,A2)(B3,A1)(B3,A2)12/200(B1,B2)(B1,B3)(B2,B1)(B2,B3)(B3,B1)(B3,B2)6/20样本比例的抽样分布

(例题分析)（不重复抽样）p不重复抽样样本比例抽样分布00.10.20.3P(p)0.40.50.600.51.0总体分布：样本分布：样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)样本方差的抽样分布样本方差的分布对于来自正态总体N(u,σ2)的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)

的2分布，即卡方(2)分布

(2

distribution)χ2分布:设X1,X2,……,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～χ2（n）。设，则令，则Y服从自由度为1的2分布，即

当总体，从中抽取容量为n的样本，则分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度)

可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布

(性质和特点)c2分布

(图示)

选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20ms总体4.1.3

样本统计量的抽样分布

(两个总体参数推断时)两个样本均值之差的抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个样本方差比的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个总体都为正态分布，即，两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布

m1s1总体1s2

m2总体2抽取简单随机样样本容量n1计算X1抽取简单随机样样本容量n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2m1-m2抽样分布两个样本比例之差的抽样分布两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似分布的数学期望为方差为各自的方差之和 两个样本比例之差的抽样分布两个样本方差比的抽样分布两个样本方差比的抽样分布

两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1,σ12)的一个样本，Y1，Y2，…，Yn2是来自正态总体X2~N(μ2,σ22)从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1)的F分布，即由统计学家费舍(R.A.Fisher)

提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则设若U为服从自由度为n1的2分布，即