普通物理学第五版第4章刚体转动答案

4-1一飞轮直径为0.30m，质量为5.00kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地加速，经0.50s转速达10r／3。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所作的功；（3）从拉动后经t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。结束目录5.2×10-2kg.m2

==1.26×1021/s2

===ωatnπ2t2×3.14×100.51.26×102×(0.5)2=5π21at2==q21×N=qπ2=2.5revωant==π2(1)250.15MRJ221×==()2解：结束目录==aFRJ=5.6×10-2×1.26×102

0.1547N=qA=MFRq47×0.15×5π=111J

=aFMRJ==(2)结束目录ωRv==0.15×1.26×103

=1.89×102m/sat=Ra=0.15×1.26×102an2=ωR=0.15×(1.26×103)2

=2.38×105m/s2

=1.26×102×10=1.26×1031/sωat=(3)=18.9m/s2结束目录4-2飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r／min，现要求在5s内使其制动，求制动力F,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。Fωd闸瓦0.5m0.75m结束目录=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2

解：ω104.720.9r/s250at===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfma=NRl1=Fl1+l2mRJa=314Nm=NRJa结束目录

4-3如图所示，两物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为r。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a及绳中的张力T2与T2（设绳子与滑轮间无相对猾动）；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1与T2。m22T1Tm1结束目录fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=ar+=r2+m2mgm1m2J()r2++m1m2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2++m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm10N=gm2aJr=1T2Trr2++a=gm2mgm1m1m2J解得：解：(1)结束目录gm1r2++m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2++m1m2J1T=gm2m1r2++m1m2J2T(2)m=0结束目录4-4电动机带动一个转动惯量为J=50kg·m2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后达到120r／min的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。结束目录ωant==π2ω0tπ12023.14608sr2×=×=0.51.26×103N.m=50aMJ×==π80.5s=t=ω00解：由已知结束目录4-5求题4-2中制动力矩在制动过程中所作的功。结束目录-2.05×104J=ωAJ221=()ω02J21=ω02104.73.752×21=×()解；由转动动能定理结束目录4-6某冲床上飞轮的转动惯量为4.00×103kg·m2．当它的转速达到30r/min时，它的转动动能是多少？每冲一次，其转速降为10r／min转。求每冲一次飞轮对外所作的功。结束目录=1.96×104JEJ221=ω2k2×4.0×103

10602=π2()21=2.06×103J=Ek2AEk1=2.06×103

1.96×104=1.7×104JEJ221=ω2k2=Ek2AEk1(2)解：EJ221=ω1k1×4.0×103

30602=π2()21(1)飞轮作功为：1.7×104J结束目录4-7绕有电缆的大木轴，质量为1000kg，绕中心轴0的转动惯量为300kg·m2．如图所示：R1=1.00m，R2=0.40m。假定大木轴与地面间无相对滑动，当用F=9800N的水平力拉电缆的一端时，问：（1）轮子将怎样运动？（2）轴心0的加速度是多大？（3）摩擦力是多大？（4）摩擦系数至少为多大时才能保证无相对滑动？FR1R20结束目录（5）如果力F与水平方向夹角为θ(<π/2)见图，而仍要使木轴向前加速且与地面无相对滑动，问θ最大不能超过多少？qF结束目录FR1gmR2fNo解：(1)当轮子与地面无相对滑动时，作纯滚动。aFR1MA==()R2JA==aJAMAFR1()R2JA=4.52rad/s298000.6×=1.3103×m2+=JAJ0R11.3×103kg.m2

=14.52a0×===R1a4.52m/s2轴心O

的加速度为：结束目录fma0=F98004.521000×5.28×103N==fma=Ffma0=F(3)fma=F(4)根据牛顿第二定律轮子只滚不滑的条件是：f≤f静maxfma=F≤Nm即：≤gmmFaR1m0.54≥=mFaR1mgmaaR1=只滚不滑时f==gmNmm而结束目录qNfFgmo02≥+=qFJm0cos1R1R2Ra()0≥qcos1R2R=qcos≥1R2R≥0.40.41(5)设轮子向右运动解式(1)(2)得：aqFfmcos1R==m0a(1)J0aFf1R=2R(2)结束目录4-8有质量为mA与mB，的两圆盘同心地粘在一起，半径分别为rA与rB。小圆盘边缘绕有绳子，上端固定在天花板上，大圆盘边缘也绕有绳子，下端挂一物体，质量为mC（见图）试求：（1）要使圆盘向上加速、向下加速、静止或匀速运动的条件；（2）在静止情形下，两段绳子中的张力。mcrBrAO结束目录T1T=ga0mA()mB+mA()mB+=a0rBaJJA+==rArBaT1TJB()a=gmC1TmCa´++gmA()mB+rArB()gmCrBgmA()mB+rBrBJrArB()2rBmC=a01Ta´gmCrArBaTga0mA()mB+1T=rAarBaa´=rAaa0解得：解：(1)结束目录a0>0若：上升<a00若：下降=a00若：静止=gmA()mB+rArB()gmCrB要求：<gmA()mB+rArB()gmCrB要求：gmA()mB+rArB()gmCrB>要求：++gmA()mB+rArB()gmCrBgmA()mB+rBrBJrArB()2rBmC=a0结束目录T1T=ga0mA()mB+mA()mB+=a0rBaJJA+==rArBaT1TJB()a=gmC1TmCa´=rAarBaa´=rAaa0(2)静止时，a0=0，上述方程变为：JJA+==rArBaT1TJB()a=gmC1TmCa´a´=rAaT1T=gmA()mB+0结束目录T1T=gmA()mB+JJA+==rArBaT1TJB()a=gmC1TmCa´a´=rAa0=+gmA()mB+T1T解得：+=gmCJrA2mC1TmA()mB+JrArBmCmCrArB+gmA()mB++=gmCJrA2mCmA()mB+JrArBmCmCrArB结束目录4-9密度均匀、半径为b、质量为m的小球在与水平面的夹角为β的斜面上无滑动地滚下并进入一半径为a的圆形轨道，如图所示。假定小球由高度为h的顶部从静止滚下。（1）求小球到达斜面底部时的角速度和质心的速度；（2）证明：如果b<<a，要使小球不脱离圆轨道而达到A点，则h应满足：

1027ah≥βAhr=baBC结束目录βAhr=baBC解：(1)球的转动惯量为25mb20J=ωhv021+=gmm2210J2=ωv0bωh21+=gmm2212b52ωm22b=ωb1710ghBC从机械能守恒=710ghv0结束目录2agm+ωhvA21+=gmm2210J2mvA=gma22agm+h21+=gmmga2152m2bga2b1027ah≥2a+h2+=5aa=1027aab<当时，(2)从C→A机械能守恒，

小球不脱离轨道时：gvA=a2结束目录4-10压路机的滚筒可近似地看作一个直径为D的圆柱形薄壁圆筒（如图），设滚筒的直径D=1.50m，质量为10t如果水平牵引力F为20000N使它在地面上作纯滚动。求：（1）滚筒的角加速度和轴心的加速度；（2）摩擦力；（3）从静止开始走了1m时，滚筒的转动动能与平动动能。F结束目录2Dm2JA+==()2Dm2()2Dm2aF=MA2D=JA=1000020000×===aMAJAFmD1.51.33r/s2a0=a×2D1.331.52=1m/s2=解:(1)滚筒对瞬时转动中心的惯量120000×==10000×10000NFfm=a0Ffm=a0(2)Ffa0A结束目录==21msaD104J==21msaD104Jωa2==2q4saD2qDs==2Ds(3)21Ek1==J0ω221×2Dm2()4saD转动动能：Ek0v221m==212Dm2()ω平动动能：结束目录4-11长为l质量为m的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当夹角为θ时（见图），求：（1）质心的速度；（2）杆的角速度。qABl结束目录0xc==vcx0ω=vc=sinql2vcyω1qml2cos121+=gm()21221()m221vc=tddqω解：选质心坐标系由机械能守恒：qlcos2=yctdsin==ycdql2tddqvcyqABl结束目录123qg2sin+()1qcos()l1ω=ω=vcsinql2123qg2sin+()1qcos()l1=sinql2+m21ωsinql4222()ωml2241=21qcosgm2()l将代入得：vcω1qml2cos121+=gm()21221()m221vc结束目录4-12如图所示，一圆柱体质量为m，长为l，半径为R，用两根轻软的绳子对称地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：（1）它向下运动的线加速度；（2）向下加速运动时，两绳的张力。l结束目录gm2Tmac=aRJ=gm221+=()Rm2RmaR=gm223RmagR=32a=acRag=32=61Tgm解：设系统做纯滚动lgmTT结束目录4-13在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m的人。圆盘的半径为，转动惯量为J，角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。ω结束目录ω´+=J2RmωJEkΔ=Ek´Ek´=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解：系统角动量守恒ω´+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek´´ω结束目录4-14在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2（＜R1）的圆周匀速地走动时，设他相对于圆盘的速度为v，问圆盘将以多大的角速度旋转？ωR1R2结束目录´=R2vω人对盘的角速度盘对地的角速度ω由角动量守恒得：ω0+″=R22mJω´ω+==ω″ωR2+ωv人对地的角速度RJ1221=m解：0=ωR1221m+R22mR2+ωv()=ωR1221m+R2mvR22m=R122+R2vR222ωR1R2结束目录4-15如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度ω作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J=5×1O-5kg.m。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r=0.1m的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为ω0/2所花的时间。ω0结束目录ωJ2´21+==()ω0J´Jmrω0==mdtdtm2Jrmdtd==5×10-51×10-30.12()×5sω0ω0=221Jm21r=J5×10-5kg.m21m-3d×=td10kg/s已知：解：由角动量守恒2=Jmrω0r结束目录4-16长为2a的匀质棒AB，以铰链固定在A点，最初，用手在B点把它放在水平位置静止不动。当放开B端，棒绕A点转到竖直位置时，去掉铰链，使它成为自由落体。在以后的运动中，它的质心沿抛物线运动，而棒则绕质心旋转着。问当它的质心下降距离h时，棒转了几转？2aAB结束目录ght221=ght2=ωJma=212g解：质心在铅直方向作自由落体运动从水平位置到铅直位置机械能守恒2aAB()ωm212312=mag2a×q==ωt3g2agh2×=ah33=gω2a=nπ2q=π21ah3结束目录4-17在一半径为R、质量为m的水平圆盘的边上，站着一个质量为m′的人。这圆盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边缘走一周回到盘上原有位置时，这圆盘将转过多大的角度？ωRm´m结束目录盘对地的角速度ω由角动量守恒得：´ω0+″=R2mJωRJ221=m解：´=Rvω人对盘的角速度r0=ωR221m+R2mR+ωv()´r´ω+==ω″ωR+ωv人对地的角速度r=ωR221m+RmvR2m´r´ωRm´m=´R21m+mvmr´()结束目录tΔ由题意在时间内，人相对盘转过的角度为：´r=´R2m+mvm()Rrvπ2´=´2m+mm()π4´rωqtΔ==´R+mvm()tΔ2mtΔ在时间内，人相对地转过的角度为：R=rvtΔπ2∴R´==ωtΔrvtΔπ2q=´结束目录4-18一脉冲星质量为1.5×l030kg，半径为20km。自旋转速为2.1r/s，并且以1.0×10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。结束目录=1.5×1030×(20×103)2×2π×2.1×2π×10-15

52×=1.98×1025J/s=t=kEEkdtd2ωJ2Ekdtd=1.98×10251.05×1015s212.4×1038

×(4.2π)2×=πωERJkd52==tddtdω2ωdtdω解：结束目录4-19如图所示的打桩装置，半径为R的带齿轮转盘绕中心轴的转动惯量为J转动角速度为ω0，夯锤的质量为M，开始处于静止状态，当转盘与夯锤碰撞后，问夯锤的速度能有多大？结束目录MRJ2´+=()ω0Jω=MRJ2´+ω0Jωω0v=R´ω=MRJ2+JR解：结束目录4-20一个人站在一竹筏的一端用力向垂直于筏身方向水平跳出去。筏由于受到反冲作用就要旋转起来。假定人的质量为m=60kg，筏的质量M=500kg，人相对于岸的起跳速度为3m／s。求竹筏所获得的角速度。（假定竹筏的转动惯量近似地可以用细杆的公式来计算，水的摩擦可以忽略不计）。筏长10m。结束目录解：筏的质心是O，筏与人所组成的系统的质心是C，对该系统无外力矩作用，所以系统角动量守恒。先求质心C的位置:LCOmvababMm=Mm=ab===2LMm+Mb()500×102(500+60)4.46m=2L=ba0.54m2LMm++=abM=bb结束目录ω0Jmvb=121+=JaML2M2×500×102

=121+500×0.542

=4310kg.m2ωJmvb=34310600.186rad/s==××4.46对质心C的角动量守恒ωJmvb=结束目录4-21两滑冰运动员，质量分别为MA=60kg，MB=70kg，它们的速率vA=7m/svB=6m／s，在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5m。求该瞬时：（1）系统的总角动量；（2）系统的角速度；（3）两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么？结束目录=abMAMB1.56070×+==()ab+=bMAMB+MA600.69m=a1.50.69=0.81m=abMAMBab+=bMAMB+MAab.CMAvAvBMB解：设C为质心(1)系统的总动量矩为：abMAvAvBMB+=630N.m/s结束目录72.7kg.m22=JCabMAMB+2=ω=JCabMAvAvBMB+ω=JCabMAvAvBMB+==63072.78.67rad/s(2)系统对质心C的转动惯量为：由角动量守恒：(3)拉手前的总动能ωJ2=2.73×102J21Ek2=Ek1=221Ek1+=vAMA221vBMB2.73×102J=由机械能守恒，拉手后的动能为：结束目录4-22如图，弹簧的劲度系数为k=2.0N/m，轮子的转动惯量为0.5kg.m2

，轮子半径r=30cm。当质量为60kg的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。结束目录ωgxmk221+=xm221vJ221gxmk2+=xr2vJ22m2×60×9.8×0.4+=2×(0.4)2

600.5(0.3)2=7.18=v2.68m/s解：由动能定理结束目录4-23如图，滑轮的转动惯量J=0.5kg·m2，半径r=30cm，弹簧的劲度系数为k=20N/m，重物的质量m=2.0kg。当此滑轮一重物系统从静止开始启动，开始时弹簧没有伸长。如摩擦可忽略，问物体能沿斜面滑下多远？37Jmrk0结束目录b+ωgmk221+=xm221vJ221ω0=bgmk221=x=gmk2xxqsin2×2×9.8×0.6=20=1.176mb=xqsin解：0v=由题意：Jmrkqbx结束目录4-24在上题中，当物体沿斜面滑下1.00m时，它的速率有多大？

Jmrkqbx结束目录2×2×9.8×0.6200.320.52+==()0.47bωgmk221+=xm221vJ221+gm2xqsink2=xm2vJ2r()=1mx+=m2vJ2rgm2qsinv=0.68m/s解：Jmrkqbx结束目录4-25一长为l=0.40m的均匀木棒，质量M=1.00kg，可绕水平轴0在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m／s的速率从A点射入棒中假定A点与0点的距离为3l/4，如图。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。AOmvl4

3l结束目录0.054MJml231+==()43l2ωvJm=()43lωvJm=()43l=0.008×200×()43×0.40.054=8.87rad/s解：子弹射入后系统的转动惯量为：(1)系统角动量守恒AOmvl4

3l结束目录+=ω12qMJgml2cos43()1qcos()lg2123=+ωqMJgml2cos23lg+Mgmllg=0.078=94.060q(2)系统机械能守恒，设最大偏角为qAOmvl4

3lq结束目录4-26半径R为30cm的轮子，装在一根长l为40cm的轴的中部，并可绕其转动，轮和轴的质量共5kg，系统的回转半径为25cm，轴的一端A用一根链条挂起，如果原来轴在水平位置，并使轮子以ω自=12rad／s的角速度旋转，方向如图所示，求：（1）该轮自转的角动量；（2）作用于轴上的外力矩；（3）系统的进动角速度，并判断进动方向。BAωRlO结束目录=0.313kg.m250.25RJm2×==()2回(1)ω3.769.8J===进动MAω自2.61rad/s(3)5×9.8×0.2=29.8N.mglMAm==(2)解：BAωRlO俯视时，进动方向为逆时针方向。结束目录4-27为稳定船身而装在船上的一种陀螺仪，其质量为50t回转半径为2m，以900r／min的转速绕竖直轴旋转，问：（1）如用736kw的输入功率使其从静止开始转动，要经多长时间才能达到这个稳定转速？（2）要加多大力矩才可使它在船的竖直纵断面内产生10／s的进动角速度？结束目录Pt221=Jω自=1.21×103sPt22=Jω自2×105×30π()22×736×103=πω60900==自30rad/s解：RJm2==回2.0×105kg.m2(1)在t秒内输入功率全部转化为转动动能M=ω进Jω自M=ω进Jω自=3.3×105N.mπ2×105×0.0175×30=M(2)=进ω1度秒=0.0175rad/s结束目录

2-28

在如图所示的回转仪中，转盘的质量为0.15kg,绕其轴线的转动惯量为：1.50×10-4kg.m2,架子的质量为0.03kg,由转盘与架子组成的系统被支持在一个支柱的尖端O，尖端O到转盘中心的距离为0.04m,当转盘以一定角速度ω绕其轴旋转时，它便在水平面内以1/6rev/s的转速进动。(1)求尖端对支架的作用力；(2)求转盘自转的角速度；(3)画出自转角速度矢量、进动角速度矢量和架子转盘系统所受到的力矩矢量图。结束目录ωGRO结束目录Ngm2+=()m19.80.15×+==0.03()7.16N=M=ω进Jω自Nd进Jω3.147.16×0.041.51×10-4×3=(1)解：尖端对支架的竖直向上的作用力n61==π2=ω进π2×1.05rad/s(2)ωGRO结束目录ωGROMω自进ω(3)结束目录29.地球半径R=6378km,卫星离地面最近距离为l1

=439km,最远距离为l2

=2384km,设近地点卫星速度为v2

=8.1km/s。求：远地点卫星速度。mvRl22v1l1解：由角动量守恒得：()Rmvl11+()Rmvl22+==v2()Rl1+()Rl2+v1=6.3(km.s)-1结束目录试求：当绳子到达B点（此时绳子被拉紧）时的速度。30.P为一水平面，一小球系于长度为l的细绳的一端，绳的另一端固定于O点，开始时绳子是松弛的，球位于A点，速度为，其方向与AO垂直，球与O点的距离为d。v0解：由角动量守恒得=mvd0mvdl=vd0vv0vOAd结束目录aAOvl0Rω+=()aRImvl20cos[]+m+()Rl31.OA为一均质木棒，R为一木球，两者固定在一起，可绕水平的O轴转动。它们对O轴总的转动惯量为IO，一子弹以角射入木