近世代数期末考试题库-2022年整理

优质资料word版本——下载后可编辑优质资料word版本——下载后可编辑27/27优质资料word版本——下载后可编辑近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A、2 B、5C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个。4、偶数环是的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个。6、每一个有限群都有与一个置换群。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是，元a的逆元是。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。9、一个除环的中心是一个。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二单项选择题1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（）是子群。A、B、C、D、2、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（）A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与同构。5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=。6、若映射既是单射又是满射，则称为。7、叫做域的一个代数元，如果存在的使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）B、（Z,）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是的，每个元素的逆元素是的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则。3、区间[1，2]上的运算的单位元是。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z8的零因子有。6、一个子群H的右、左陪集的个数。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1．求和；确定置换和的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A.2 B.5C.7 D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A.满射而非单射 B.单射而非满射C.一一映射 D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。A.2 B.4C.6 D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。7.设(G，·)是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝________________________。14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________。15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是___________。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。abcaabcbbcaccab20.设已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：2、解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。3、答：（，）不是群，因为中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123)，(13)}，{(132)，(23)}H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群<G，*>的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．，；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设与都是非空集合，那么。（）2、设、、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。（）3、只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。（）4、如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。（）5、如果群的子群是循环群，那么也是循环群。（）6、群的子群是不变子群的充要条件为。（）7、如果环的阶，那么的单位元。（）8、若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。（）9、中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。（）10、若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设和都是非空集合，而是到的一个映射，那么（）①集合中两两都不相同；②的次序不能调换；③中不同的元对应的象必不相同；④一个元的象可以不唯一。2、指出下列那些运算是二元运算（）①在整数集上，；②在有理数集上，；③在正实数集上，；④在集合上，。3、设是整数集上的二元运算，其中（即取与中的最大者），那么在中（）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数。那么群中的单位元和元的逆元分别是（）①0和；②1和0；③和；④和。5、设和都是群中的元素且，那么（）①；②；③；④。6、设是群的子群，且有左陪集分类。如果6，那么的阶（）①6；②24；③10；④12。7、设是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）①的同态核是的不变子群；②的不变子群的逆象是的不变子群；③的子群的象是的子群；④的不变子群的象是的不变子群。8、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（）①若是零元，则是零元；②若是单位元，则是单位元；③若不是零因子，则不是零因子；④若是不交换的，则不交换。9、下列正确的命题是（）①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（）①；②；③；④。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合；，则有。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则。3、设集合有一个分类，其中与是的两个类，如果，那么。4、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个5-循环置换，那么。7、若是有单位元的环的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为。8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是。9、整环的一个元叫做一个素元，如果。10、若域的一个扩域叫做的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换组成的群，试写出的乘法表，并且求出的单位元及和的所有子群。2、设是模6的剩余类环，且。如果、，计算、和以及它们的次数。六、证明题（每小题10分，共40分）1、设和是一个群的两个元且，又设的阶，的阶，并且，证明：的阶。2、设为实数集，，令，将的所有这样的变换构成一个集合，试证明：对于变换普通的乘法，作成一个群。3、设和为环的两个理想，试证和都是的理想。4、设是有限可交换的环且含有单位元1，证明：中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参考解答一、判断题12345678910××√√×√√√××二、单项选择题12345678910②④③④①②④③①④三、填空题1、。2、。3、。4、。5、变换群。6、。7、。8、一个最大理想。9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R4、唯一分解环的两个元和不一定会有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、叫做域的一个代数元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元测验题填空题（42分）1、设集合与分别有代数运算与，且，则当时，也满足结合律；当时，也满足交换律。2、对群中任意元素=；3、设群G中元素a的阶是n，n|m则=；4、设是任意一个循环群，若，则与同构；若，则与同构；5、设G=为6阶循环群，则G的生成元有