第五章工程项目风险与不确定性分析

在前面介绍第四章内容时，我们有一个重要的假设前提，即不存在不确定因素，方案评价时能得到完全信息。但是，未来实际发生的情况与事先的估算、预测很可能有相当大的出入。为了提高经济评价的准确度和可信度，尽量避免和减少投资决策的失误，有必要对投资方案做风险与不确定性分析，为投资决策提供客观、科学的依据。引言第五章工程项目的风险与不确定性分析投资项目经济评价指标的不确定性来源于两方面：项目本身的不确定性和项目所处环境的不确定性。

具体表现为：（1）基本数据的误差。（数据不足，统计和预测方法的局限性等）（2）当代科学技术突飞猛进，新工艺、新技术、新设备、新产品不断出现引发的变化。（3）经济和政治形势变化。（价格体系、国际市场变化、银行存款利率调整等）

不确定性分析就是研究工程项目中各因素的变化和波动对其经济效益影响的一种方法。主要包括盈亏平衡分析和敏感性性分析.产生不确定性的原因？盈亏平衡分析是根据建设项目正常生产年份的产品产量(销售量)、固定成本、可变成本、税金等，研究建设项目产量、成本、利润之间变化与平衡关系的方法。当项目的收益与成本相等时，即盈利与亏损的转折点，即盈亏平衡点(BEP)。第一节盈亏平衡分析一、概念通过技术项目方案的盈亏平衡点，分析各种不确定因素对经济效益的影响。盈亏平衡点越低，说明项目盈利的可能性越大，亏损的可能性越小，因而项目有较大的抗经营风险能力。根据生产成本、销售收入与产量(销售量)之间是否呈线性关系，盈亏平衡分析可分为：线性盈亏平衡分析和非线性盈亏平衡分析。二、线性盈亏平衡分析①产量等于销售量，销售量变化，销售单价不变，销售收入与产量呈线性关系，企业主管不会通过降低价格增加销售量。1．线性盈亏平衡分析的前提条件。主要有下列几个假设：②假设项目正常生产年份的总成本可划分为固定和可变成本两部分。③假定项目在分析期内，产品市场价格、生产工艺、技术装备、生产方法、管理水平等均无变化。④假定项目只生产一种产品，或当生产多种产品时，产品结构不变，且都可以换算为单一产品计算。

（1）成本按成本与产量关系可分为以下三类：固定成本：即产量在一定幅度内变动，而总额始终保持不变的 有关成本，如不动产税捐、房屋租金、保险费等。变动成本：即随着产量的变动，总额将发生同向、同比例变动 的有关成本，如直接材料费、直接人工工资等。混合成本：即随产量的变动，总额将发生与之相应的、变动幅 度不等的变动的有关成本,如设备维修费、检验人员 工资等。混合成本可进一步区分为“半固定成本”和“半变动成本”。

半固定成本:指总额集资在不同产量水平上分别保持相对固定 的有关成本，从全局考察，呈跳跃式上升态势。

半变动成本:指总额的开始值一定，然后随着产量的变化作 相应变动的有关成本。2．固定成本、可变成本的划分。（2）在进行盈亏平衡分析时，要将全部成本费用按其与产量变化的关系划分为固定成本与可变成本两部分。混合成本要进一步划分为固定成本与可变成本。2．固定成本、可变成本的划分。图解法：根据资料确定成本与产量关系曲线及销售收入与产量 关系曲线，两曲线的交点的产量即BEP（盈亏平衡点）。 代数法：公式来计算。——以下主要介绍代数法3.线性盈亏平衡分析方法（BEP的确定）设：R—总销售收入，C—总成本，E—盈利，Q—产量，P—产品单位售价，F—总固定成本，V—单位产品可变成本， T—单位产品销售税金则，可建立以下方程：总收入方程：总成本支出方程：故，利润方程为：令E=0，解出的Q即为BEP(Q)【盈亏平衡点的其他表示方式】盈亏平衡点价格盈亏平衡点单位产品可变成本盈亏平衡点固定成本盈亏平衡点的生产能力利用率BEP(f)：

BEP(f)＝BEP(Q)/Q0×100%经营安全率：BEP(S)＝1－BEP(Q)注意：平衡点的生产能力利用率一般不应大于75%；

经营安全率一般不应小于25%。经营安全的判定

S值：10％以下10～15％15～25％25～30％30％以上判定：危险应警惕不太安全较安全安全在多方案比较选择时，应选择经营安全率最高的方案为经济合理方案。【例】某设计方案年产量为12万吨，已知每吨产品的销售价格为675元，每吨产品缴付的销售税金为165元，单位可变成本为250元，年总固定成本费用为1500万元，试求用产量表示的盈亏平衡点、盈亏平衡点的生产能力利用率、盈亏平衡点的售价。解：R=675×QC=15,000,000+（250+165）×QBEP（Q）=15,000,000/(675-250-165)=5.77（万吨）BEP（f）=(5.77/12)×100%=48.08%BEP（P）=（1500/12）+250+165=540（元/吨）4、盈亏平衡分析法评价简单直观存在问题：有一系列假设条件，与实际不完全符合，降低了其分析的可靠性。只能给出项目总体的抗风险能力，而不能反映各风险因素的影响程度。没有考虑资金时间价值。三、非线性盈亏平衡点分析在生产实践中，由于产量扩大到一定水平，原材料、动力供应价格会引起上涨等原因造成项目生产成本并非与产量呈线性关系，也由于市场容量的制约，当产量增长后，产品售价也会引起下降，价格与产量呈某种函数关系，因此，销售收入与产量就呈非线性关系。Q金额0Q1Q2成本函数C收入函数R盈亏平衡点BEP1盈亏平衡点BEP2盈亏平衡点产量1盈亏平衡点产量2最佳收益点例题：某项目投产后，年固定成本为66000元，v=28元，p=55元，据预测，每多生产一件产品，单位变动成本就可降低0.001元，每增加一件产品销量，售价就降低0.0035元，试确定经济规模区域及最大利润和对应的销售量。解：收入函数s=(p-0.0035q)*q=55q-0.0035q2成本函数c=66000+（v-0.001q)*q=66000+28q-0.001q2令s=c,可得0.025q2-27q+66000=0得q1=3740,q2=7060对利润求导，得：Qmax=5400件，此时收益=6900四、互斥方案的盈亏平衡分析如有某个共同的不确定性因素影响互斥方案的取舍时，可先求出两两方案的盈亏平衡点（BEP），再根据BEP进行取舍。【例】寿命期为共同的不确定性因素某产品有两种生产方案，方案A初始投资为70万元，预期年净收益15万元；方案B初始投资170万元，预期年收益35万元。该项目产品的市场寿命具有较大的不确定性，如果给定基准折现率为15%，不考虑期末资产残值，试就项目寿命期分析两方案的临界点。解：设项目寿命期为nNPVA＝－70＋15（P/A，5%，n）NPVB＝－170＋35（P/A，5%，n）当NPVA＝NPVB时，有－70＋15（P/A，5%，n）＝－170＋35（P/A，5%，n）（P/A，5%，n）＝5查复利系数表得n≈10年。这就是以项目寿命期为共有变量时方案A与方案B的盈亏平衡点。由于方案B年净收益比较高，项目寿命期延长对方案B有利。故可知：如果根据市场预测项目寿命期小于10年，应采用方案A;如果寿命期在10年以上，则应采用方案B。第二节敏感性分析一、敏感性分析的概述敏感性分析是常用的一种评价经济效益的不确定性方法。用于研究不确定因素的变动对技术方案经济效益的影响及其程度。

敏感性分析就是通过测定一个或多个不确定因素的变化所导致的评价指标的变化幅度，了解各因素变化对实现预期目标的影响程度，从而对外部条件发生不利变化时投资方案的承受能力作出判断。敏感性分析的目的:（1）确定变量在什么范围内变动；（2）确定变更在什么范围内变化，方案的经济效果最好；在什么范围内变化，方案的经济效果最差，以便对方案进行控制；（3）区分敏感性大的方案和敏感性小的方案，以便选出敏感性小的，即风险小的方案；（4）找出敏感性强的因素，向决策者提出是否需要进一步收集资料，进行研究，以提高经济分析的可靠性。1.根据项目评价内容的不同，如国民经济评价中对经济净现值、经济内部收益率所作的敏感性分析，称为经济敏感性分析。对财务评价指标所做的敏感性分析，称为财务敏感性分析。2.根据每次变动的因素的数目不同，可分为单因素敏感性分析与多因素敏感性分析。敏感性分析的种类：

预测项目的主要不确定因素可能发生的变化，分析不确定因素的变化对经济评价指标的影响，从中找出敏感因素，并确定其影响程度，提出相应的控制对策，为科学决策提供依据。

对项目评价指标有影响的不确定因素很多，例如产品产（销）量，售价，原料、动力价格，投资，经营成本，工期及生产期等。其中有的不确定因素的变化会引起评价指标发生很大变化，对项目方案经济评价的可靠性产生很大的影响。

敏感性分析的基本思路：找出敏感因素，提出控制措施。

敏感性分析核心问题自身可能会有很大变化且会引起评价指标产生很大变化，对方案评价的可靠性产生很大影响的不确定性因素。敏感因素第十一次课二、单因素敏感性分析假设某一不确定性因素变化时，其他因素不变，即各因素之间是相互独立的敏感性分析，叫做单因素敏感性分析。单因素敏感性分析的具体操作步骤：（1）确定研究对象（选最有代表性的经济效果评价指标，如IRR、NPV）（2）选取不确定性因素（关键因素，如R、C、K、n）（3）设定因素的变动范围和变动幅度（如－20％～+20％，10％变动）（4）计算某个因素变动时对经济效果评价指标的影响◆计算敏感度系数并对敏感因素进行排序。敏感度系数的计算公式为：β=△A/△F式中，β为评价指标A对于不确定因素F的敏感度系数；△A为不确定因素F发生△F变化率时，评价指标A的相应变（%）；△F为不确定因素F的变化率（%）。◆计算变动因素的临界点。临界点是指项目允许不确定因素向不利方向变化的极限值。超过极限，项目的效益指标将不可行。（5）绘制敏感性分析图，作出分析。例：某投资项目基础数据如表所示，已知基准折现率10%，不考虑所得税。试分别就K、C、P三个不确定性因素对项目净现值作单因素敏感性分析。

年份012~11投资额K200经营成本C50纯收入B110净现金流量-200060基础数据表

单位：万元解:根据表中数据，计算基本方案的NPV：NPV=-K+(B-C)(P/A,10%,10)(P/F,10%,1)=-200+606.1440.9091=135.13(万元)年份012~11投资额K200经营成本C50纯收入B110净现金流量-200060对不确定因素作单因素敏感性分析设K、C、P变动百分比分别为K、C、P，则分析K、C、P分别变动对NPV影响的计算式为NPV=-K(1+K)+(B-C)(P/A,10%,10)(P/F,10%,1)NPV=-K+[B(1+P)-C](P/A,10%,10)(P/F,10%,1)假设各变化因素均按10%，20%变动,计算结果如下表所示。NPV=-K+[B-C(1+C)](P/A,10%,10)(P/F,10%,1)

敏感性分析计算表

(NPV,10%,万元)变动量变动因素-20%-10%0+10%+20%投资额K175.13155.13135.13115.1395.13经营成本C190.99163.06135.13107.2079.28产品价格P

12.24973.69135.13196.57258.01根据表中数据绘出敏感性分析图,如下图所示。敏感性分析图NPV(万元)

-20-1001020不确定因素变动幅度(%)

经营成本投资额产品价格由上表和上图可以看出，在同样变化率下，对项目NPV的影响由大到小的顺序为P、C、K。解：（1）计算基本方案的内部益率IRR：因素建设投资I(万元)年销售收入B(万元)年经营成本C(万元)期末残值L(万元)寿命n(年)估算值15006002502006【例】设某项目基本方案的基本数据估算值如下表所示，试就年销售收入B、年经营成本C和建设投资I对内部收益率进行单因素敏感性分析（基准收益率ic=8%）。基本方案的基本数据估算表

解：（1）计算基本方案的内部益率IRR：采用试算法得:

NPV(i=8%)=31.08（万元）>0，

NPV(i=9%)=－7.92（万元）<0采用线性内插法可求得：（2）计算销售收入、经营成本和建设投资变化对内部收益率的影响，结果见下表。

内部收益率的敏感性分析图见下图。（3）计算方案对各因素的敏感度平均敏感度的计算公式如下：年销售收入平均敏感度=年经营成本平均敏感度=建设投资平均敏感度=计算结果表明，对内部收益率影响从大到小的是年销售收入、年经营成本及建设投资。敏感性分析的原理比较简单，但计算工作量十分繁琐，每一因素变动一个值，就要重新编制一张现金流量表，以便计算评价指标IRR或NPV(ic)，所以，一般都用电子计算机代替手工计算。但它是在一个很强的假定条件下：只变动某一因素，其他因素不变。这实际上是很难成立的。实际上可能会有两个或两个以上的因素同时变动，此时单因素敏感性分析就不能反映项目承担风险的状况。因此，必要且有可能时，可进行多因素敏感性分析。单因素敏感性分析的优点是便于一目了然地看出哪个因素对评价指标最敏感，哪个因素不敏感。在进行单因素敏感性分析时，当考虑某特定因素的变动对指标的影响时，假定其它因素均不变。实际上，许多因素的变动具有相关性，一个因素的变动往往也伴随着其它因素的变动。例如，产品成本的上升会引起价格的上涨。多因素敏感性分析要考虑可能发生的多种因素不同变动幅度的多种组合，计算起来要比单因素敏感性分析复杂得多。当分析的不确定因素不超过三个，且指标计算比较简单时，可以用解析法与作图法相结合的方法进行分析。三、多因素敏感性分析前面对项目净现值作单因素敏感性分析例题中，现假设投资和经营成本同时变动，变动比率分别为x,y。看一下x,y怎样组合项目是可行的。NPV=-K(1+x)+[B-C（1+y)](P/A,10%,10)(P/F,10%,1)推导得出NPV=135.166-200x-279.3y令NPV=0，得y=-0.716x+0.484xy在这条直线上的组合，会使净现值为0，直线右上方项目不可行，左下方项目可行。【例】某企业准备购置新设备，投资、寿命等数据见表，试就使用寿命、年支出和年销售收入三项因素按最有利、很可能和最不利三种情况，进行净现值敏感性分析。Ic=8%。因素因素变化总投资使用寿命年销售收入年支出最有利（O）1518112很可能（M）151074.3最不利（P）15855.7四、敏感性分析的局限性敏感性分析只能找出影响经济效果的敏感因素并确定其影响程度，但不能确认某因素变化对经济效果产生影响的可能性（概率）有多大。研究经济效果评价指标的各种不确定因素的发生概率及其综合影响，必须采用概率分析方法。一、风险的概述

1.风险的概念风险是损失的不确定性。

当技术方案的“不确定性--风险”较大时，极有可能造成决策的失误，即不能达到预期的效果，因而需要事先进行分析.第三节风险分析有可能导致损失这种损失是不确定的不可管理风险

这种不确定性表现为：损失是否发生不确定；损失发生在何时不确定；损失发生在何地不确定；损失的程度不确定。

不确定性程度越高，风险也就越大。2.风险的分类

(一)纯风险和理论风险纯风险:是指只有造成损失而无获利可能性的风险。理论风险:是既可能造成损失也可能产生收益的风险。其所致 结果有三种可能：损失、无损失和获利。(二)静态风险和动态风险静态风险:是社会经济处于稳定状态时的风险。动态风险:是由于社会经济的变化产生的风险。如通货膨胀.(三)主观风险和客观风险主观风险:本质上是心理的不确定性。客观风险:客观存在,与个人心理无关.3.工程项目风险的主要来源市场风险:是指由于市场价格的不确定性导致损失的可能性. 如,产品销路问题、市场竞争力问题、价格问题、原材料供应问题等方面导致市场价格可能发生不利的变化.技术风险:是指由于技术方面的因素及其变化的不确定性而导 致损失的可能性。如,技术的适应性、可靠性等；财产风险:是可能导致财产发生毁损、灭失和贬值的风险.责任风险:是指因侵权或违约依法对他人遭受的人身伤亡或财 产损失应负赔偿责任的风险。信用风险:是指在经济交往中，权利人与义务人之间，由于一 方违约或犯罪而给对方造成经济损失的风险。4.风险管理的步骤风险识别、风险估计、风险评价、风险决策、风险应对(1)风险识别风险识别是风险分析和管理的一项基础性工作，其主要任务是明确风险存在的可能性，为风险测度、风险决策和风险控制奠定基础。风险识别的一般步骤是：（1）明确所要实现的目标。（2）找出影响目标值的全部因素。（3）分析各因素对目标的相对影响程度。（4）根据对各因素向不利方向变化的可能性进行分析、判断、并确定主要风险因素。4.风险管理的步骤(2)风险估计度量风险大小不仅要考虑损失或负偏离发生的大小范围，更要综合考虑各种损失或负偏离发生的可能性大小，即概率。概率分为客观概率和主观概率。

客观概率是指用科学的数理统计方法，推断、计算随机事件发生的可能性大小，是对大量历史先例进行统计分析得到的。

主观概率是当某些事件缺乏历史统计资料时，由决策人自己或借助于咨询机构或专家凭经验进行估计得出的。实际上，主观概率也是人们在长期实践基础上得出的，并非纯主观的随意猜想。风险估计主要是确定随机变量的概率分布以及期望值和方差等参数。(3)风险决策(4)风险控制风险控制的四种基本方法是：风险回避、损失控制、风险转移和风险保留。1)风险回避风险回避是投资主体有意识地放弃风险行为，完全避免特定的损失风险。简单的风险回避是一种最消极的风险处理办法，因为投资者在放弃风险行为的同时，往往也放弃了潜在的目标收益。所以一般只有在以下情况下才会采用这种方法：（1）投资主体对风险极端厌恶。（2）存在可实现同样目标的其他方案，其风险更低。（3）投资主体无能力消除或转移风险。（4）投资主体无能力承担该风险，或承担风险得不到足够的补偿。4.风险管理的步骤(4)风险控制2)损失控制损失控制不是放弃风险，而是制定计划和采取措施降低损失的可能性或者是减少实际损失。控制的阶段包括事前、事中和事后三个阶段。事前控制的目的主要是为了降低损失的概率，事中和事后的控制主要是为了减少实际发生的损失。4.风险管理的步骤3)风险转移风险转移，是指通过契约，将让渡人的风险转移给受让人承担的行为。通过风险转移过程有时可大大降低经济主体的风险程度。风险转移的主要形式是合同和保险。①合同转移。通过签订合同，可以将部分或全部风险转移给一个或多个其他参与者。②保险转移。保险是使用最为广泛的风险转移方式。这里,是一个通过融资运作,转移风险的例子.某地拟建立一大型火力发电厂，以解决用电困难问题，项目效益很好。分析项目面临的风险及转移风险的途径？1.煤炭供应风险。煤炭的数量、价格、供货时间等；2.电力的销售风险。电力的销售价格、销售数量等；3.工程的完工风险。整个建设项目能否按期保质保量完成。明显，上述三方面风险，对于电厂项目来说，是非常致命的。但是，对于其他经济实体来说，可能又不构成风险或是完全可以承受和消除的如：煤炭的数量、价格、供货时间等问题，对于煤矿来说！电力的销售价格、销售数量等问题，对于电力公司（电网）来说！整个建设项目的完工问题，对于施工企业来说！所以，可以通过合同、协议、合资等方式，分别与上述单位建立经济关系，签订：供货协议、销售协议，施工合同，投资担保等。分散风险、利益均占。4.风险管理的步骤4)风险保留风险保留，即风险承担。也就是说，如果损失发生，经济主体将以当时可利用的任何资金进行支付。风险保留包括无计划自留、有计划自我保险。①无计划自留。指风险损失发生后从收入中支付，即不是在损失前做出资金安排。当经济主体没有意识到风险并认为损失不会发生时，或将意识到的与风险有关的最大可能损失显著低估时，就会采用无计划保留方式承担风险。一般来说，无资金保留应当谨慎使用，因为如果实际总损失远远大于预计损失，将引起资金周转困难。②有计划自我保险。指可能的损失发生前，通过做出各种资金安排以确保损失出现后能及时获得资金以补偿损失。有计划自我保险主要通过建立风险预留基金的方式来实现。一、概述概率：随机现象出现与否，虽然事先不能肯定，但是根据历史经验和当时的各种客观条件，可以估计其可能行的大小，并用一个确定的数值来表示，这种数值就叫做概率。

概率分析：是通过研究各种不确定因素，发生不同幅度变动的概率分布及其对方案经济效果的影响，对方案的净现金流量及经济效果指标作出某种概率描述，从而对方案的风险情况作出比较准确的判断。例如，我们可以用经济效果指标发生的概率来度量项目将承担的风险。任何一种项目经济效果评价指标，都可将其看成是一个随机变量，而且这种随机变更，实际是很多其他随机变更（如产品产量、产品价格、生产成本、投资等）的复杂函数。概率分析第一类是分析法（主观判断）。这类方法主要是在主观概率未知，完全靠主观判断决策；第二类是期望值和方差分析法，这类方法主要是主观概率已知，通过计算项目或方案的损益期望值及其方差来确定取舍；第三类是模拟法，这是一类定量预测工程项目各种获利可能性大小的方法。主要是蒙特卡洛模拟法。概率分析方法有很多，主要有三类。二、描述随机变量的主要参数ni=1E（X）=XiPiE(X)—随机变量X的数学期望Xi—随机变量X的各种可能取值

Pi

—对应出现Xi的概率值1、E——期望值随机变量所有可能取值的加权平均值反映随机变量取值的离散程度的参数。用来表示各种可能的报酬偏离期望报酬的综合差异～随机变量xi的均方差或标准差～随机变量xi的数学期望～随机变量xi2的数学期望2、在概率论中，随机变量取值区间的大小，是用随机变量的方差来表示的。从数学角度来看，投资风险，可以用未来可能收益水平的分散程度来表示，即风险量的大小，可以直接表示为未来可能收益水平围绕预期收益变化区间的大小。所以投资风险评价，可以转化为对投资收益方差的计算。3、期望值与方差的权衡（1）期望值相同时，取方差小的方案（2）期望值不同时，E1<E2,v1>v2,取方案2.E1<E2,v1<v2,需权衡。4、离差系数R三、概率分析法（期望值和方差分析法）例：假定某企业要从三个互斥方案中选择一个投资方案市场销路概率方案净现值（万元）ABC销售差0.25200001000销售一般0.50250025002800销售好0.25300050003700解计算各方案净现值的期望值和方差则同理因为A与B净现值期望值相等，而方差故A优A与C期望值不等，因为A与C比较，C优A优故计算变异系数方案A风险小设各年的净现金流量为独立同分布随机变量则则：

[∵E(kξ)=kE(ξ)][∵D(kξ)=k2D(ξ)](∵净现值的方差与净现值是不同的量纲，∴用标准差)由中心极限定理，当n很大时，作标准化处理：模拟分析就是利用计算机模拟技术，对项目的不确定因素进行模拟，通过抽取服从项目不确定因素分布的随机数，计算分析项目经济效果评价指标，从而得出项目经济效果评价指标的概率分布，以提供项目不确定因素对项目经济指标影响的全面情况。五、模拟法----蒙特卡罗模拟法蒙特卡洛主要步骤有：（1）通过敏感性分析，确定风险随机变量；（2）确定风险随机变量的概率分布；（3）通过随机数表或计算机求出随机数，根据风险随机变量的概率分布模拟输入变量；（4）选取经济评价指标，如净现值、内部收益率等。（5）根据基础数据计算评价指标值；（6）整理模拟结果所得评价指标的期望值、方差、标准差和它的概率分布及累积概率，绘制累计概率图，计算项目可行或不可行的概率。五、模拟法----蒙特卡洛模拟法1.离散型随机变量的蒙特卡洛模拟教材P106-107举例2.连续型随机变量的蒙特卡洛模拟（1）正态分布根据正态分布概率密度分布函数可以绘出它的累计概率分布图,用随机数（RN）作为随机变量累积概率的随机值，这样，每个随机数都可找到对应的一个随机正态偏差（RND）。也可以直接查随机正态偏差表查取随机正态偏差值.抽样结果＝均值+随机正态偏差×均方差（2）均匀分布

随机数（RN）作为随机变量累积概率的随机值，设RNm—最大随机数独立随机变量的模拟举例说明例:某企业拟在生产线上装一台较为精确的电子磅秤，以减少产品包装的差错，保证产品达到包装质量要求。预计每年可节省包装损失2500元。电子磅秤使用期12年到16年，服从均匀分布（如图）。电子磅秤的初始购置及安装费估计呈正态分布，均值为15000元，标准差1500元。要求了解该项目的收益率分布情况？012……1213141516使用期(年)概率0.2电子磅秤使用期分布图

明显，电子磅秤使用期为12-16年，呈均匀分布。模拟方法：将其以累加分布函数形式绘制如图所示。012……1213141516使用期(年)概率0.21.01.电子磅秤使用期的取值模拟方法：将20个两位数的随机数赋予如下五种可能的使用期的每一种，分配方式如下表：随机数使用年数00-191220-391340-591460-791580-9916随后就可以上机抽取随机数。假定从随机数中抽得第一个数字为82，属于第5组，即代表使用期取值为16年；每一次模拟，重复上述过程（抽取随机数，选取对应的使用期）即可。电子磅秤的初始购置及安装费估计呈正态分布，均值为15000元，标准差1500元。电子磅秤初期费用＝t×标准差+初始购