2023高考数学二轮复习专项训练《导数在研究函数中的应用》（含解析）

2023高考数学二轮复习专项训练《导数在研究函数中的应用》一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知f（x）=x3-3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A.m＞2 B.m＞4

C.m＞6 D.m＞82.（5分）若函数f(x)在R上可导，且满足A.2f(1)>f(2) B.2f(1)<f(2)

C.2f(1)=f(2) D.3.（5分）函数f（x）=e2x在点（0，1）处的切线的斜率是（）A.e2 B.e

C.2 D.14.（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，f（-2）=1，f（3）=1，则不等式f（x）＞1的解集为（）

A.（-2，3） B.（-∞，-2）

C.（3，+∞） D.（-∞，-2）∪（3，+∞）5.（5分）若连续函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（2-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A.f（x）有极大值f（3）和极小值f（2）

B.f（x）有极大值f（-3）和极小值f（2）

C.f（x）有极大值f（3）和极小值f（-3）

D.f（x）有极大值f（-3）和极小值f（3）6.（5分）已知定义在R上的函数g(x)，导函数为g'(x)，若g(x)+g(-A、[0,1]B、(0,C、[D、(-∞,1]A.[0,1] B.(0,12] C.7.（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，f（-1）=f（2）=3，令g（x）=（x-1）f（x），则不等式g（x）≥3x-3的解集是（）

A.[-1，1]∪[2，+∞） B.（-∞，-1]∪[1，2]

C.（-∞，-1]∪[2，+∞） D.[-1，2]8.（5分）若函数f(x)=(x2+A.k⩾1 B.k>1 C.二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知函数f(xA.fx恰有2个零点

B.fx在5+12,+∞上是增函数

C.fx既有最大值，又有最小值10.（5分）如图是函数y=f(xA.f(x)在[-2,-1]上是增函数

B.当x=-1时，f(x)取得极小值

C.f(x)在11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点M与曲线∁i上任意一点距离的最小值为di(i=1,2)，若d1<dA.C1：x=0比C2：y=0更靠近M(1,-2)

B.C1：y=ex比C2：xy=1更靠近M(0,0)

C.若C1：(x-2)2+y212.（5分）已知函数f(x)=ekx，A.若点P(a,b)在f(x)的图象上，则点P(b,a)在g(x)的图象上

B.当k=e时，设点A，B分别在f(x)13.（5分）已知f(x)=xA.函数f(x)在[14,1]上的最大值为3 B.∀x>0,f(x三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知函数f(x)=13x3+115.（5分）已知函数f(x)=-13x+16,x∈[0,116.（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则cosθ的最大值为__________.

17.（5分）已知函数f(x)=lnx-ax有两个零点x1，x2(x1<x2)，则下列说法： 

①0<a<1e；18.（5分）已知函数fx=x2四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=(1-2x-1)e-x． 

20.（12分）已知函数f(x)=eax(lnx+1)(a∈R)，f'(x)为f(x)的导数. 

(1)设函数g(x)=f'(21.（12分）已知函数f(1)当a=2时，求函数f(x(2)若对任意x∈[1,+∞),不等式f(3)若f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求22.（12分）已知函数f(x)=alnx2+1x(a≠0)． 

(1)讨论函数f(x23.（12分）已知函数f(x)=xlnx-lnx，g(x)=x-k． 

(Ⅰ)令h(x)=f(x)-g(x) 

①当k=1时，求函数h(x)在点(1,

答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）=0得到x1=1，x2=-1（舍去） 

∵函数的定义域为[0，2] 

∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0， 

∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增， 

则f（x）min=f（1）=m-2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m 

由题意知，f（1）=m-2＞0①； 

f（1）+f（1）＞f（2），即-4+2m＞2+m② 

由①②得到m＞6为所求． 

2.【答案】B;【解析】解：构造函数：g(x)=f(x)x(x≠0)， 

∵函数f(x)在R上可导，且满足f(x)<xf'(x)， 

∴g'(x)=xf'(x)-f(x)x2>3.【答案】C;【解析】解：由f（x）=e2x，得 

f′（x）=2e2x， 

∴函数f（x）=e2x在点（0，1）处的切线的斜率是f′（0）=2．4.【答案】A;【解析】解：由y=f′（x）图象可知f（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减． 

如图，∵f（-2）=f（3）=1， 

∴f（x）＞1⇔-2＜x＜3． 

故选A．

5.【答案】D;【解析】解：由函数y=（2-x）f′（x）的图象可知， 

当x∈（-3，3）时，f′（x）≤0； 

当x∈（-∞，-3）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0； 

故f（x）在（-∞，-3），（3，+∞）上单调递增， 

在（-3，3）上单调递减； 

故f（x）有极大值f（-3）和极小值f（3）； 

故选D．

6.【答案】null;【解析】 

此题主要考查利用函数奇偶性，单调性解不等式，利用导数研究函数单调性及最值，属较难题. 

构造函数，利用函数奇偶性及单调性解不等式，再利用导数研究函数最值，分离参数解恒成立问题即可. 

解：构造函数F(x)=g(x)-ex，x∈R， 

因为g(x)+g(-x)=ex+e-x， 

所以g(x)-ex=-[g(-x)-e-x]， 

即F(x)=-F(-x)，所以F(x)为R上的奇函数， 

又当x⩾0时，g'(x)>ex， 

即F'(x)=g'(x)-ex>0， 

7.【答案】A;【解析】解：由题意得：f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增， 

解不等式g（x）≥3x-3，即解不等式（x-1）f（x）≥3（x-1）， 

①x-1≥0时，上式可化为：f（x）≥3=f（2），解得：x≥2， 

②x-1≤0时，不等式可化为：f（x）≤3=f（-1），解得：-1≤x≤1， 

综上：不等式的解集是[-1，1]∪[2，+∞）， 

故选：A．

8.【答案】A;【解析】解：根据题意，函数函数f(x)=(x2+k)ex在区间(-3,2)上单调递增， 

则有f'(x)=2x⋅ex+(x2+k)ex=(x2+2x+k)⋅ex⩾0，在(-3,2)上恒成立， 

∵ex>0恒成立， 

9.【答案】AD;【解析】 

此题主要考查导数的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．分x>0和x解：当x>0时，f(x)=ln x-x+1x， 

f'(x)=当x<0时，f(x)=ln(-x)-x+1x， 

f'(x)=1x-1-1x2=-x2-x当x1若x1>0，x2>0，f(x1)+f同理x1<0，x2故选：AD.10.【答案】BC;【解析】解：由y=f(x)的导函数f'(x)的图象知， 

导函数f'(x)在(-2,-1)、(2,4)上小于0，f(x)单调递减， 

在(-1,2)、(4,5)上大于0，f(x)单调递增，选项A错误，C正确； 

函数f(x)在x11.【答案】ABD;【解析】运用新定义，由两点的距离公式计算即可判断A；运用曲线的对称性和导数的运用，判断单调性和极值以及最值，结合两点的距离公式，二次函数的最值，即可判断B；运用直线和圆的位置关系，结合新定义，即可判断C；运用点到直线的距离公式和二次函数的最值，即可判断D. 

对于A.d1=|1-0|=1，d2=|0-(-2)|=2，d1<d2，则A为真命题； 

对于B.由对称性可得，C2：xy=1关于直线y=x对称，且经过点(0,0)，交点为(1,1)，(-1,-1)， 

则d2==， 

由于y=ex-x-1的导数为ex-1，当x>0时，导数大于0，当x<0时，导数小于0，则x=0为极小值点们也为最小值点，则有ex⩾x+1， 

设C1：y=ex上任一点P(x,ex)，即|OP|=⩾==⩾，即有d1=<d2，则B为真命题； 

对于C.由于点M(m,2m)在直线y=2x上，C2：x2+(y-2)2=1为圆心(0,2)，半径为1的圆，圆心到直线的距离为<1，即直线和圆C2相交，即有交点到M的距离为0，而C1：(x12.【答案】ACD;【解析】 

此题主要考查利用导数研究函数的零点，导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，属于难题. 

对于A，把点代入，进行变换，即可判断，对于B利用导数几何意义求出切点坐标，再由点到直线距离公式进行求解;对于C利用导数转化求解最值，对于D，利用函数零点存在定理进行求解.解：对于A，若点P(a,b)在f(x)的图象上，则b=eka，化简得a=lnbk，即点P'(b,a)在g(x)的图象上，A正确； 

对于B，由A可知f(x)与g(x)它们的图象关于直线y=x对称， 

平移直线y=x使其与函数的f(x)=eex图象相切， 

由f'(x)=e.eex=1，解得x=-1e，f(-1e)=1e， 

则切点(-1e,1e)到直线y=x的距离为-1e-1e2=2e， 

因此|AB|的最小值为2e×2=22e，B错误； 

对于C，当k=1时，F(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx，则F'(x)=ex-1x， 

因为函数F'(x)在(0,+∞)上单调递增，且F'(12)<0，F'(1)>0， 

存在x0∈(12,1)，使得ex0-1x0=0，13.【答案】ABC;【解析】解：f'(x)=2x+lnx+1，g'(x)=2x+lnx+1-ex， 

对于A：令h(x)=2x+lnx+1(x>0)，则h'(x)=2+1x>0恒成立， 

∴f'(x)在[14,1]上单调递增，即f'(x)⩾f'(14)=32-ln4=3-ln162>0， 

∴f(x)在[14,1]上单调递增，则f(x)max=f(1)=3，故A正确； 

对于B：由选项A可得令h(x)=2x+lnx+1(x>0)，则h'(x)=2+1x>0恒成立， 

h(x)在(0,+∞)上单调递增，又h(14)>0，h(1e2)=2e2-1<0， 

由零点存在定理得存在x0∈(1e2,14)，使得h(x0)=0，即2x0+lnx0+1=0， 

由f'(x)>0得x>x0，由f'(x)<0得0<x<x0， 

∴f(x)在(0,x014.【答案】(-16,10];【解析】 

该题考查导数知识的运用，考查线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 

求导函数，利用f(x)的两个极值点分别是x1，x2，x1∈[-1,1)，x2∈(1,3]，建立不等式组，利用线性规划，即可求a-4b的取值范围． 

解：由题意，f'(x)=x2+ax+b， 

∵f(x)的两个极值点分别是x1，x2， 

x1∈[-1,1)，x2∈(1,3]， 

∴f'-1=1-a+b⩾0f'1=1+a+b<15.【答案】[12，4【解析】解：∵f(x)=-13x+16,x∈[0,12]2x3x+1,x∈(12,1], 

①当x∈[0,12]时，f(x)=-13x+16在R上是单调递减函数， 

∴f(12)⩽f(x)⩽f(0)，即0⩽f(x)⩽16， 

∴f(x)的值域为[0,16]； 

②当x∈(12,1]时，f(x)=2x3x+1， 

∴f'(x)=6x2(x+1)-2x3(x+1)2=2x2(2x+3)(x+1)2， 

∴当x>-32时，f'(x)>0，即f(x)在(-32,+∞)上单调递增， 

∴f16.【答案】25【解析】 

此题主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，以及运用导数探究函数单调性，属于较难题. 

首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M(0,y,2)，从而可求出向量EM→,AF→的坐标，由cosθ=|cos<EM→,AF→>|得到cosθ=2-y5·y2+5，对函数f(y)=2-y5⋅y2+5求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值． 

解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直， 

分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 

设AB=2，则： 

A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)； 

M在线段PQ上，设M(0,y,2)，0⩽y⩽2； 

∴17.【答案】①②③④;【解析】解：由f(x)=lnx-ax，可得f'(x)=1x-a(x>0)， 

当a⩽0时，f'(x)>0，∴f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，f(x)至多有一个交点，与题意不符； 

当a>0时，令f'(x)=1x-a=0，解得x=1a， 

当x∈(0,1a)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 

当x∈(1a,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 

可得当x=1a时，f(x)取得极大值点， 

又因为由函数f(x)=lnx-ax有两个零点x1，x2(x1<x2)， 

可得f(1a)=ln1a-1>0，可得a<1e， 

综合可得：0<a<1e，故①正确； 

f(x)的极大值为f(1a)，则0<x1<1a<x2， 

设g(x)=f(2a-x)-f(x)，其中x∈(0,1a)，可得g(1a)=0， 

可得g(x)=ln(2a-x)-a(2a-x)-lnx+18.【答案】(2e【解析】此题主要考查函数零点与方程根之间的对应关系，利用导数研究函数的单调性和最值，属于一般题． 

函数fx=x2-alnx有两个零点，当x≠1时，等价于g(x)=x2lnx和y=a的图象有两个交点，利用导数判断函数的单调性和最值，即可得到a的取值范围. 

解：函数fx=x2-alnx有两个零点， 

等价于方程x2-alnx=0当0<x<1时，g'(x)<0当x>1时，g所以当1<x<e12时，g所以当x>1时，g(x)的最小值为g(e12)=e12=2e， 

当所以a>即a的取值范围为(故答案为(2e19.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=（1-2x-1）′•e-x+（1-2x-1）（e-x）′ 

=（-1x-1）e-x-（1-2x-1）e-x 

=（2x-1-1x-1-1）e-x 

（2）∵f′（x）=2(x-1)2-x-1-1x-1e-x 

=(2x-1+1)(x-1-1)x-1e-x 

令f′（x）=0，解得x=2，且当1≤x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0， 

∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增， 

∴f（x）在（1，+∞）上有最小值f（2）=-e-2， 

又令f（x）【解析】 

(1)利用导数公式和运算法则求导； 

(2)利用导数判断单调性，由单调性求出最值，用最值表示值域． 

该题考查了利用导数研究函数的最值．属基础题．

20.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞）， 

g（x）=f'(x)eax=alnx+a+1x，则g′（x）=ax-1x2， 

①当a≤0时，g′（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，g（x）单调递减， 

②当a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=1a， 

故x∈（0，1a）时，g′（x）＜0，g（x）递减， 

当x∈（1a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增， 

综上：当a≤0时，g（x）在（0，+∞）递减，误递增区间， 

当a＞0时，g（x）极小值=g（1a）=a（2-lna）； 

（2）①∵f（x）有2个极值点，∴g（x）有2个零点， 

由（1）得：a≤0时不合题意， 

当a＞0时，g（x）极小值=g（1a）=a（2-lna）， 

（i）当0＜a＜e2时，g（x）＞g（1a）＞0，g（x）没有零点，不合题意， 

（ii）当a=e2时，g（1a）=0，g（x）有1个零点1a，不合题意， 

（iii）当a＞e2时，g（1a）＜0， 

g（1a2）=a（a+1-2lna），设φ（a）=a+1-2lna，a＞e2，则φ′（a）=1-2a＞0， 

故φ（a）＞φ（e2）=e2-3＞0，即g（1a2）＞0， 

故存在x1∈（1a2，1a），使得g（x1）=0，又x（0，x1x（x1，xx（x2，+∞f′（x）+0-0+f（x）递增极大值递减极小值递增故当a＞e2时，f（x）有2个极值点， 

综上：a的取值范围是（e2，+∞）； 

②∵a＜2e32，g（2a）=a（32+ln2a）＞0，∴1a2＜x1＜1a＜x2＜2a， 

∵x1，x2是g（x）=alnx+a+1x的两个零点， 

∴lnx1+1=-1ax1，lnx2+1=-1ax2， 

∴f(x1)x1=eax1(lnx1+1)x1=-eax1ax12，f(x2)x2=eax2(lnx2+1)x2=-eax2ax22， 【解析】 

(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； 

(2)①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数，从而确定a的范围； 

②求出f(x1)x1=-ea21.【答案】(1)当a=2时，f(x)=lnx-2x-2x+3，f'(x)=1x-8(x+3)2，则f'(1)=12. 

又因为f(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=12(x-1)，即x-2y-1=0. 

(2)因为f(x)=lnx-2x-2x-1+2a，所以f'(x)=1x-4a(x-1+2a)2 

=x2-2x+4a2-4a+1x(x-1+2a)2=(x-1)2+4a2-4ax(x-1+2a)2，且f(1)=0.因为a>0，所以1-2a<1. 

①当4a2-4a⩾0，即a⩾1时，因为f'(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立， 

所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增． 

当x∈[1,+∞)时，f(x)⩾f(1)=0，所以a⩾1满足条件． 

②当4a2-4a<0，即0<a<1 

得x1=1-2a-a2【解析】此题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，不等式恒成立问题，属于难题. 

(1)根据导数的几何意义，得到切斜的斜率，进而写出切线的方程； 

(2)将不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，通过导数法求出函数的最值，即可得到答案； 

(3)求导，对a分类讨论，得到函数的单调性，得到函数的极大值和极小值，得到a的不等式，解得a的取值范围.

22.【答案】解：（1）函数定义域为（--∞，0）∪（0，+∞），f'(x)=2ax-1x2=2ax-1x2， 

当a＜0时，x∈(-∞，12a)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， 

x∈(12a，0)，（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 

当a＞0时，x∈（-∞，0），(0，12a)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，