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高等数学A第3章一元函数积分学3.1不定积分3.1.4不定积分的换元积分法

中南大学开放式课堂教学3.1不定积分3.1.4换元积分法

第二换元积分法第一换元积分法

第二换元积分法应用习例18-20第一换元积分法应用习例1-17

常见的一些凑微分形式基本积分表2小结与思考题

换元积分法3.1.4不定积分的换元法

利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.

现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法——不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.原函数?被积表达式?也是被积表达式?一、第一换元积分法

积分形式不变性引理例如？原式变形为第一换元法(凑微分法)定理1注意:(2)第一换元法的过程是:实际解题时,常常省略上述过程中的第三与第四等号.二、常见的一些凑微分形式万能凑幂法常见的一些凑微分形式:例1例2计算例3计算例4计算例5计算例6计算例7计算例8计算例9计算例10计算三、第一换元积分法习例例11计算例12计算例13计算例14计算例15计算例17例16计算例1解例2计算解例3计算解例4

计算解例5计算解作为公式想到公式练习题

解练习题

例6

计算想到解(直接配元)例7

计算解例8

计算解例9

计算解例10

计算解类似例11

计算解例12

计算解注意:当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例13

计算解例14

计算解(1)（使用了三角函数恒等变形）解(2)同理可得例15

计算

解例16

解（1）

用万能凑幂法解(2)解(3)解例17另解问题方法改变中间变量的设置方法.（应用“凑微分”即可求出结果）四、第二换元积分法定理2证设为的原函数,则有换元公式令则注意:(2)一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令(3)以上三种代换称为三角代换.通常通过三角代换去根号.五、第二换元积分法习例例19

计算例20

计算例18

计算解令则∴原式例18

计算例19

计算解令例20

计算解令注意：以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是消去根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令基本积分表基本积分表2—公式16-24小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换基本积分表(2)在第一类换元法中

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