概率论与数理统计第二章

第二章、随机变量的分布和数字特征一、随机变量及其分布二、随机变量函数的分布三、随机变量的数字特征四、离散型随机变量的分布五、连续型随机变量的分布一、随机变量及其分布为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。例：（1）、投掷一枚骰子，观察出现的点数，试验所有的可能的结果是“出现1点”，“出现2点”，┅，“出现6点”等6种可能，若用一个变量X表示“出现的点数”，则X的所有可能取值为X=1，2，3，4，5，6。X

是一个变量．（2）：某段时间内到商场购物的顾客数记为X

，若M为商场对人数的最大容量，则X的可能取值为[0，M]上的某一个整数。（3）：一个质点沿着数轴进行随机运动，它在数轴上的位置用坐标X来表示，则X的可能取值为实数R上的某一个实数。（4）：投掷一枚硬币，观察出现正面还是反面，每一次试验结果用一个实数X来表示，出现正面用“1”表示，出现反面用“0”表示，则X

所有可能取值为X=1，0。为了计算n次投掷中出现的正面数就只须计算其中“1”出现的次数。

这些例子中，随机试验的每一个结果都对应着变量X

的一个确定的取值，这个数x是随着试验的结果的不同而变化的，因此，这些变量是定义在样本空间上的样本点的一个函数。这种量称之为随机变量。正如对随机事件一样，我们所关心的不仅是试验会出现的结果，更重要的是要知道这些结果将以怎样的概率出现，也即对随机变量我们不但要知道它取什么数值，而且要知道它取这些数值的概率。1、随机变量的定义设={}为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.注意：、随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X=1.5}

是不可能事件.

(2)、若X

为随机变量，则{X=k}、{a

<

Xb}、……均为随机事件.即{a

<

Xb}={；a

<

X()b

}、注意以下一些表达式：{X=k}={Xk}{X<k}；{a<Xb}={Xb}{Xa}；{X>b}={Xb}.(4)、同一样本空间可以定义不同的随机变量.为什么？2、离散型随机变量的分布与性质1)离散型随机变量的定义如果随机变量X的取值是有限个或至多可列无穷个，则称X

为离散型随机变量．2)、离散型随机变量的分布设离散型随机变量X

的所有可能取值为记：则称之为X的概率函数，又称为X的概率分布离散型随机变量的分布也可用表格形式表示：凡是满足上述两个条件的任意一组数：都可以成为一个离散随机变量的分布，则称为离散型概率分布。离散型随机变量X的概率分布若满足以下两个条件：例

2.1.1、

从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布．具体写出，即可得X

的分布：解：

X

的可能取值为5，6，7，8，9，10．并且例

2.1.2、设随机变量X

的分布为解：由分布率的性质，得该级数为等比级数，故有所以：例2.1.3：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X

的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p解：

以p

表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X

的分布为：或写成：P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=4}=(1-p)4

Xpk

01234p

(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

以p=1/2代入得：Xpk

01234

0.50.250.1250.06250.0625求离散随机变量的分布应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值;

(2)计算每个取值点的概率.

3）、（0—1）分布及Bernoulli

试验（概型）

设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布：

P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1(0<p<1)，则称X服从(0—1)分布或两点分布。X01pk1-pp

(0—1)分布的分布也可写成：关于（0—1）分布

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即={e1，e2}，我们总能在上定义一个服从(0一1)分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0—1)分布的随机变量来描述。(0一1)分布是经常遇到的一种分布。设试验E只有两个可能结果：A及，则称E为伯努利(Bernoulli)试验。Bernoulli

试验（概型）n重伯努利试验

设P(A)＝p(0<p<1)，此时P()＝1-p。将E独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。这里“重复”是指在每次试验中P(A)＝p保持不变；“独立”是指各次试验的结果互不影响，即若以Ci记第i次试验的结果，Ci为A或，i＝1，2，…，n．“独立”是指

P{C1C2…Cn}＝P(C1)P(C2)…P(Cn)．

例如，E是抛一枚硬币观察得到正面或反面。A表示得正面，这是一个伯努利试验．如将硬币抛n次，就是n重伯努利试验。又如抛一颗骰子，若A表示得到“1点”，表示得到“非l点”。将骰子抛n次，就是n重伯努利试验。再如在袋中装有a只白球，b只黑球。试验E是在袋中任取一只球，观察其颜色。以A表示“取到白球”，P(A)＝a／(a+b)。若连续取球n次作放回抽样，这就是n重伯努利试验。然而，若作不放回抽样，各次试验不再相互独立，因而不再是n重伯努利试验了。对于有限样本空间，或者由可列个点构成的样本空间，我们只要知道每一个样本点所构成的基本事件的概率，便可了解整个样本空间的统计规律性。但是对于由不可列个点构成的样本空间，我们不可能逐点去认识它的统计规律性，即不可能把随机变量X取每个实数的概率一一列举，在实际中，我们感兴趣的往往是随机变量X取值于某个区间(a,b)的概率，或取值于若干个这种区间的概率，如测量误差小于某个数的概率，寿命大于某个数的概率，雨量介于100毫米到120毫米之间的概率等等。需要引入连续型随机变量来描述。3、连续型随机变量的概率密度1）、连续型随机变量的概念与性质(1)、定义如果对于随机变量X，如果存在一个非负可积的函数f(x)，（-∞<x<+∞),使得对于任意两个实数a,b(a<b)，都有则称X

为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X

的概率密度函数,简称概率密度.（2）、概率密度函数的性质对于连续性随机变量X，X取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X=a}=0。注意

：在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b}。这里，事件{X=a)并非不可能事件，但有P{X＝a}=0．这就是说，若A是不可能事件，则有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味着A是不可能事件。以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型时指的是它的分布律。例2.1.

4设

X

是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴由密度函数的性质均匀分布若随机变量X的密度函数为记作

X~U[a,b]密度函数的验证类似地可以定义例2.1.

54、随机变量的分布函数

1）定义

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为

X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX分布函数F(x)在x处的函数值就表示随机变量X取值于区间（-∞，x]上的概率，如果已知随机变量X的分布函数F(x),那么随机变量X取其它值的概率便可由此计算2）、分布函数的基本性质（1）、0≤F(x)≤1（2）、F(x)是一个不减函数。

即对于任意实数x1,x2(x1<x2),有F(x1)≤F(x2);（3）、（4）、F(x)至多有可列个间断点，并且在其间断点处也是右连续的，即对于任何实数x，F(x+0)=F(x)分布函数基本性质的证明⑴、F(x)是一个不减函数：

对于任意实数x1,x2(x1<x2),有

F(x1)≤F(x2);证：

F(X2)-F(X1)=P{X1＜X≤X2}≥0.⑵证：⑶、F(x)是右连续的。即F(x+0)=F(x)证：由于F(x)是不减函数，只须证明对于一列单调上升的数列x0>x1>x2>…>xn>…,xn→x成立

即可。因为离散型随机变量分布函数的计算

有了离散随机变量的分布列，可以通过下式求得分布函数显然这时F(x)是一个跳跃函数。设随机变量X的分布律为如右：求X的分布函数.Xpk

-212解：当x<-2

时，01xX2-2x例2.1.6x1X2-2xXpk

-212同理当-2012x1-2012x1说明：分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

pk=P{X=xk}.Xpk

-212

对离散随机变量的分布函数应注意：

(1)F(x)是递增的阶梯函数;

(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点（不连续点）即为X的可能取值点;(5)其间断点的跳跃的幅度等于X在该点的概率值。.（4）离散型随机变量X的概率集中在F(x)的某些孤立点上（即不连续点上），在连续点概率为零。离散型随机变量的分布律与分布函数的关系：

例2.1.7

一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：（1）若

x<0,则是不可能事件，于是（2）Xk是某一常数（3）若

,则是必然事件，于是01231F(x)x例2.1.8设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的性质:解方程组得解例2.1.9设随机变量X具有概率密度⑴、确定常数k；

⑵、求X的分布函数F(x)；

⑶、求P{1<X≤7/2}。设X与Y同分布，X的密度为已知事件A={X>a}和B={Y>a}独立，解:因为P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)从中解得且P(AB)=3/4,求常数a.且由A、B独立，得=2P(A)[P(A)]2=3/4从中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.10例2.1.11设

X~求

F(x).解：均匀分布的分布函数例2.1.12设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900～1100。求R的概率密度及R落在950～1050的概率。解按题意，R的概率密度为*连续型随机变量的f(x)⊿x在概率中的含义

由概率密度f(x)的性质，有

若不计高阶无穷小，有:

P{x<X≤x+⊿x}≈f(x)⊿x这表示X落在小区间（x,x+⊿x]上的概率近似地等f(x)⊿x。注意点

(1)

(2)F(x)是(∞,+∞)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)F(a).(5)当F(x)在x点可导时,

p(x)=当F(x)在x点不可导时,

可令p(x)=0.[注意}在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b>。在这里，事件{X=a)并非不可能事件，

但有P{X＝a}=0．这就是说，若A是不可能事件，则有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味着A是不可能事件。以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者，当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型时指的是它的分布律。连续型密度函数

X~p(x)(不唯一

)2.4.P(X=a)=0离散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=

3.F(a+0)=F(a);P(a<Xb)=F(b)F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。

5.F(x)为连续函数。

F(a0)=F(a).F(a0)

F(a).二、随机变量的函数的分布在实际中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。比如我们能测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面面积A＝d2/4。这里，随机变量A是随机变量d的函数。我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(·)是已知的连续函数)的概率分布。随机变量的函数

若X是离散型随机变量，其分布列为则Y=g(x)仍为离散型随机变量，其分布列为yi有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加。Xy1=g(x1)y2=g(x2)…yn=g(xn)…pkp1p2…pn…Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…1、离散型随机变量函数的分布例2.2.1

设随机变量

X

具有以下的分布律，试求Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:

Y的所有可能取值为:0，1，4.且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，例2.2.2所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkY0140.10.70.2例2.2.32、连续型随机变量函数的分布1）、分布函数法：先求Y=g(X)的分布函数设随机变量X

具有概率密度：试求Y=X-4

的概率密度.解：(1)、先求Y=X-4

的分布函数

FY(y)：例2.2.4

整理得Y=X-4

的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式例2.2.5设随机变量X具有概率密度求：随机变量Y=2X+8的概率密度。例2.2.6、设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x<∞,求Y=X2的概率密度。例2.2.7

设X~求Y=eX的分布.y=ex

单调可导,反函数x=h(y)=lny,所以当y>0时,由此得解：小结：1一般情形下求随机变量函数的分布。2在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数的分布。重点：掌握一般情形下求随机变量函数分布的方法：先求分布函数，再求导，求随机变量函数的概率密度。讨论随机变量的数字特征的意义

前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数。例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、和矩．例：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲射手击中环数8910概率0.30.10.6

乙射手击中环数8910概率0.20.50.3试问哪个射手本领较好？三、随机变量的数字特征解：设两个选手各射N枪，则有甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N

乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N平均甲射中9.3环，乙射中9.1环，因此甲射手的本领好些。1、离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量X的分布率为若级数绝对收敛，则称的和为随机变量X的数学期望（或均值），记为EX。即数学期望也称为均值。

设连续型随机变量X的概率密度为，

若积分绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。记为2、连续型随机变量的数学期望例2.3.1若现从中任抽一名考生，其成绩用X表示，则X为随机变量，分布律为：显然：例2.3.2设离散型随机变量X

的分布律为：X012P0.10.20.7设离散型随机变量X的分布律为：X012P0.70.20.1例2.3.3按规定，火车站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：到站时间8:10,9:108:30,9:308:50,9:50

概率1/63/62/6(1)旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。(2)旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。12解：X

10

30

50P1/63/62/6(1)

旅客8：00到达X的分布率为设旅客的候车时间为X（以分记）

（2）旅客8：20到达X的分布率为

P3/62/6(1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6)X1030507090由于第一辆车没到而必须要等第二辆车，不仅要考虑第二辆车到的概率，同时也要考虑第一辆车没到的概率例2.3.4：随机变量X取值求数学期望。例2.3.5：设X～U(a,b),求E(X)。例2.3.6：由两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布，其概率密度为若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命（以小时计）N的数学期望。3、数学期望性质及其证明例2.3.7一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。解：4、随机变量的函数Y=g(X)的数学期望例2.3.8

设随机变量X的概率分布为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X012P1/21/41/4例2.3.9设X~

求下列X

的函数的数学期望.(1)2X1,(2)(X

2)2解:(1)、E(2X

1)=1/3,(2)、

E(X

2)2=11/6.5、方差随机变量X的方差与数学期望有如下关系：

D(X)=E(X2)-[E(X)]2注：方差是一个非负常数，描述了随机变量的所有取值的分散程度。例2.3.106、方差的性质及其证明例2.3.11

,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)[E(X)2]=7/61=1/6设X~(2)称注意点X

=

(X)=(1)

方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.

方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.矩的概念随机变量的标准化

设Var(X)>0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.称Y为X

的标准化.1、二项分布X为n重伯努里试验中“成功”的次数,如果随机变量X的分布律为四、几种重要的离散分布

考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试验中，事件A发生k次的概率伯努利试验与二项分布二项分布的最可能值二项分布的分布率先是随着

k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少．这个使得例2.4.1：按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0．2，现在从中随机地抽查20只。问20只元件中恰有k只(k=0，，…，20)为一级品的概率是多少?

解这是不放回抽样。但由于这批元件的总数很大，且抽查的元件的数量相对于元件的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理，这样做会有一些误差，但误差不大。我们将检查一只元件看它是否为一级品看成是一次试验，检查20只元件相当于做20重伯努利试验。以X记20只元件中一级品的只数，那么，X是一个随机变量，且有X～b(20，0．2)。即得所求概率为例2.4.2：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解：将一次射击看成是一次试验．设击中的次数为X，则X～b(400，0．02)。X的分布律为例2.4.3一大批产品的次品率为0.1，现按重复抽样方式从中取出15件．试求下列事件的概率：

B={取出的15件产品中恰有2件次品}

C={取出的15件产品中至少有2件次品}

由于从一大批产品中按重复抽样方式取15件产品，故可看作是一15重Bernoulli试验．解：所以，例2.4.4一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测能答对4道题以上的概率是多少？则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，所以例2.4.5对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？

则由题意解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli

试验．令：因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为二项分布的数学期望。

二项分布b(n,p)的方差=np(1p)

易知，P{X=k)≥0，k=0，1，2，…，且有2、泊松(Poisson)

分布如果随机变量X

的分布律为

则称随机变量X服从参数为λ的Poisson

分布．分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有⑵又由幂级数的展开式，可知所以是分布律．退出泊松定理定理:(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记pn

为一次试验中成功的概率.若npn

，则在应用中，当p相当小（一般当p≤0.1)时，我们用下面近似公式

把随机现象中事件的发生看作“流”的时候，如果事件流满足：(1)平稳性。即流的发生次数只与时间间隔⊿t的长短有关，而与初始时刻无关；<2)无后效性。即任一时间t0前流的发生与t0后流的发生无关；(3)普通性。即当时间间隔⊿t很小时，流至多发生一次。则“流”称为泊松流，其概率分布服从泊松分布。什么样的随机现象服从泊松分布？

如商店里等待服务的顾客数，电话交换台的呼唤数，火车站的乘客数，铸件的气孔数，棉布的疵点数，田地里一定面积上的杂草数，房间里单位面积上的尘埃数，等等，都属于普阿松分布的随机变量。泊松分布被称为空间散布点子的几何模型。如果随机变量X

的分布律为试确定未知常数c.例2.4.7由分布率的性质有解：例2.4.8设随机变量X

服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X

的分布律为由已知得由此得方程得解所以，泊松分布的数学期望。

泊松分布P()的方差=3、超几何分布如果随机变量X的分布律为N个产品中有M个不合格品，超几何分布对应于不返回抽样模型

：

从中抽取n个，不合格品的个数为X.

超几何分布、二项分布和泊松分布都是重要的离散型随机变量的概率分布。有时，他们的概率计算会十分繁冗。当试验次数n很大时，可以推导出这三个分布间有一种近似关系式

这里，第一个等式要求n很大，且n/N较小，取p=M/N即成立。第二个等式要求n很大时成立。实际使用时，n≥20即可，当n≥50时，效果更好。而泊松分布可通过查表计算，比较简单。超几何分布、二项分布和泊松分布之间的关系超几何分布的概率背景:(不重复抽样）

一批产品有

N件，其中有M

件次品，其余N-M

件为正品．现从中取出

n

件．令X：取出n

件产品中的次品数．则X的分布律为记为X~Ge(p)

X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.

几何分布具有无记忆性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)几何分布几何分布的无记忆性

在贝努利试验中，等待首次成功的时间服从几何分布。现在假定已知在前m次试验中没有出现成功，那么为了达到首次成功所再需要的等待时间′也还是服从几何分布，与前面的失败次数m无关，形象化地说，就是把过去的经历完全忘记了。因此无记忆性是几何分布所具有的一个有趣的性质。但是更加有趣的是，在离散型分布中，也只有几何分布才具有这样一种特殊的性质。

若是取正整数值的随机变量，并且，在已知>k的条件下，=k+1的概率与k无关，那么服从几何分布。什么样的随机现象服从几何分布？几何分布的数学期望。

几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2五、几种重要的连续型随机变量分布1、指数分布如果随机变量X的密度函数为指数分布的分布函数

指数分布Exp()期望:E(X)=1/

指数分布Exp()的方差=1/2指数分布的无记忆性

这一性质称为指数分布的无记忆性。事实上可以证明指数分布是唯一具有上述性质的连续型分布。例2.5.1一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从参数为10的指数分布，求其中一个的使用寿命在10到20小时的概率。令：B={使用为10~20小时}2、正态分布xf(x)0是位置参数.

是尺度参数.正态分布分布函数图示正态分布密度函数的图形性质xf(x)00xf(x)x0f(x)x0f(x)p(x)x0xx

显然(-x)=1-(x)标准正态分布正态分布的计算：（1）标准正态分布的计算：若X~N(0,1),则

(1)P(X

a)=(a);(2)P(X>a)=1(a);(3)P(a<X<b)=(b)(a);(4)若a0,则

P(|X|<a)=P(a<X<a)=(a)(a)

=(a)[1

(a)]=2(a)1

例2.5.2设X~N(0,1),求

P(X>1.96),P(|X|<1.96)=1(1.96)=1(1(1.96))=0.975(查表得)=2(1.96)1=0.95=(1.96)解:P(X>1.96)P(|X|<1.96)=20.9751

设X~N(0,1),P(X

b)=0.9515,

P(X

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查