数字图象处理及matlab的实现 ppt 课件 第04章

1第四章频域处理背景知识：傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和或余弦和的形式。2背景知识傅立叶变换：甚至非周期函数（曲线所包含面积有限的情况下）也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分表示。用傅立叶变换表示的函数特征可以通过傅立叶反变换重建，不丢失任何信息。3傅立叶变换和频率域的介绍离散傅立叶变换（DFT）：

单变量离散函数f(x),x=0,1,…,M-1,的傅立叶变换为：

其反变换为：在DFT中，函数f(x),F(u)中x、u的取值对应等间隔点：u总是从0频率开始4傅立叶变换和频率域的介绍F(u)的定义域（u的取值范围）称为频率域（frequencydomain），因为u决定了变换的频率成分.F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量（frequencycomponent）。傅立叶变换可看成“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分，使我们能够通过频率成分来分析一个函数。5傅立叶变换和频率域的介绍用极坐标表示F(u)：

如用R(u)和I(u)分别表示F(u)的实部和虚部，则幅度，频率谱(magnitude,spectrum)相角，相位谱(phaseangle,phasespectrum)功率谱，谱密度(powerspectrum,spectraldensity)6一维傅立叶变换实例空域越宽，频域越窄。7二维DFT及其反变换M×N的函数（数字图像）f(x,y)的DFT:反变换：8二维DFT及其反变换二维DFT变换的傅立叶谱、相角、功率谱原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级频率谱相角功率谱9二维DFT及其反变换通常在进行傅立叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数

将傅立叶变换的原点(即F(0,0))设置在u=M/2,v=N/2上,该点为二维DFT对应的M×N区域的中心为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。图像频谱二维DFT及其反变换2-D傅立叶变换的MATLAB实现：

F=fft2(f);

S=abs(F);

imshow(S,[])

Fc=fftshift(F);

imshow(abs(Fc),[])

S2=log(1+abs(Fc));

imshow(S2,[])反变换可以用：

F=ifftshift(Fc);

f=real(ifft2(F));Real是因为计算机字长限制带来的逆变换不完全相等。10fSFcS211频域滤波频域滤波基本步骤：用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心变换。由(1)计算图像的DFT，即F(u,v)。用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)。计算(3)中结果的反DFT。得到(4)中结果的实部。用(-1)x+y乘以(5)中的结果。H(u,v):滤波器(传递函数)(filter,filtertransferfunction),一般为实函数，此时也称零相移滤波器(zero-phase-shiftfilter)12频域滤波original13频域滤波低频成分主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示,而高频成分决定图像细节部分,如边缘和噪声.低通滤波器(lowpassfilter)高通滤波器(highpassfilter)高通滤波器叠加一常数：H(u,v)

+C14空间域滤波和频率域滤波

之间的对应关系将模板在图像中逐像素移动,并对每个像素计算一个指定数值是卷积过程的基础，严格定义为：

f(x,y)和h(x,y)是大小为M×N的两个函数。频域滤波与空域滤波之间的基本联系由卷积定理建立:

f(x,y)*h(x,y)和F(u,v)H(u,v)组成傅立叶变换对

f(x,y)h(x,y)和F(u,v)*H(u,v)组成傅立叶变换对15频域滤波高斯低通空域和频域滤波Y=fft2(double(x));Imshow(log(1+abs(fftshift(y)));Figure,imshow(real(ifft2(y)));H=fspecial(‘gaussian’,15,7);Imshow(imfilter(x,h));Hf=freqz2(H,size(x));//Hf=fft2(H,size(x))G=Hf.*YImshow(real(ifft2(g)));空间域滤波和频率域滤波

之间的对应关系例子：比较空间域与频率域Sobel滤波16h=fspecial('sobel')'PQ=2*size(f);H=freqz2(h,PQ(1),PQ(2));H1=ifftshift(H);fHH110-120-210-1h空间域滤波和频率域滤波

之间的对应关系空间域滤波：17频率域滤波：gs=imfilter(double(f),h);gsabs(gs)F=fft2(f,PQ(1),PQ(2));g=real(ifft2(H1.*F));g=g(1:size(f,1),1:size(f,2));gabs(g)空间域和频率域中的滤波器组成了傅立叶变换对。滤波器设计思路：在频率域指定滤波器,做反变换,以此为基础构建更小的空域滤波器模板。18平滑频率域滤波器理想低通滤波器（ideallowpassfilter,ILPF）：

其中

频率域矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率被完全衰减掉。(a)理想低通滤波器变换函数(b)以图像显示的滤波器(c)滤波器的径向横截面截止频率(cutofffrequency):H(u,v)=1和H(u,v)=0之间的过渡点,此处即D019理想低通滤波器对于不同的低通滤波器,通过研究其在具有相同的截止频率时所表现的不同特性来进行比较。建立一组标准截止频率位置的方法是计算包含图像总功率值PT特定比例α的圆环所对应半径.图像总功率值:尺寸为500×500的图像傅立叶谱图像的傅立叶谱叠加的圆环半径分别为5,15,30,80和230像素,它们分别包含了92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%的功率20理想低通滤波器D0=5,α=92%原图像D0=15,α

=94.6%D0=30,α

=96.4%D0=80,α

=98.0%D0=230,α

=99.5%图像中多数尖锐的细节信息包含在被滤除掉的8%的功率之内.随着滤波器半径的增加,越来越少的功率被滤掉,使得模糊减少.有振铃(ringing)现象21理想低通滤波器空间域ILPF中心成分主要产生模糊效果，同心圆成分主要产生振铃现象。频率域ILPF,r=5空间域ILPF原图像滤波结果22巴特沃思（Butterworth）低通滤波器n阶巴特沃思低通滤波器(BLPF)的传递函数为：(a)BLPF变换函数(b)以图像显示的滤波器(c)滤波器的径向横截面截止频率D0处H(u,v)=0.5与ILPF相比,BLPF变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断.23巴特沃思低通滤波器BLPF没有明显振铃效应尾部含有高频成分(模糊减少)D0=5原图像D0=15D0=30D0=80D0=230利用二阶BLPF进行滤波的效果24巴特沃思低通滤波器一阶的BLPF无振铃,二阶中振铃通常很微小，阶数进一步增高时振铃逐渐加重。D0=5时各阶BLPF对应的空间滤波器n=1n=2n=5n=20一般多用二阶BLPF。25高斯低通滤波器高斯低通滤波器(GLPF)的二维形式:

(a)GLPF变换函数(b)以图像显示的滤波器(c)滤波器的径向横截面高斯函数的傅立叶反变换也是高斯函数,因此GLPF对应的空间高斯滤波器没有振铃.截止频率D0处H(u,v)=0.60726高斯低通滤波器GLPF比有相同截止频率的二阶BLPF的平滑效果略低GLPF中没有振铃在需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡的情况下，BLPF更为合适,代价是可能产生振铃。D0=5原图像D0=15D0=30D0=80D0=23027低通滤波实例(a)低分辨率的文本样本(b)用GLPF滤波的结果连接“断裂”28低通滤波实例(a)原图像(b)GLPF滤波(D0=100)(c)GLPF滤波(D0=80)图像“美化”29线框图与表面图MATLAB强大的绘图功能Plot,stem,bar,imhist,axis([hor1hor2ver1ver2]),xlabel,ylabel,title,legend(‘text’);H=fftshift(fft2(fspecial(‘gaussian’,500,50)));mesh(H),colormap([rgb]),[100]-red,[000]-blackgridoff,gridon,axisoff,axisonFigure/Tools/Rotate3Dsurf(H),colormap(gray),shadinginterpT=0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t);gridon;axissquareforj=1:nplot_commandM(j)=getframe;endmovie(M)30频率域锐化滤波器边缘和灰度的急剧变化与高频成分有关,可以通过频率域高通滤波实现图像锐化处理。高通滤波器的传递函数设计:

Hlp(u,v)是相应低通滤波器的传递函数。31频率域锐化滤波器理想高通滤波器（IHPF）频率域与理想低通滤波器相对，将以D0为半径的圆周内的所有频率置零，而圆周外的频率无任何衰减。32频率域锐化滤波器IHPF的振铃效应：IHPF的空间域表示D0=30D0=15D0=80IHPF滤波效果33频率域锐化滤波器巴特沃思高通滤波器（BHPF）频率域巴特沃思型高通滤波器比理想高通滤波器过渡更平滑。34频率域锐化滤波器BHPF的空间域表示D0=30D0=15D0=80BHPF滤波效果35频率域锐化滤波器高斯型高通滤波器（GHPF）频率域高斯型高通滤波器比巴特沃斯高通滤波器过渡更平缓。36频率域锐化滤波器GHPF的空间域表示D0=30D0=15D0=80GHPF滤波效果结果比前两个滤波器更平滑,即使对微小物体和细条也很清晰.37频率域锐化滤波器高频加强(high-frequencyemphasis):在高通滤波器前乘以一个常数,再增加一个偏移以保留部分直流和低频分量：

a≥0且b>a。a的典型值在0.25到0.5之间，b的典型值在1.5到2.0之间。当a=(A-1)且b=l时高频加强转化为高频提升