2022年高考数学一轮复习 统计案例（精讲）（原卷版）

8.3统计案例（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一线性回归方程【例1-1】（2021·江苏徐州·高三）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：34562.534根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点处的残差为－0.15，则表中的值为（）A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5【例1-2】（2021·全国高三月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表：1234522334（Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；参考公式：（Ⅱ）从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望；（Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求．【一隅三反】1．（2021·全国高三专题练习（文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价(元)456789销量(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程=-4x+a，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A． B． C． D．2．（2021·贵州贵阳·（理））据贵州省气候中心报，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之间，毕节市局地、遵义市北部、铜仁市局地和黔东南州东南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超过100mm.若我省某地区2021年端午节前后3天，每一天下雨的概率均为.通过模拟实验的方法来估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率，利用计算机或计算器可以产生0到9之间取整数值的随机数（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨.因为是3天，所以每三个随机数作为一组，从随机数表中随机取得20组数如下:332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出k的值，使得该地区每一天下雨的概率均为；并根据上述20组随机数估计该地区这3天中恰好有2天下雨的概率；（2）2016年到2020年该地区端午节当天降雨量（单位:mm）如表：时间2016年2017年2018年2019年2020年年份12345降雨量2827252322经研究表明：从2016年到2020年，该地区端午节有降雨的年份的降雨量与年份具有线性相关关系，求回归直线方程.并预测该地区2022年端午节有降雨的话，降雨量约为多少？参考公式：，.3．（2021·孟津县第一高级中学）西部某深度贫困村，从2014—2019年的人均纯收入（单位：千元）情况如下表，时间变量从2014-2019年的值依次为1，2，……6．2014—2019年的人均纯收入情况表：年份201420152016201720182019人均纯收入（千元）2.63.03.63.94.45.1（1）在图中画出表中数据的散点图，根据散点图，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程（保留两位小数），预测该村2020年的人均纯收入为多少？附注：参考数据：，，，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．考点二非线性回归方程【例2-1】（2021·安徽马鞍山·高三（理））2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常､早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：由上表可得线性回归方程，则（）A． B． C． D．【例2-2】（2021·重庆市第十一中学校高三月考）某创业者计划在南山旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以入住天数的频率作为各自的“入住率”，收费标准x与入住率y的散点图如图．x100150200300450y9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过的农家乐的个数，求的分布列；（2）令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额Q最大？（100天销售额入住率收费标准x）参考数据：，，，，，，，，，．【一隅三反】1．（2021·山西高三）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：第天12345使用人数()151734578421333由表中数据可得y关于x的回归方程为，则据此回归模型相应于点（2，173）的残差为（）A． B． C．3 D．22．（2021·贵州高三月考）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度（秒/题）与训练天数（天）有关，经统计得到如下数据：（天）1234567（秒/题）910800600440300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（，用分数表示）.（2）小明和小红在数独上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛局后结束，求随机变量的分布列及期望.参考数据（其中）：17500.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为3．（2021·全国高三课时练习）某芯片公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.现该公司对收集的近12年的年研发资金投入量和年销售额（）的数据作了初步处理，令，，经计算得到如下数据：20667702004604.23125000215000.30814（1）设和的样本相关系数为，和的样本相关系数为，请从样本相关系数（精确到0.01）的角度判断，哪个模型拟合效果更好；（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的非线性经验回归方程；（ii）若下一年销售额需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约为多少亿元？参考数据为，，.考点三独立性检验【例3-1】（2021·河南高三月考）某外语学校要求学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习，为了解选择第二外语的倾向与性别的关系，随机抽取名学生，得到下面的数据表：选择德语选择日语男生女生根据表中提供的数据可知（）附：，．A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别无关B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别有关C．有的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关D．有的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关【例3-2】（2021·山东省淄博实验中学高三月考）电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式，是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象：中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里含有数字是否与国籍有关，随机调取了40个邮箱名称，得到如下2×2列联表：中国人外国人总计邮箱名称里有数字15520邮箱名称里无数字51520总计202040（1）根据小概率值的独立性检验，分析“邮箱名称里含有数字与国籍”是否有关？（2）用样本估计总体，将频率视为概率.在中国人邮箱名称里和外国人邮箱名称里各随机抽取6个邮箱名称，记“6个中国人邮箱名称里恰有3个含有数字”的概率为，“6个外国人邮箱名称里恰有3个含有数字”的概率为，试比较与的大小.参考公式和数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【一隅三反】1．（2021·定远县育才学校高三开学考试）春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到列联表：分类做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015由此列联表得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”2（2021·云南昆明市·高三（理））一种配件的标准尺寸为，误差不超过均为合格品，其余为不合格品．科研人员在原有生产工艺的基础上，经过技术攻关，推出一种新的生产工艺．下面的表格分别给出了用两种工艺生产的20个配件的尺寸（单位：）：新工艺500499503500505500502499500498502496498501500497498503500499旧工艺497502499495502494500496506503499496505498503502496498501505（1）完成下面的列联表，并分别计算用新、旧两种工艺生产的配件的合格率；合格品不合格品合计新工艺旧工艺合计（2）根据所得样本数据判断，能否有95%的把握认为用两种工艺生产的配件合格率有差异？，0.150.0500.0250.0052.0723.8415.0247.8793．（2021·全国高三月考）机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道时，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份违章驾驶人次（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章驾驶人次与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测该路口月份不“礼让行人”的违章驾驶人次；（2）交警从这个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不“礼让行人”“礼让行人”驾龄不超过年驾龄年以上能否据此判