复变函数第三章(上)

第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考2一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,3简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:

在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.42.积分的定义:5(6关于定义的说明:7二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,89根据线积分的存在定理,10当n

无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,11在形式上可以看成是公式122.积分的计算法13在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.14例1解直线方程为15这两个积分都与路线C无关16例2解(1)积分路径的参数方程为y=x17(2)积分路径的参数方程为y=x18y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为19例3解积分路径的参数方程为20例4解积分路径的参数方程为21重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.22三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式23性质(4)的证明两端取极限得[证毕]24例5解根据估值不等式知2526四、小结与思考

本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.27思考题28思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出.第二节柯西－古萨基本定理一、问题的提出二、基本定理三、典型例题四、小结与思考30一、问题的提出观察上节例1,此时积分与路线无关.观察上节例4,31观察上节例5,由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.32二、基本定理柯西－古萨基本定理定理中的C可以不是简单曲线.此定理也称为柯西积分定理.柯西介绍古萨介绍33关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.34三、典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有35例2证由柯西－古萨定理,36由柯西－古萨定理,由上节例4可知,37例3解根据柯西－古萨定理得3839四、小结与思考通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:并注意定理成立的条件.40思考题应用柯西–古萨定理应注意什么?41思考题答案(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理的不能反过来用.放映结束，按Esc退出.42Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料43GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古萨资料第三节基本定理的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理四、小结与思考45一、问题的提出根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.46二、复合闭路定理1.闭路变形原理︵︵47︵︵︵︵︵︵︵︵48得︵︵︵︵49解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.502.复合闭路定理那末5152三、典型例题例1解依题意知,53根据复合闭路定理,54例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,55例3解56由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.57例4解由上例可知58四、小结与思考本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:59思考题复合闭路定理在积分计算中有什么用?要注意什么问题?60思考题答案利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向.放映结束，按Esc退出.第四节原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考62一、主要定理和定义定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.两个主要定理:6364定理二证利用导数的定义来证.65由于积分与路线无关,6667由积分的估值性质,68此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]692.原函数的定义:原函数之间的关系:证70那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]713.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)72证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.73二、典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,74例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)75例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,76例3另解此方法使用了微积分中“分部积分法”77例4解利用分部积分法可得课堂练习答案78例5解79例6解所以积分与路线无关,根据牛—莱公式:80三、小结与思考本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.