2023年经济数学基础春积分部分期末复习指导

经济数学基础(08春）积分部分期末复习指导第二部分一元函数积分学第一、二章,不定积分和定积分考试规定:⑴理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，知道不定积分与导数（微分)之间的关系；例如:,而⑵纯熟掌握积分基本公式和直接积分法；⑶掌握第一换元积分法(凑微分法）、分部积分法;⑷知道无穷限积分的收敛概念,会求简朴的无穷限积分.重点：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部积分法、无穷限积分第三章积分应用考试规定：(１)纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法;(2)了解微分方程的几个概念，掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解．重点:积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程典型例题一、单项选择题１.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,3)的曲线为（）．A.Ｂ.C．D．答案:C２.下列函数中,(）是的原函数．A.－B.C．D．答案：C３.下列等式不成立的是(ﻩ)．A.ﻩB． C．ﻩＤ.选择D4．若，则=（）.A．B.C．Ｄ.答案：D５．( ).A. B. C．ﻩD.答案:B６.若，则ｆ(x）=（).A．B．-C．Ｄ.-答案：C７.若是的一个原函数，则下列等式成立的是().A.B.Ｃ．D.答案:B8．下列定积分中积分值为0的是（).A．B．C.D．答案：A9．下列无穷积分中收敛的是（）.Ａ.Ｂ.C.D．答案:C1０.下列微分方程中,( )是线性微分方程.A．ﻩB． C．ﻩD．答案:Ｄ11.微分方程的阶是（）．A．4B.3C.2D.答案:C二、填空题1. ﻩﻩ．答案:2．。答案:３．函数f(ｘ）=ｓin2ｘ的原函数是 ﻩﻩﻩﻩ ．答案：4.若，则．答案：5.若,则=．答案:6..答案:0７. ﻩﻩﻩﻩ ．答案：０8．无穷积分是 ﻩ ．答案:１9.是阶微分方程.答案：二阶10．微分方程的通解是ﻩ ﻩﻩ ．答案:三、计算题2.不定积分定、积分的计算积分基本公式,牛顿——莱布尼茨公式,积分计算方法：直接积分法,换元积分法和分部积分法计算下列积分(1）解==（2)解:(３)解：＝(4)解:＝（答案:（５）解:（6)解=四、应用题用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量。平均成本最小和利润最大环节：(１)找出求最值的函数（假如是平均成本最小,要先从边际成本得到成本函数，再得到平均成本函数;假如是求利润最大,经常可以直接得到边际利润）；(2)求其一阶导数,找出驻点(唯一)(3）说明１.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为＝2x+40（万元/百台）.试求产量由4百台增至６百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达成最低.解当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为==1０0(万元)又=＝令，解得.x=6是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均成本达成最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达成最小.２.已知某产品的边际成本为（万元/百台),ｘ为产量(百台)，固定成本为18(万元),求最低平均成本.解:由于总成本函数为＝当ｘ=０时,Ｃ（0)＝１8,得c=18即C(ｘ）=又平均成本函数为令，解得ｘ=３（百台)该题的确存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时，平均成本最低.最底平均成本为(万元/百台)３.生产某产品的边际成本为(x)=8x（万元/百台)，边际收入为(ｘ)=100-2ｘ(万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?解:已知(x)=８ｘ（万元/百台),（x）=10０-2x，则令，解出唯一驻点由该题实际意义可知，x=1０为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点．因此,当产量为10百台时利润最大．从利润最大时的产量再生产２百台，利润的改变量为(万元)即利润将减少20万元.4.设生产某产品的总成本函数为(万元),其中x为产量,单位:百吨.销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨),求:(1)利润最大时的产量；（2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化？解:（1)由于边际成本为，边际利润=14–2x令,得x=7由该题实际意义可知