第10章一元线性回归

不要过于教条地对待研究的结果，尤其当数据的质量受到怀疑时。

DamodarN.Gujarati

第10章一元线性回归作者：中国人民大学统计学院贾俊平PowerPoint统计学统计应用

回归分析在投资风险中的应用与一只股票相关的风险可以通过两种方式进行衡量系统风险(systematicrisk)，可由市场解释的股价变动—随着股市的上涨或下跌，该股票趋于同一方向变化特定风险(specificrisk)，由于其他因素引起的股价变动系统风险通过一个称为的指标来刻画等于1，表明特定股票的变化与市场同步小于1，表明这只股票要比市场更加稳定大于1，说明这只股票要比市场的变化大得多

值通过建立特定股票的收益(因变量)对市场平均收益(自变量)的回归模型进行计算第10章一元线性回归10.1

变量间关系的度量10.2一元线性回归10.3利用回归方程进行估计和预测10.4残差分析学习目标1. 相关关系的分析方法一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度回归方程的显著性检验利用回归方程进行估计和预测用Excel

进行回归10.1变量间关系的度量10.1.1变量间的关系10.1.2相关关系的描述与测度10.1.3相关系数的显著性检验变量间的关系函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy函数关系

(几个例子)某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px

(p为单价)圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2

企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为

y=x1x2x3

相关关系

(correlation)变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy相关关系

(几个例子)父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食单位面积产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系

(类型)相关关系的描述与测度

(散点图)相关分析及其假定相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？如果存在关系，它们之间是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定两个变量之间是线性关系两个变量都是随机变量散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关散点图

(例题分析)【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据散点图

(例题分析)散点图

(不良贷款对其他变量的散点图)散点图

(5个变量的散点图矩阵)不良贷款贷款余额累计应收贷款贷款项目个数固定自产投资相关关系的描述与测度

(相关系数)相关系数

(correlationcoefficient)度量变量之间关系强度的一个统计量对两个变量之间线性相关强度的度量称为简单相关系数若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r也称为线性相关系数(linearcorrelationcoefficient)或称为Pearson相关系数

(Pearson’scorrelationcoefficient)

相关系数

(计算公式)

样本相关系数的计算公式或化简为相关系数的性质性质1：r

的取值范围是[-1,1]

|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系-1r<0，为负相关0<r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的性质

(取值及其意义的图解)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的经验解释

|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5|r|<0.8时，可视为中度相关0.3|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数

(例题分析)用Excel计算相关系数相关系数的显著性检验相关系数的显著性检验

(r

的抽样分布)1. r的抽样分布随总体相关系数和样本容量的大小而变化当样本数据来自正态总体时，随着n的增大，r

的抽样分布趋于正态分布，尤其是在总体相关系数很小或接近0时，趋于正态分布的趋势非常明显。而当远离0时，除非n非常大，否则r的抽样分布呈现一定的偏态当为较大的正值时，r呈现左偏分布；当为较小的负值时，r呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系等价于对回归系数b1的检验采用R.A.Fisher提出的t检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量：确定显著性水平，并作出决策若t>t，拒绝H0

若t<t，不拒绝H0相关系数的显著性检验

(例题分析)对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系相关系数的显著性检验

(例题分析)各相关系数检验的统计量相关系数的显著性检验

(需要注意的问题)即使统计检验表明相关系数在统计上是显著的，并不一定意味着两个变量之间就存在重要的相关性因为在大样本的情况下，几乎总是导致相关系数显著比如，r=0.1，在大样本的情况下，也可能使得r通过检验，但实际上，一个变量取值的差异能由另一个变量的取值来解释的比例只有10%，这实际上很难说明两个变量之间就有实际意义上的显著关系10.2一元线性回归10.2.1一元线性回归模型10.2.2参数的最小二乘估计10.2.3回归直线的拟合优度10.2.4显著性检验什么是回归分析？

(regression)从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度趋向中间高度的回归回归这个术语是由英国著名统计学家FrancisGalton在19世纪末期研究孩子及其父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子身材也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。Galton把这种孩子的身高向平均值靠近的趋势称为一种回归效应，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x

变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x

是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制

回归模型的类型一元线性回归模型一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示回归模型

(regressionmodel)回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1个数值型因变量(响应变量)被预测的变量1个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)用于预测的变量3. 主要用于预测和估计一元线性回归模型描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为

y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数回归模型中为什么包含误差项理由1：理论的含糊性。即使有决定y的行为的理论，而且常常是不完全的，影响y的变量不是无所知就是知而不确，因此不妨设作为模型所排除或忽略的全部变量的替代变量误差项是未包括在模型中而又影响着y的全部变量的替代物，但为什么不把这些变量引进到模型中来？换句话说，为什么不构造一个含有尽可能多个变量的复回归模型？古扎拉蒂在《计量经济学》一书中列出了7点理由回归模型中为什么包含误差项理由2：数据的欠缺。即使我们明知被忽略变量中的一些变量，并因而考虑用一个复回归而不是一个简单回归，我们却不一定能得到关于这些变量的数量信息理由3：核心变量与周边变量。影响y的全部或其中的一些变量，合起来的影响如此之小，充其量是一种非系统的或随机的影响。从实际考虑以及从成本上计算，把它们一一引入模型是划不来的。所以人们希望把它们的联合效应当作一个随机变量来看待回归模型中为什么包含误差项理由4：人类行为的内在随机性。即使我们成功地把所有有关的变量都引进到模型中来，在个别的y中仍不免有一些“内在”的随机性，这是无论我们花多少力气都解释不了的。随机项也许能很好地反映这种随机性理由5：糟糕的替代变量。虽然经典回归模型假定变量y和x能准确地观测，但实际上数据会受到测量误差的扰乱。由于这些变量不可直接观测，故实际上我们用替代变量。这时误差项又可以用来代表测量误差回归模型中为什么包含误差项理由6：节省原则。我们想保持一个尽可能简单的回归模型。如果我们能用两个或三个变量就“基本上”解释了y的行为，并且如果我们的理论完善或扎实的程度还没有达到足以提出可包含进来的其他变量，那么为什么要引进更多的变量呢？让去代表所有的其他变量好了。当然，我们不应该只为了保持回归模型简单而排除有关的和重要的变量回归模型中为什么包含误差项理由7：错误的函数形式。即使我们有了解释一种现象的在理论上正确的变量，并且能获得这些变量的数据，我们却常常不知道回归子(因变量)和回归元(自变量)之间的函数形式是什么形式。在双变量模型中，人们往往能从散点图来判断关系式的函数形式，而在多变量回归模型中，由于无法从图形上想像一个多维的散点图，要决定适当的函数形式就不容易一元线性回归模型

(基本假定)因变量y与自变量x之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=0+

1x对于所有的x值，ε的方差σ2都相同误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε~N(0,σ2)独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关一元线性回归模型

(基本假定)x=x3时的E(y)x=x2时y的分布x=x1时y的分布x=x2时的E(y)x3x2x1x=x1时的E(y)0xyx=x3时y的分布0+1x回归方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下

E(y)=0+1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值估计的回归方程

(estimatedregressionequation)一元线性回归中估计的回归方程为用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计其中：是估计的回归直线在y

轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x

的值，是y

的估计值，也表示x

每变动一个单位时，y的平均变动值

参数的最小二乘估计最小二乘估计

(methodofleastsquares)德国科学家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数

使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小KarlGauss的最小化图xy(xn

,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei

=yi-yi＾最小二乘法

(

和的计算公式)

根据最小二乘法，可得求解和的公式如下估计方程的求法

(例题分析)【例】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：y=-0.8295

+0.037895

x回归系数=0.037895表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元

^估计方程的求法

(例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示用Excel进行回归分析第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择【数据分析】选项第3步：在分析工具中选择【回归】，选择【确定】第4步：当对话框出现时

在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项

用Excel进行回归分析回归直线的拟合优度变差因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示误差的分解

(图示)xyy误差平方和的分解

(三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{误差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST—totalsumofsquares)反映因变量的n个观察值与其均值的总误差回归平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和判定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总误差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R2＝r2判定系数

(例题分析)【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系估计标准误差

(standarderrorofestimate)实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为注：例题的计算结果为1.9799估计标准误差的自由度估计标准误差的是残差平方和SSE除以它的自由度后的平方根残差平方和SSE的自由度之所以是n-2，原因是在计算SSE时，必须先求出和，这两个估计值就是附加给SSE的两个约束条件，因此在计算SSE时，只有n-2个独立的观测值，而不是n个一般而言，在有k个自变量的多元回归中，自由度则为n-k一般的规律是：自由度=n-待估参数的个数显著性检验线性关系的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)线性关系的检验

(检验的步骤)提出假设H0：1=0线性关系不显著2.计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F

作出决策：若F>F

,拒绝H0；若F<F

,不拒绝H0线性关系的检验

(例题分析)提出假设H0：1=0不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F

=4.28作出决策：若F>F,拒绝H0，线性关系显著线性关系的检验

(方差分析表)Excel输出的方差分析表回归系数的检验在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验采用t检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布回归系数的检验

(样本统计量的分布)

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于未知，需用其估计量se来代替得到的估计的标准差回归系数的检验

(检验步骤)提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，并进行决策t>t，拒绝H0；t<t，不拒绝H0回归系数的检验

(例题分析)对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=7.533515>t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系回归系数的检验

(例题分析)P值的应用P=0.000000<=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系回归分析结果的评价建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手所估计的回归系数

的符号是否与理论或事先预期相一致在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数为正值如果理论上认为x与y之间的关系不仅是正的，而且是统计上显著的，那么所建立的回归方程也应该如此在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明二者之间的线性关系是统计上显著的回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图或正态概率图回归分析结果的评价Excel输出的部分回归结果名称计算公式AdjustedRSquareIntercept的抽样标准误差Intercept95%的置信区间斜率95%的置信区间10.3利用回归方程进行估计和预测10.3.1点估计10.3.2区间估计利用回归方程进行估计和预测根据自变量x

的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计点估计点估计2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计值

y的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量

y

的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得y的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计值，就是个别值的点估计例如，如果我们只是想知道贷款余额为72.8亿元的那个分行(这里是编号为10的那个分行)的不良贷款是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得区间估计区间估计点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型置信区间估计(confidenceintervalestimate)预测区间估计(predictionintervalestimate)置信区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间

，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信区间为式中：se为估计标准误差置信区间估计

(例题分析)

【例】求出贷款余额为100亿元时，不良贷款95%置信水平下的置信区间

解：根据前面的计算结果，已知n=25，

se=1.9799，t(25-2)=2.069

置信区间为当贷款余额为100亿元时，不良贷款的平均值在2.1141亿元到3.8059亿元之间预测区间估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的预测区间为注意！预测区间估计

(例题分析)【例】求出贷款余额为72.8亿元的那个分行，不良贷款95%的预测区间

解：根据前面的计算结果，已知n=25，se=1.9799，t(25-2)=2.069

预测区间为贷款余额为72.8亿元的那个分行，其不良贷款的预测区间在-2.2766亿元到6.1366亿元之间影响区间宽度的因素置信水平(1-)区间宽度随置信水平的增大而增大数据的离散程度s区间宽度随离散程度的增大而增大3. 样本容量区间宽度随样本容量的增大而减小4. 用于预测的xp与x的差异程度区间宽度随xp与x的差异程度的增大而增大置信区间和预测区间

(例题分析)置信区间、预测区间、回归方程xpyxx预测上限置信上限预测下限置信下限估计和预测需要注意的问题在利用回归方程进行估计或预测时，不要用样本数据之外的x值去预测相对应的y值因为在一元线性回归分析中，总是假定因变量y与自变量x之间的关系用线性模型表达是正确的。但实际应用中，它们之间的关系可能是某种曲线此时我们总是要假定这条曲线只有一小段位于x测量值的范围之内。如果x的取值范围是在xL和xU之间，那么可以用所求出的利用回归方程对处于xL和xU之间的值来估计E(y)和预测y。如果用xL和xU之间以外的值得出的估计值和预测值就会很差实际数据是曲线而模型为直线xE(y)xLxUE(y)10.4残差分析10.4.1用残差证实模型的假定10.4.2用残差检测异常值和有影响的观测值残差

(residual)因变量的观测值与根据估计的回归方程求出的预测值之差，用e表示反映了用估计的回归方程去预测而引起的误差可用于确定有关误差项的假定是否成立用于检测有影响的观测值用残差