华东交通大学第七章-机械的运转及其速度波动的调节

机械的调速问题的提出Ｆ３Ｐ３Ｐ２Ｐ１Ｍ１ω１ABCＰ３＝－ｍ３ａ３Ｐ２＝－ｍ２ａ２Ｐ１＝－ｍ１ａ１由能量守恒定律，单位时间内的输入共等于输出功M1ω1=P1v1+P2v2+(F3+P3)v3可见：由于P2、P3、v2、v3随时间周期性变化，原动件上的驱动力矩M１也随时间变化。在机器的稳定运转阶段由于原动件上的驱动力矩M１随时间变化，而原动机的输出力矩Ｍ相对稳定，当Ｍ＞Ｍ１时，机器的转速ω>ω１；Ｍ<Ｍ１时，机器的转速ω<ω１。从而引起机器运转时的速度波动。机器在稳定运转阶段，转速是呈周期性波动的。机器的运转阶段及其特性机器在运转分成三个阶段，启动阶段、稳定运转阶段、停车阶段。启动阶段：机械系统的动能增加，转速ω增大。稳定运转阶段：机械系统的输入功等于消耗功，动能不变，转速ω呈周期性波动。停车阶段：机械系统的动能减小，输入功等于零，转速ω逐渐降低直至停止。机械的运动方程对于如图所示的机构ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3根据能量守恒定律，在dt时间内所有外力所作的功，等于机械系统内能量的增加，即：dE=dWABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3各活动构件的动能为：曲柄（质心在Ｏ点）只有转动动能：连杆：滑块：机械系统的总动能为：Ｅ=Ｅ1+Ｅ2+Ｅ3在dt瞬时，总动能的增量为：ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3在dt瞬时，所有外力所作的功为：其中称为瞬时功率代入dE=dW——微分形式的曲柄滑块机构的运动方程式推广到一般情况，如果机构由n个活动构件组成，用Ｅｉ表示第i个构件的动能，则整个机构的总动能为：又如作用在i个构件上的作用力为Ｆｉ，力矩为Ｖｉ，Ｆｉ作用点的速度为Ｖｉ，Ｆｉ与Ｖｉ间的夹角为αi，该构件的角速度为ωi，则其瞬时功率为：表示Ｍｉ与ωｉ转向相同或相反写成微分形式的机械运动方程式dE=Ｎdｔ微分形式的机械运动方程式较为复杂，必须经过简化才能解。仍以曲柄滑块机构为例ABCＭ１ω１Ｆ３v3c2ω2c1J１J2m2m3该机构仅有一个自由度，若已知曲柄１的转角φ１，经运动分析可以得到其他构件的位置。将φ１对时间求导，可以得到ω１，进而求出其他构件的速度和加速度。所以Φ１是一个独立变量，称为独立的广义坐标。对微分形式的曲柄滑块机构的运动方程式进行简化令：因为Ｊｅ的量纲为转动惯量的量纲mr2(Kg.m2)，故Ｊｅ称为等效转动惯量。令：因为Ｍｅ的量纲为力矩的量纲，故Ｍｅ称为等效力矩。则原方程简化为：做了以上的简化后，实际上是把原来曲柄滑块的研究转化到了它的原动件曲柄上。这个构件称为等效构件。这种模型称为等效动力学模型。若把移动构件滑块选为等效构件，利用微分形式的曲柄滑块机械运动方程可以得到1令：mｅ称为等效质量。令：Ｆｅ称为等效力。则原方程简化为：做了以上的简化后，实际上是把原来曲柄滑块的研究转化到了它的滑块上。Ｆｅv3m3这个构件称为等效构件。这种模型称为等效动力学模型。对于有n个活动构件的机构，当取转动构件为等效构件时，其等效转动惯量的一般形式为：等效构件的角速度等效力矩的一般形式为：对于有n个活动构件的机构，当取移动构件为等效构件时，其等效质量和等效力的一般形式为：等效构件的速度例题正弦机构如图所示，已知曲柄长为l1，曲柄绕轴Ａ的转动惯量为Ｊ１，滑块２和３的质量分别为m2、m3。设取曲柄为等效构件，求等效转动惯量Ｊｅ。又如已知作用在滑块上的阻力Ｆ３＝ＡＶｓ３（Ａ为常数），试求阻力Ｆ３的等效阻力矩Ｍｒ。解取曲柄为等效构件，则等效转动惯量Ｊｅ为：φ１１２３ω１Ｆ３ＡＢＣ其中：构件3的位移构件3的速度代入等效转动惯量的公式中可见等效转动惯量是φ１的函数。等效力矩：将Ｆ３＝ＡVs3代入，且Ｆ３为阻力，故等效力矩为等效阻力矩。用Ｍｒ表示。机械运动方程还有其他的表达形式由若已知初始条件t=t0时，φ=φ0，ω=ω0，Je=J0。对上式积分——能量形式的机械运动方程式再对微分形式的机械运动方程式进行变换——力矩形式的机械运动方程式7.３机械的运动方程的求解一、等效力矩和等效转动惯量为常数时的求解方法由力矩形式的机械运动方程：Ｊｅ为常数、Ｍｅ为常数，则若已知初始条件t=t0时，φ=φ0，ω=ω0，对上式积分例题已知某机械稳定运转时主轴的角速度ωs=100rad/s,机械的等效转动惯量Ｊｅ＝0.5kgm2。制动器的最大制动力矩Ｍｒ＝20Nm（制动器与主轴相联，并取主轴为等效构件）。设要求直动时间不超过３秒，试检验该制动器是否能满足要求。解当机械制动时，驱动力矩Ｍｄ＝０，而制动力矩又作用在等效构件上，所以等效力矩二、等效转动惯量为常数、等效力矩是速度的函数时的求解方法由力矩形式的机械运动方程：可得积分由方程中解出角速度ω例题设有一由电动机驱动的机械系统，以主轴为等效构件时，作用于其上的等效驱动力矩Ｍｄ＝Ａ－Ｂω=10000-200ωＮｍ，等效阻力矩Mr=8000Nm，等效转动惯量Ｊｅ＝８kgm2。主轴的初始角速度ω0=100rad/s。试确定运转过程中角速度ω与角加速度ε随时间的变化关系。该题目属于等效转动惯量为常数，等效力矩为速度函数的情况。解由力矩形式的机械运动方程：等于零等效力矩带入积分方程中三、等效转动惯量和等效力矩为位置的函数时的求解方法利用积分形式的机械运动方程可以得出若Ｍｅ是可积分的函数，由上式可以得出ω，进而求出ε和φ。机器的稳定运转机器条件机器的稳定运转机器在等速稳定运转时，ω=常数，选主轴为等效构件，则由力矩式运动方程周期性稳定运转一、机器的等速稳定运转等速稳定运转等于零所以机器在等速稳定运转时，作用在其上的所有外力应该平衡，即因为ω≠０，故Ｊｅ＝常数由等效转动惯量的计算公式＝常数等于常数等于常数由此可见，对于仅含有转动副的定传动比机构，定能等速转动。机器实现等速运转的条件是：１）组成机器的全部机构为定传动比机构。即Ｊe＝常数２）在任何时刻，等效驱动力矩等于等效阻力矩。在任意时间间隔内的输入功等于输出功。二、机器的周期性稳定运转当机械系统的驱动力矩与阻抗力矩作周期性变化时（如含有连杆机构、凸轮机构等），则其等效驱动力矩Md和等效阻力矩Mr必然是等效构件转角φ的周期函数。设某机械系统在稳定运转过程中，在回转角φ的一个周期中，等效驱动力矩Ｍｄ与等效阻抗力矩Ｍｒ的变化曲线如图所示φＴaφa'在转角的任意位置φ，等效驱动力矩Ｍｄ所作的功为：为从a——φ，Ｍｄ曲线下的面积ＭｄφＭφＴaφＭｄφＭＭr在转角的任意位置φ，等效阻力矩Ｍr所消耗的功为：为从a——φ，Ｍr曲线下的面积根据能量守恒原理，在同一位置机械动能的增量为φＴaφＭｄφＭＭr由图可见：系统动能的变化ΔＥ为Ｍｄ与Ｍｒ两线之间的面积的代数和。在一个周期φＴ里所以ΔＥ为Ｍｄ与Ｍｒ两线之间所夹面积的代数和。赢功赢功Ａ１Ａ３Ａ５Ａ７Ａ２Ａ４Ａ６赢功亏功亏功亏功亏功所以ΔＥ又为赢亏功的代数和。a'当φ=φ’时，φ角转过一个周期，如果在一个周期中，Ｍｄ与Ｍｒ所作的功相等，则：要使ωa’=ωa，即使ω经过一个周期变化又等于其原来的值。则：Ｊea’=Jea。即：等效转动惯量必须与Ｍｄ和Ｍｒ具有相同的变化周期。如果二者变化周期不相同，则只有在它们的公共周期里，才能实现转速的周期性变化。此时等效构件的角速度在稳定运转中呈现周期性的波动，这样的运转过程称为周期性稳定运转。机器周期性速度波动的调节一、飞轮的调速作用对于做周期性变速稳定运转的机器，其速度波动的大小通常用速度不均匀系数δ表示。φωφTωmaxωmin其平均角速度ωm为ωm在工程实际中ωm常用其算术平均值近似表示或者将机器名牌上的额定转速简单地选为平均转速。机器的运转不均匀系数：设计时要求：从表中可以看出，速度越高的机器，许用的[δ]越小。由可以推出：ωmax与ωmin可用功的变化求出。假设等效转动惯量为常数，即忽略其变量部分，则ΔＷΔＥω当ΔＷ=Δｗmax时，ω=ωmax。φＴaφＭｄφＭＭrＡ１Ａ３Ａ５Ａ７Ａ２Ａ４Ａ６a'００aa'ΔＷ＝－Ａ１ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３+A4ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３＋Ａ４－Ａ５ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３＋Ａ４－Ａ５＋Ａ６ΔＷ＝－Ａ１＋Ａ２－Ａ３＋Ａ４－Ａ５＋Ａ６－Ａ７＝０ΔＷmaxΔＷmin由图可见，ΔＷ最大时，也就是赢亏功的代数和为最大时。同理：ΔＷΔＥω当ΔＷ最小时，也就是赢亏功的代数和为最小时。令则[Ｗ]称为最大赢亏功。由可得所以可见：Ｊｅδ为了使速度不均匀系数降到小于[δ]，可以在等效构件（通常选机器的主轴）上再加上一个具有足够大转动惯量JF的飞轮，则此时导出飞轮转动惯量的计算公式：如果:Ｊｅ＜＜ＪＦ，Ｊｅ可以忽略不计，则：如果ωm用额定转速n(r/min)代替，则可见：nJF因此，为了减少飞轮的转动惯量，最好将飞轮安装在高速轴上。例题解设已知一机械所受等效阻力矩Ｍｒ的变化规律如图所示，，等效转动惯量为常数，机械主轴（选为等效构件）转速为1000r/min，试求当运转不均匀系数δ不超过0.05时，所需飞轮的转动惯量ＪＦ（飞轮安装在主轴上