2023年数学二轮基本内容十大攻略第讲函数与不等式问题的解题技巧

第三讲函数与不等式问题的解题技巧【命题趋向】全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向.考纲是考试法典，是命题的依据,是备考的总纲．科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲.对照2023年的考纲和高考函数试题有这样几个特点:1.通过选择题和填空题,全面考察函数的基本概念,性质和图象．2.在解答题的考察中，与函数有关的试题经常是以综合题的形式出现．3．从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考察.4.一些省市对函数应用题的考察是与导数的应用结合起来考察的．5．涌现了一些函数新题型．６.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，并且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．函数类试题在试题中所占分值一般为22－--３5分．而202３年的不等式试题则有这样几个特点:1．在选择题中会继续考察比较大小，也许与函数、方程、三角等知识结合出题．2.在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.３.解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法．分值在27－－-３２分之间,一般为2个选择题，１个填空题,1个解答题.可以预测在202３年的高考试题中,会有一些简朴求函数的反函数,与导数结合的函数单调性－函数极值-函数最值问题;选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题,在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围,和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题,这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。【考点透视】1.了解映射的概念，理解函数的概念.2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简朴函数的单调性和奇偶性的方法，并能运用函数的性质简化函数图象的绘制过程．３．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简朴函数的反函数.4.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质．5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.可以运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简朴的实际问题．7．在纯熟掌握一元一次不等式(组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简朴不等式的解法．通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力.ﻩ８.掌握解不等式的基本思绪,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式． 9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题． １0.通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题. 1２．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识.【例题解析】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考察的重点内容之一.这里重要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题．例1.(2０23年广东卷理）已知函数的定义域为Ｍ，g(x)=的定义域为N，则M∩Ｎ＝（A)(B）(C）（D)命题意图:本题重要考察具有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数的定义域M=g（x)=的定义域N=∴M∩N＝．故选C例2.(20２3年湖南卷）函数的定义域是(）（Ａ)(3,+∞)（B）［3，+∞)(C）(４,+∞)（Ｄ)[4,+∞)命题意图：本题重要考察具有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由，故选Ｄ.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域，以及函数概念的理解.例3.（202３年安徽卷)函数的反函数是(）(A）（Ｂ)（C)(D）命题意图：本题重要考察有关分段函数的反函数的求法.故选C.例4．（2０23年湖北卷理）已知函数的反函数是，则；．命题意图:本题重要考察反函数的求法及待定系数法等知识．解：与比较得6,故填３.复合函数问题复合函数问题，是新课程、新高考的重点．此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域．例5．(2023年北京卷文）对于函数①，②,③,判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数;命题乙：在上是减函数,在上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A.①② ﻩＢ.①③ C.②ﻩﻩ D．③命题意图：本题重要考察运用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解:是偶函数，又函数开口向上且在上是减函数,在上是增函数.故能使命题甲、乙均为真的函数仅有.故选C例6．(２０２３年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则___＿＿_____．命题意图：本题重要考察代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解：由，得,所以，则.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考察内容灵活多样.这里重要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义,掌握鉴定方法,对的结识单调函数与奇偶函数的图象.例7.(２02３年全国卷）已知函数，若为奇函数，则_＿＿_＿___.命题意图:本题重要考察函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用．常规解法：由f（x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0，即应填.巧妙解法：由于f(x)为奇函数，所以ｆ(0）＝0,即应填.点评：巧妙解法巧在运用了f(x）为奇函数,所以f（0）=0，这一重要结论.例８．（２０2３年全国卷理Ｉ),是定义在上的函数，，则“,均为偶函数”是“为偶函数”的(）A.充要条件ﻩﻩ ﻩﻩB.充足而不必要的条件Ｃ．必要而不充足的条件ﻩ D.既不充足也不必要的条件命题意图:本题重要考察两个函数的加法代数运算后的单调性以及充足条件和必要条件的相关知识.解先证充足性：由于，均为偶函数，所以，有,所以为偶函数.反过来,若为偶函数,不一定是偶函数.如,,故选B.方法二:可以选取两个特殊函数进行验证.故选Ｂ点评：对充要条件的论证,一定既要证充足性,又要证必要性,二着缺一不可.同时,对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证.5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考察的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具，运用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用．因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能运用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考察了数形结合的解题思想．例９．(2023年山东卷)函数ｙ=１+ax(0<a＜1）的反函数的图象大体是()（A）(Ｂ）（C)（D）命题意图:本题重要考核对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y＝1+aｘ(0<a＜１),∴.此函数图象是由函数向右平移一个单位得到的．故选A.6.函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大,考察内容和形式灵活多样.这里重要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力,掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力．例10．（２023年浙江卷文)已知（Ⅰ）若k=2，求方程的解;（Ⅱ）若关于x的方程在(0，2）上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明命题意图：本题重要考察函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识,以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。满分１5分。（I)解:当分两种情况讨论：①当，方程化为②当，方程化为１+2x=0,解得,由①②得,（II）解：不妨设,由于所以是单调递函数，故上至多一个解,方法一：方法二：由于;ﻩ①由于，ﻩ②由①②消去ｋ，得7.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式，以考察不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应注意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,准确解题.例1１.（202３年北京卷文)记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．(=1＼*ROMANI）若,求;（=２\*ＲＯMANII）若，求正数的取值范围.命题意图：本题重要考察集合的有关概念和运算及分式不等式和含绝对值的不等式的解法．解：(=1\*ROMAＮI)由,得.(=2\*ROＭAＮＩI）．由,得,又，所以,即的取值范围是.8.以线性规划形式出现的不等式以线性规划形式出现的不等式,重在考察数形结合的解题能力.这种题目解题时要注意根据已知不等式组作出图形,分析求解.例12.(2023年辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表达该区域的不等式组是（A)ﻩ(Ｂ)ﻩ(C） （D）命题意图:本题重要考察运用双曲线的图象性质和线性规划的知识,体现数形结合能力.解：作图可知三角形区域在第一象限.即满足故选(A）9..以简易逻辑为背景的不等式以简易逻辑为背景的不等式,解题时往往以不等式为工具,来拟定命题,用简易逻辑知识解决问题．例１3．（２023年山东卷）设,则是的(Ａ）充足不必要条件 ﻩ (Ｂ)必要不充足条件(C）充要条件ﻩﻩﻩﻩﻩ(Ｄ)既不充足也不必要条件命题意图:本题重要考察运用不等式和简易逻辑知识解决问题的能力.解:由题设可得:故选(A)10..与函数知识结合的不等式与函数知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具,结合函数知识,通过推理来解决问题．例14.（2023年山东卷)设（Ａ)0 ﻩ（B)1ﻩﻩﻩ（C）2ﻩﻩﻩﻩ(D)3命题意图:本题重要考察运用不等式和函数知识解决问题的能力．解：故选(C)12.．与平面向量知识结合的不等式与平面向量知识结合的不等式，解题时往往以不等式为工具,结合平面向量知识和坐标运算,通过和坐标运算和推理来解决问题.例1５.（20２３年辽宁卷)设,,,点是线段上的一个动点,，若,则实数的取值范围是(A） ﻩ ﻩ ﻩ（Ｂ）（C）ﻩ ﻩ (Ｄ）命题意图：本题重要考察运用不等式和平面向量知识解决问题的能力.解:设P（x,ｙ)，则由得，又点是线段上的一个动点,故选（Ｂ)13..与函数的导数知识结合的不等式.与函数的导数知识结合的不等式,解题时往往以不等式和函数的导数为工具,结合函数知识，通过推理来解决问题.例１６.（20２３年江西卷)已知函数在与时都取得极值.求、的值及函数的单调区间;若对,不等式恒成立,求的取值范围.命题意图：本小题考察函数的导数,函数，函数极值的鉴定,给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用,考察就数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力．解:极大值极小值所以函数的递增区间为与;递减区间为．14..与数列知识结合的不等式与数列知识结合的不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具,结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.例17.(2０２３年湖北卷）设数列的前项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ)求数列的通项公式;（Ⅱ）设,是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正整数.命题意图：本小题重要是考察等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考察分析问题能力和推理能力.解：（Ｉ）依题意得,即.当n≥２时,;当n=1时，×-2×1-１-6×1-5.所以．（II）由(Ｉ）得，故=.因此，使得﹤成立的ｍ必须满足≤，即ｍ≥１0,故满足规定的最小整数m为10．15.．不等式的实际应用不等式的实际应用题，解题时往往以不等式为工具,结合函数知识和函数的导数的应用，通过建立不等式模型,运用计算和推理来解决问题．例18．(2023年重庆卷文)(本小题满分12分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，规定长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？命题意图:本小题重要考察运用函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用不等式知识解决实际问题的能力.解:设长方体的宽为x（m),则长为，高为故长方体的体积为从而令(舍去）或x=1，因此x=１．当,故在x=１处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值.从而最大体积此时长方体的长为2m,高为１.５ｍ答:当长体的长为2m，宽为1m,高为1.5ｍ时,体积最大，最大体积为3m3．【专题训练与高考预测】一.选择题1.y=的单调递减区间为（）A.（-∞，-３)B.(－∞,-1）C.[１,＋∞]D.[－３,－1］2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(）Ａ．y=-Ｂ.y=C.y=3-2xD．ｙ=-x2＋2x+13.设f(x）是定义在Ａ上的减函数，且f(x)>0，则下列函数:y＝３-2f(x),y=1+,y=ｆ2（x),ｙ=1-，其中增函数的个数为()A.１ B．2 Ｃ．3 D.４4．关于x的方程9x+(a+4）·3ｘ+4=0有解,则实数ａ的取值范围是（)A.（-∞，－8］∪[0，+∞)B、（－∞，-4）［-8，4）D、（-∞,-8]5．若ａ>0,b>0，且2ａ＋ｂ=１，则S＝2-４ａ２-b2的最大值是（)A．ﻩB、C、ﻩD、６．已知不等式m2+(cos2θ－5）m+4sｉn2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是()

A.0≤m≤4B.1≤m≤4Ｃ．m≥4或x≤０Ｄ.m≥1或m≤0二．填空题7.设ｆ（ｘ)=ｘ2-１(x≤-2）,则ｆ-１(４）＝＿_＿＿_＿____．8.已知f(x)=3x-2,则f－1(3x-2)=_____＿____.9.已知f(x)是奇函数，当x∈(０，１）时,ｆ（ｘ)＝lg，那么当ｘ∈(-１,0）时，f（x)的表达式是_＿___.10.记Ｓ=，则S与1的大小关系是．1１.当时，函数的最小值是__＿_＿__＿＿.12.实数满足,则的取值范围是___＿_＿_＿＿＿.三．解答题13.设函数f(ｘ）=ｌｏg2(x+1)，当点(x，y）在y=f（x）的反函数图象上运动时，相应的点()在y=g(x)的图象上．(1)求ｇ（x）的表达式;（2)当g（x）—ｆ—１(x)０时,求u(x）=ｇ(ｘ）—ｆ—1（ｘ)的最小值．14.在某产品的制造过程中，次品率p依赖于日产量x，已知其中x为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A元,但每生产出一件次品就要损失元.(1)将该厂的日赢利额Ｔ（元）表达为日产量x(个）的函