山西省长治市第十中学2022年高三数学理月考试题含解析

山西省长治市第十中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，，且，则A．1

B．2

C．3

D．9参考答案：B2.关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.已知是定义在R上的奇函数，且在(－∞,+∞)上是减函数，，则满足的实数x的取值范围是（）A.(－1,1) B.(－2,0) C.(－2,2) D.(0,2)参考答案：C【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（﹣1）的值，结合函数的单调性分析可得，解可得x的取值范围．【详解】根据题意，函数f（x）是R上的奇函数，若f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，则，又由函数在上为减函数，则有，解可得：，即x的取值范围是（-2，2）；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，得出f（﹣1）=2是关键．4.已知圆O：x2+y2=1，点P为直线x﹣2y﹣3=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A．（2，0） B．（3，0） C．（，﹣1） D．（，﹣）参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P的坐标为P（2m+3，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【解答】解：因为P是直线x﹣2y﹣3=0的任一点，所以设P（2m+3，m），因为圆x2+y2=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（m+，），且半径的平方是r2=，所以圆C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m+3）x+my﹣1=0，即m（2x+y）+（3x﹣1）=0，由得x=，y=﹣，所以直线AB恒过定点（，﹣），故选D．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．5.已知向量与向量的夹角为，且，又向量（且，），则的最大值为（

）A．

B．

C．2

D．3参考答案：A考点：向量数量积、二次函数（求最值）．6.已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：其中正确结论的序号是

①>

；②<③>；

④<.A．①② B．①③C．②④ D．②③参考答案：B略7.给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为

（）A．1

B．

C．

D．参考答案：C8.右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：A

本题考查了对三棱柱、四棱柱、圆柱在不同放置情况下的三视图的识别能力，难度中等以上。①存在，只要三棱柱放置时三角形在侧面即可；②存在，四棱柱底面与侧面相同；③存在，圆柱的圆面为侧面即可；三个命题都正确，故选A。

9.甲、乙两个射手的奥运预选赛的6次射击的成绩统计如下图的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，，则（

）A．，

B．，

C.，

D．，参考答案：A因为，，所以，因为，所以，故选A.

10.若，则

(

）A．2

B．4

C．

D．10参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将参数方程（为参数，）化为普通方程，所得方程是_____

_____.参考答案：()

略12.正项数列{an}满足：a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），则a7=．参考答案：考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得数列{}是等差数列，通过求出数列{}的通项公式，求得an，再求a7．解答：解：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得数列{}是等差数列，公差d==3，首项=1，所以=1+3×（n﹣1）=3n﹣2，an=，∴a7=故答案为：点评：本题考查数列递推公式的应用，数列通项求解，考查转化构造、计算能力．13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=?3，S5=?10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．参考答案：0

－10【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得的值，进一步研究数列中正项?负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列中,,得,公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为－10.

14.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为

．参考答案：1考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由于三视图中，正视图与侧视图一样高，正视图与俯视图一样长，俯视图与侧视图一样宽．又由图知，所以俯视图为两直角边长为2，1的三角形，即可求面积．解答： 解：由于侧视图是宽为1，高为3的直角三角形，正视图是长为2，高为3的直角三角形，故三棱锥的底面为直角三角形，且两直角边分别为1，2．故该三棱锥的俯视图的面积为1．故答案为1点评：本题主要考查有三视图求面积，体积．要注意三视图中的等价关系：正视图与侧视图一样高，正视图与俯视图一样长，俯视图与侧视图一样宽．15.定义在R上的函数f(x)满足则f(2013)＝________.参考答案：0略16.如图，边长为l的菱形ABCD中，DAB=60o，，则

。参考答案：17.函数的定义域是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥P-ABC中，，，，，D为线段AC的中点，将折叠至，使得且PC交平面EBD于F.（1）求证：平面⊥平面PAC.（2）求三棱锥的体积.参考答案：(1)证明见解析；(2).分析：（1）由PA⊥AC可计算出PC，从而由勾股定理逆定理得PB⊥BC，再结合BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，从而有PA⊥BC，于是有PA⊥平面ABC，因此PA⊥BD，再计算出AB=BC，从而BD⊥AC，因此得BD⊥平面PAC，从而得证面面垂直；（2）这个体积直接用底面积乘以高再除以3，不太容易，但可间接计算：，这一个三棱锥和一个四棱锥的体积易计算．详解：（1）证明：在三棱锥中，,,

又又（2）由已知，∥点睛：常用求体积的几种方法：（1）分割法一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。（2）补形法多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。（3）等体积法这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，顶点A到面PBC的距离可以很容易就得到(AP⊥面PBC,即AP就是高)，这样四面体A-PBC的体积就很容易就求出来了。显然，四面体P-ABC和四面体A-PBC是同一个立体，因此，求出四面体A-PBC的体积也就是求出四面体P-ABC的体积。

19.如图，、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．

参考答案：（1）略（2）略（3）（1）证明：依题平面

∴∴平面．

（2）证明：中，，∴中，，∴．∴．∴

在平面外

∴平面．（3）解：由（2）知，，且∴到的距离等于到的距离为1．

∴．平面

∴．

略20.设数列{an}是前n项和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求证：数列{an}为等比数列．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求a1?a2；（Ⅱ）根据等比数列的定义即可证明数列{an}为等比数列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴当n=1时，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，当n=2时，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，则a2=2，则a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）证明：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，则an=﹣an﹣1，即=﹣1，即数列{an}为公比q=﹣1的等比数列．【点评】本题主要考查等比数列的证明，利用数列的递推关系是解决本题的关键．21.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，，PD∥QA，.⑴证明：；⑵求二面角的余弦值.参考答案：设是平面PBC的一个法向量，则，即，因此可取………………7分设是平面PBQ的一个法向量，则，即，因此可取，………………9分所以，…………11分因为二面角Q-BP-C为钝二面角故二面角的余弦值为

………………12分22.已知，（其中常数）（1）当时，求函数f(x)的极值；（2）若函数有两个零点，求证：.参考答案：（1）f(x)有极小值，无极大值；（2）证明见解析.【分析】（1）求出a＝e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有0＜a≤e成立．若，则f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证.【详解