山西省长治市洪井中学2021年高三数学理月考试题含解析

山西省长治市洪井中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合P＝{x｜－x－2≤0}，Q＝{x｜≤1}，则（CRP）∩Q等于

A．[2，3]

B．（－∞，－1]∪[3，＋∞）

C．（2，3]

D．（－∞，－1]∪（3，＋∞）参考答案：C2.已知全集为R，集合，，则（

）A．(－∞,2]

B．(－∞,3]

C．(0,2]

D．[2,3]参考答案：C因为，，所以，即．

3.已知实数，满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则A．

B．

C．

D．参考答案：B4.设是等差数列的前项和，若，则＝A.1

B.－1

C.2

D.参考答案：A略5.设全集,，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B，。图中阴影部分为，所以，所以，选B.6.若A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的值可以是（

）A．－2 B．1 C．2 D．3参考答案：A8.设等差数列{an}前n项和为Sn，等差数列{bn}前n项和为Tn，若，则（

）A.528 B.529 C.530 D.531参考答案：D【分析】根据等差数列的性质得到结果即可.【详解】根据等差数列的性质：得到：.故选D.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，即，题目比较基础.9.在梯形中，与相交于点.若则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.如图在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设，则A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如右图,该程序运行后输出的结果为__________.参考答案：1612.已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是

．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，分析函数的最值，对称性，极值，进而可得答案．【解答】解：由→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0，故②正确；当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e﹣|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；故答案为：①②③【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．13.已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X﹣204f（x）1﹣11参考答案：（，）

【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围【解答】解：由导函数的图形知，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1，∴﹣2＜2a+b＜4；又a＞0，b＞0，∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（﹣3，﹣3）连线的斜率的2倍，如图所示；由图知当点为（2，0）时斜率最小，为=；当点为（0，4）时斜率最大，为=；所以的取值范围是（，）．故答案为：（，）．14.（文）某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取80名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为

．参考答案：40015.设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是

．参考答案：16.设x1，x2∈R，函数f（x）满足ex=，若f（x1）+f（x2）=1，则f（x1+x2）最小值是．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由条件求得f（x）的解析式，再由f（x1）+f（x2）=1，可得=++3，运用基本不等式可得≥9，再由函数的单调性，即可得到最小值．【解答】解：由ex=，可得f（x）==1﹣，由f（x1）+f（x2）=1，可得+=，即为=++3，由+≥2，即有≥2+3，解得≥3，即为≥9，当且仅当x1=x2，取得等号，则f（x1+x2）=1﹣≥1﹣=．即有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．17.如图，在三角形中，点是边上一点，且，点是边的中点，过作的垂线，垂足为，若，则

．参考答案：2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，⊥平面SAD，点是的中点，且，.

（1）求四棱锥的体积；（2）求证：∥平面；（3）求直线和平面所成的角的正弦值.

参考答案：解：∵⊥底面,底面,底面∴⊥,⊥

∵,、是平面内的两条相交直线∴侧棱底面

…2分（1）

在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，⊥，，

∴

…4分

（2）取的中点，连接、。

∵点是的中点

∴∥且

∵底面是直角梯形，垂直于和，，

∴∥且

∴∥且∴四边形是平行四边形∴∥

∵，∴∥平面

………………7分

（3）∵侧棱底面，底面∴∵垂直于，、是平面内的两条相交直线∴，垂足是点

∴是在平面内的射影，∴是直线和平面所成的角

∵在中，，

∴∴∴

直线和平面所成的角的正弦值是

………………10分19.（12分）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；参考答案：解：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，……2分∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.……4分（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.……………6分∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∠NFE=∴二面角N-CM-B的余弦值为.………………8分（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.……10分设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h==.即点B到平面CMN的距离为.………12分解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.………………2分则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵·=（-4，0，0）·（0，2，2）=0，……3分∴AC⊥SB.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0)，=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

·n=3x+y=0，

·n=-x+z=0，

则取z=1，则x=，y=-，……6分∴n=(，-，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，)==.………………7分∴二面角N-CM-B的余弦值为.………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d==.……………12略20.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=∣x-a∣，其中a>1.(I)当a=3时，求不等式f(x)≥4-∣x-4∣的解集;(Ⅱ)若函数h(x)=f(2x+a)-2f(x)的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4,求a的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，当时，由得，，解得；当时，，无解；当时，得，，解得．∴的解集为．…………5分（Ⅱ）记，则

所以

，解得.…………10分21.（本小题满分12分）

已知

（1）求函数的单调递增区间；ks5u

（2）若上的最大值与最小值之和为，求实数a的值。参考答案：无略22.（16分）如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1、F2．过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），求点M到直线BF1的距离；（3）过F1M中点的直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得直线BF1的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得PQ的长，即可得到最大值．【解答】解：（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆可得y=±b，由M（，1），即有c=，=1，又a2﹣b2=2，解得a=2，b=，则椭圆方程为+=1；（2）由题意可得B（0，﹣），F1（﹣，0），直线BF1的方程为x+y+=0，则点M到直线BF1的距离为=2+；（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣），代入椭圆方程，可得（2+m2）y2﹣m2y+