山西省长治市上村中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

山西省长治市上村中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，∴A∩B={2，4}，∴A∩B中元素的个数为2．故选：B．2.某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有

()

A．120种

B．48种

C.36种

D．18种参考答案：C3.抛物线的焦点到准线的距离是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）A．（0，） B．（0，4） C．（﹣∞，） D．（，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}∵f'（x）=﹣4=当f'（x）＞0时，0＜x＜故选：A5.设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上答案均有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线为标准抛物线：y2=2px（p＞0），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得：==半径，进而得到答案．【解答】解：不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px（p＞0），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，由抛物线的定义可得：==半径．所以圆心M到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切．故选：B．6.与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点(

)A．有且只有1个

B.有且只有2个

C.有且只有3个

D.有无数个参考答案：D略7.等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15B．30C．31D．64参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故选：A．8.设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式的系数为

（

）

A．-150

B．150

C．-500

D．500参考答案：B9.过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A．2 B．2C．3 D．2参考答案：B略10.与向量共线的单位向量是

（

）

A.

B.和

C.

D.和参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数单调增区间是

;参考答案：(0,e)略12.正方体的各顶点在体积为的球面上，则该正方体的表面积为

参考答案：略13.若随机变量X的分布列为

X01Pm

则D(X)=

．参考答案：

14.已知是复数，且，则的最大值为

参考答案：615.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a=．参考答案：﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得．解答：解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，∴a（a﹣1）﹣2×1=0，解得a=﹣1或a=2，经验证当a=2时，直线重合，a=﹣1符合题意，故答案为：﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题．16.已知数列满足，则数列的前n项和为

。参考答案：略17.已知直线的斜率为3，直线经过点，若直线则______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B，（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值；（3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）参考答案：解：设（1）由条件知直线由消去y，得………1分由题意，判别式由韦达定理，由抛物线的定义，从而所求抛物的方程为………3分（2）设。由（1）易求得则，点C到直线的距离将原点O（0，0）的坐标代入直线的左边，得而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知因此……6分由（1），|AB|=4p。由知当…8分

（3）由（2），易得设。将代入直线PA的方程得同理直线PB的方程为将代入直线PA，PB的方程得19.已知函数y=x3－3x2.（1）求函数的极小值；（2）求函数的递增区间.

参考答案：解：（1）∵y=x3－3x2，∴=3x2－6x，当时，；当时，.

∴当x=2时，函数有极小值-4.

（2）由=3x2-6x>0，解得x<0或x>2，

∴递增区间是，.略20.已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得，若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解:（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.因为，所以，.

设椭圆方程为,

………2分由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以

………4分

………6分又直线与椭圆相切，由解得，所以

…………8分则.所以.又

………10分所以，解得.经检验成立.所以直线的方程为.

略21.（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线y=kx+m（k≠0）交椭圆于不同的两点C、D，且C、D都在以B为圆心的圆上，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用离心率，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．列出方程组求解即可得到椭圆的方程．（2）联立消y整理，设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点是E（x0，y0），利用韦达定理求出，求出BE的方程x0+ky0+k=0，化简推出m=1+2k2，求出m∈（0，1）说明不存在这样的直线，交椭圆于不同的两点，且这两点都在以B为圆心的圆上．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵，c2=a2﹣b2…（1分）原点到直线AB：的距离…（2分）∴…∴所求的椭圆方程：…（2）消y整理得：…（6分）设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点是E（x0，y0），则，…（7分）…（8分）所以x0+ky0+k=0即（1+k2）x0+km+k=0，即，，∴m=1+2k2（∵k≠0，∴m＞1）…（9分）又即m2﹣（1+2k2）＜0，…（