山西省运城市东镇中学2022年高三数学文月考试题含解析

山西省运城市东镇中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(－∞，0)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)”的函数是（

）A．f(x)＝－x＋1

B.f(x)＝2x

C.f(x)＝x2－1

D.f(x)＝ln(－x)参考答案：B略2.双曲线y2﹣=1的焦点坐标是（）A．（0，），（0，﹣） B．（，0），（﹣，0） C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，进而有双曲线的焦点坐标公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为y2﹣=1，其焦点在y轴上，且a=1，b=，则c==2，则其焦点坐标为（0，2）、（0，﹣2）；故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的焦点坐标，注意由双曲线的标准方程分析其焦点位置．3.（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm3参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；作图题．【分析】：由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，．故选B．【点评】：本题考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=。给出下列四个结论：

①CE⊥BD；

②三棱锥E—BCF的体积为定值；

③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；

④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线

其中，正确结论的个数是

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D5.设集合，集合，则(

)A.(0,1) B.[0,1] C. {0,1} D.{－1,0,1,2}参考答案：C6.已知直线l：ax﹣y+2=0与圆M：x2+y2﹣4y+3=0的交点为A、B，点C是圆M上的一动点，设点P（0，﹣1），的最大值为（）A．12 B．10 C．9 D．8参考答案：B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律；J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1，利用=|2+|≤|2|+||，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆M：x2+y2﹣4y+3=0可化为x2+（y﹣2）2=1．=|2+|≤|2|+||=2×3+4=10，故选：B．7.在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为

A．

B．

C．

D．

参考答案：B8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于（）A．54B．45C．36D．27参考答案：A9.已知数列满足，且，则的值是

A．-5

B．

C．5

D．参考答案：A10.在复平面内,复数(其中i是虚数单位)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：A【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置.【详解】由题：复数，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟练掌握几何意义.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是．参考答案：﹣2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求【解答】解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小，z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2和4，M、N分别为AB、CD的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①MN的最大值为5

②弦AB、CD可能相交于点M③MN的最小值为1

④弦AB、CD可能相交于点N其中真命题为．参考答案：②【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故答案为②．13.已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为__________________.参考答案：14.已知函数，则的最小正周期为

；

．参考答案：（1）

（2）2+

15.两个正数a，b的等差中项为2，等比中项为，且a＞b，则双曲线的离心率e等于．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意建立方程，求出a，b，可得c，再根据离心率的定义即可求出．【解答】解：∵两个正数a，b的等差中项为2，等比中项为，且a＞b，∴a+b=4，ab=3，a＞b＞0，∴a=3，b=1，∴c==，∴e===，故答案为：16.若，则__________.参考答案：【知识点】二倍角公式C6sin2x=cos（-2x）=1-2sin2（-x）=【思路点拨】利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（-x）=代入即可得到答案．17.给出下列四个命题:①若直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则的最小值为2;②双曲线的离心率为;③若⊙⊙,则这两圆恰有2条公切线;④若直线与直线互相垂直,则其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)参考答案：2;3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．（1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（2）当AD的长等于多少时？二面角B1-－DC－C1的大小为60°．

参考答案：（1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．∴B1C1⊥CD．

①

…………2分由D为中点可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．……6分（2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥平面CD，交CD或延长线于E，连接EB1．由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1-－DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．……8分由B1C1＝2，知，设AD＝x，则．∵△DCC1的面积为1，∴，解得，即．……12分

19.已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．（2）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．20.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出导函数g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出F′（x），通过讨论a的范围，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），a=1时，令f'（x）＞0?0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递增；令f'（x）＜0?x＜1，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减综上，f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）．（2），令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），g'（x）=lnx+1﹣2ax，令h（x）=g'（x）=lnx+1﹣2ax，则①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）上为增函数，g'（x）≥g'（1）=1﹣2a＞0∴g（x）在[1，+∞）上为增函数，g（x）≥g（1）=0，即g（x）≥0．从而，不符合题意．②若，当时，h'（x）＞0，g'（x）在上单调递增，g'（x）＞g'（1）=1﹣2a＞0，同①，所以不符合题意③当时，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立．∴g'（x）在[1，+∞）递减，g'（x）≤g'（1）=1﹣2a≤0．从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，即．结上所述，a的取值范围是．21.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．参考答案：解：（1）由题意：当时，＝80；当时，设，再由已知得

解得故函数的表达式为（2）依题意并由（1）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，；当时，有最大值5000．综上，当时，在区间上取得最大值5000．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为5000辆/小时．略22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点.（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由.参考答案：（19）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥.

因为平面，平面，

所以∥平面.