山西省朔州市雁杰中学2022年高三数学理期末试题含解析

山西省朔州市雁杰中学2022年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,且在第一象限,点,线段与抛物线交于点,若的斜率为,则A.

B. C.

D.参考答案：A2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，ca,ab,bc成等比数列，且（

）

A．－8

B．4

C．－4

D．8参考答案：答案：D3.设是定义在R上的函数，且导函数为，若，且，则不等式为自然对数的底数）的解集为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.已知tanx=，则sin2（+x）=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．5.已知定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．

【专题】函数的性质及应用．【分析】关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的个数，即函数y=f（x）和y=|x|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），故函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）为定义在实数集R上的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故在[﹣1，2]上，函数y=f（x）和y=|x|的图象如下所示：由图可知：两个函数的图象共有4个交点，故关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上有4个根，故选B．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．6.已知集合（

）A． B． C． D．参考答案：B略7.若，则（

）A．2

B．

C．32

D．

参考答案：D8.现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是

（

）A．20

B．40

C．60

D．80参考答案：B9.（08年全国卷Ⅰ文）的展开式中的系数为（

）A．10

B．5

C．

D．1参考答案：【解析】C本题主要考查了利用待定系数法或生成法求二项式子中指定项。含项为，所以答案为C．10.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是(

)A.

B.21

C.

D.24参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数的图象过定点，则=

.参考答案：2略12.若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=

．参考答案：﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i是纯虚数，∴2a+2=0，4﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．13.（理科）以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，已知直线的极坐标方程为，圆C的参数方程为．直线被圆截得的弦长

参考答案：1614.已知函数,在上有定义．对任意有且．若，则__________参考答案：115.已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的侧面积、体积公式，以及方程思想，属于基础题．16.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为,已知这组数据的平均数为,则其方差为___________.参考答案：217.角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα=．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），∴x=﹣2sin60°=﹣，y=2cos30°=，∴r=|OP|=，则sinα===，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为：与曲线C交于A，B两点.（1）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（2）若成等比数列，求直线l的斜率.参考答案：（1），；（2）或【分析】（1）利用三角函数知识消去参数，得到普通方程.把普通方程利用极坐标公式代入得到极坐标方程.(2)将代入极坐标方程,利用韦达定理得到长度关系式,代入成等比数列的等式,得到三角等式,利用齐次式解得斜率.【详解】解：（1）则(2)当时,,OA,OB对应方程的两个解即成等比数列即代入验证均满足所以答案为【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,极坐标方程的几何意义,利用韦达定理和齐次式方程来解答,题目综合性强,计算要求高,是一道中档难度的题目.19.(本小题满分12分)已知椭圆分别是椭圆的左右焦点，c为半焦距，P为直线x=2上一点．直线PF1，PF2与圆的另外一个交点分别为,MN两点．(I)椭圆上是否存在一点Q，使得?

若存在,求出Q点坐标，若不存在,请说明理由；(II)求证：直线MN恒过一定点．参考答案：20.如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）（Ⅰ）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）证明：A1B∥面ADC1；（Ⅲ）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）（Ⅲ）（理科做）求二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）直接求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC的面积，求出高AA1，即可求出体积；（II）连接A1C，证明A1B平行平面ADC1内的直线DE，即可证明A1B∥平面ADC1．（Ⅲ）（文科做）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面即可；（Ⅲ）（理科做）利用二面角A1﹣DC1﹣A的余弦值为，即可求得二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值．【解答】（I）解：依题意，在正三棱柱中，AD=，AA1=3，从而AB=2，AA1⊥平面ABC，所以正三棱柱的体积V=Sh=×AB×AD×AA1=×2××3=3．（II）证明：连接A1C，设A1C∩AC1=E，连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面，所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，因为DE?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）（文科做）解：AD垂直平面BCC1B1，AD?平面ABC、平面ABC∥平面A1B1C1、AD?平面AC1D所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D；（Ⅲ）（理科做）解：△ADC1中，AD=，DC1=，AC1=，∴==△A1DC1中，DC1=，A1C1=2，A1D=2，∴cos∠A1DC1==∴sin∠A1DC1==∴==∴二面角A1﹣DC1﹣A的余弦值为==∴二面角A1﹣DC1﹣A的正弦值为．【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积公式，线面平行的判断，考查面面角．其中熟练掌握棱柱的几何特征，掌握线面关于的判定定理，是解答本题的关键．21.（本小题满分13分）某人随机地将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完.（I）求编号为奇数的小球放入到编号为奇数的盒子中的概率；（II）当一个小球放到其中一个盒子时，若球的编号与盒子的编号相同时，称该球是“放对”的，否则称该球是“放错”的，求至多有2个球“放对”的概率.参考答案：略22.（本小题满分12分）已知抛物线上点P处的切线方程为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点T，求△ABT面积的最大值．参考答案：（Ⅰ）设点，由得，求导，因为直线的斜率为-1，所以且，解得，所以抛物线的方程为．

………4分[来源:Z-x-x-k.Com](说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）（Ⅱ）设线段中点，则，∴直线的方程为，即，过定点