建筑力学第六章梁的弯曲内力

第6章

梁的弯曲内力1一、弯曲实例工厂厂房的天车大梁火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：阳台的挑梁：2.平面弯曲

工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等

它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面

。具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线纵向对称面平面弯曲二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。

主要产生弯曲变形的杆---梁。三、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。纵向对称面MF1F2q平面弯曲静定梁的分类（三种基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L称为梁的跨长）§3-1梁的弯矩和剪力§3-2作内力图第3章梁的弯曲内力§3-3斜梁梁的弯矩和剪力2、支座反力单跨静定梁的支座反力都只有三个，可取全梁为隔离体，由平面一般力系的三个平衡方程求出。ABFFAYFAXFBYmmxFsMMFs1.弯矩：M

构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。AFAYCFBYFC2.剪力：Fs

构件受弯时，横截面上存在切于截面的内力（剪力）。3、3个内力分量的规定轴力FN：截面上应力沿杆轴切线方向的合力剪力FS：截面上应力沿杆轴法线方向的合力弯矩M：截面上应力对截面形心的力矩1、内力成对出现：作用力与反作用力；2、内力正负号统一说明N+dNNQ+dQQMM+dMdxdxdxMMMMFNFNFNFNFQFQFQFQ二、弯曲内力的符号规定:

①剪力Fs

:

②弯矩M：

Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正

FFFQFQFFFQFQ外力使脱离体产生逆时针转动趋势时为负剪力：2、剪力和弯矩的正负号规定7.2梁的内力计算

外力使脱离体产生下凹变形为正，或使脱离体产生下部受拉时为正

弯矩：外力使脱离体产生上凸变形为负,或使脱离体产生上部受拉为负MM7.2梁的内力计算

4、截面法、隔离体、平衡方程

截面法：将指定截面假想截开，切开后截面的内力暴露为外力，取任一局部作为隔离体，作隔离体受力图（荷载、反力、内力组成平面一般力系或平面汇交力系），由隔离体的平衡条件可以确定所求截面的三个内力。∑X=0∑Y=0∑M=04、截面法、隔离体、平衡方程隔离体受力图：(1)隔离体与其周围约束要全部截断，而以相应的约束力代替(2)截开截面处，用对应的内力代替（未知力：先假设为正方向，代入平衡方程，求出正值，说明方向假设正确，求出负值，说明实际方向和假设相反）(3)已知外荷载（已知力：大小方向作用点）(4)隔离体是应用平衡条件进行分析的对象。在受力图中只画隔离体本身所受到的力，不画隔离体施给周围的力(5）“三清”：截面左右分清、外力清楚、正负号清楚力系平衡方程(1)三种形式(2)平衡方程：同方向同符号(3)平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统∑X=0∑Y=0∑M=0[例]已知：如图，F，a，l。

求：距A端x处截面上内力。FAYFAXFBYFABFalAB解：①求外力（支座反力）ABFFAYFAXFBYmmx②求内力FsMMFs∴

弯曲构件内力：－剪力，－弯矩。FAYACFBYFC研究对象：m-m

截面的左段：若研究对象取m-m

截面的右段：[例]：求1--1、2--2截面处的内力。qLM1解qqLab11221--1截面2--2截面qLM2x2[例]：求图所示梁1--1、2--2截面处的内力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：（1）确定支座反力（2）求内力1--1截面取左侧考虑：2--2截面取右侧考虑：1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122[例]：梁1-1、2-2截面处的内力。解：（1）确定支座反力RARB(2)1-1截面左段右侧截面：2-2截面右段左侧截面：RA5、

内力图定义：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。内力方程式：内力与x（表示横截面位置的变量）之间的函数表达式。几点注意：

（1）弯矩图画在受拉边、不标明正负，轴力图剪力图画在任一边，标明正负。（2）内力图名称、单位、控制竖标大小（3）大小长度按比例、直线要直、曲线光滑BAqlql2

8M图（KN.m）§3-2列方程作内力图剪力方程弯矩方程

反映梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式

显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。(-)

注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。lqAB画剪力图和弯矩图的步骤：1、利用静力方程确定支座反力。2、根据载荷p分段列出剪力方程、弯矩方程。3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。4、确定最大的剪力值、弯矩值。

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。F(x)xF解：①求支反力②写出内力方程③根据方程画内力图[例]列出梁内力方程并画出内力图。FABFAYMAxM(x)-FL

注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。例图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql28l/2M3、作剪力图和弯矩图BlAq*载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称*剪力为零的截面弯矩有极值。ql

2FS

例

图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出BFBFAxlAFabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAFabC3、作剪力图和弯矩图FS

FblxFblMxFablBFBFAxlAFabC*在集中力F作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折例图示简支梁在C点受矩为Me

的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：弯矩方程——两段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力图和弯矩图b>a时发生在C截面右侧FslxMelMxMealMeb*集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab3简易法作内力图1、分布荷载作用下由(以右边截面形心为力矩中心)结论：①若p(x)=0,N=const(水平线)；若p(x)=const(均匀)，N图为斜直线；②若q(x)=0，Q＝const(水平线)，M=斜直线；若q(x)=const(均布)，Q=斜直线，M＝二次抛物线；③当q(x)(荷载向下)，则M图曲线向下凸。Q图M图Q图M图M图2、集中荷载作用处N+dNNQ+dQQMM+dMdxdxMeN+dNNQ+dQQMM+dMdxdxPyPx结论：①集中Px作用，N图发生突变②集中Py作用，Q图发生突变，导致M图斜率改变，出现尖点；且尖角的朝向与荷载的方向相同。③集中力偶Me作用，M图发生突变，N、Q图无变化N+dNNQ+dQQMM+dMdxdxPyPxMePPmm平行铰处，M=0，过铰心的斜直线，Q图无变化M=0？水平线抛物线有极值为零处有尖角(向下）

有突变(突变值=

F)有极值如变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(F向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线小结斜直线⊕⊖㊀q↓q↑⌒⌒↓↑内力图形状特征1.无何载区段2.均布荷载区段3.集中力作用处平行轴线斜直线Q=0区段M图平行于轴线Q图M图备注↓↓↓↓↓↓二次抛物线凸向即q指向Q=0处，M达到极值发生突变P＋－出现尖点集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化

发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义＋－5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。Q<0

增函数降函数尖端与P同向FP

aFPlabABABlqql2

2应熟记常用单跨梁的弯矩图BAFlabFablBAqlql2

8mBAablml

alm

blmml1

叠加原理：

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满

足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。用叠加法作弯矩图注意：材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理

★2叠加法作弯矩图的步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。例7.10按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=

+

AAABBBxM2

xM1

xM

+++=

+

示例:同号：对应纵坐标代数值相加，而非内力图简单合并示例:异号：叠加后图形重叠部分表示两个纵坐标值互相抵消，不重叠部分为所求弯矩图。基线改成水平基线FPq2m1m1122AB1kN/m2kNABCD1m1m2mFAYFBYM=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFBy

FAy

M=

6kN·m

2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN

44FBy

FAy

FSAFSBFAFB三、分段叠加法作弯矩图

（sectionsuperposition

method）两者内力相同？四、归纳内力图作图步骤1、求反力2、分段：选定外力的不连续点为控制截面(控制截面：如支承点、集中荷载作用点、集中力偶作用点左右截面、分布荷载的起点及终点等)3、定点：求控制截面的内力值（采用截面法）；4、联线：内力图与荷载的微分关系+区段叠加法5、校核内力图6、FN、FS图也可以通过M图由杆件平衡作出FPq2m1m1122AB1kN/m2kNABCD1m1m2mFAYFBYM=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFBy

FAy

M=

6kN·m

2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN

44FBy

FAy

作图示梁的弯矩图和剪力图FA=58kNFB=12kN164618201826MEqMFFQFFQE10单位:kNm.FQ

图(kN

)五、例题↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓8kN4kN/mABCGEDF16kN.m1m2m2m1m1779－＋Q图（kN）16726430237828HRA=17kNRB=7kN4↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓888M图（kN.m）RA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kNRA=17kNRB=7kN1m1m力偶不影响剪力1m1m4m1m1m2m不可简称K截面剪力斜率相等剪力等于零处弯矩为极值点相切x=17/846.062529171510Q图(kN)181128321720M图(kN·m)25kN29kN10kN12kN22kN.m18kN.m8kN/mK1m1m2m2m4m40kN160kN80kN.m40kN/m斜率相等不相Q图(kN)340130210280160M图(kN·m)310kN130kN1、求支反力：VA=18KNVB=6KN2、求控制截面的内力3、联线4、求最大弯矩值§6-5多跨静定梁(multi-spanstaticallydeterminatebeam)

关键在正确区分基本部分和附属部分熟练掌握截面法求控制截面弯矩熟练掌握区段叠加法作单跨梁内力图多跨静定梁实例基、附关系层叠图多跨静定梁简图

附属部分--依赖基本部分的存在才维持几何不变的部分。

基本部分--不依赖其它部分而能独立地维持其几何不变性的部分。二、常用形式无铰跨和两铰跨交替出现悬挂式除第一跨外