【2021】高中数学《1.2.2 组合》公开课优质教学设计教案

精品资源：名师优品店铺1．2．2合课要：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数合数公式进行计算。

与组合C之间的联系，掌握组合数公式，能运用组n情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。教重：合的概念和组合数公式教难：合的概念和组合数公式授类：授课课安：课教

具多媒体、实物投影仪内分：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同法的问题.排列与组合的区别在于问是否与顺序有与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔观察，有些同学之所学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程则更能说精品资源：名师优品店铺

．．．．．．．．．．．精品资源：名师优品店铺．．．．．．．．．．．明问题久久之，学生的逻辑思维能力将会大大提.教过：一复引：1分类法计数原理：做一件事情，完成它可以有类办，在第一类办法中有

1

种不同的方法，在第二类办法中有种同的方法，……，在第n办法中有种同的方那完成这件事共有2Nm种不同的方法1n2.分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个骤，做第一步有

种不同的方法，做第二步有种同的方法，……，做第有种同的方法，那么完成这件事有2

N12

n种不同的方法3．排列的概念：从n个同元素中，任取m（m）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序成一列，叫做从n个同素中取出m个素的一个排列4．排列数的定义：从n不同元素中，任取（个元素的所有排列的个数叫做从n元素中取出m元素的排列数，用符号m表5．排列数公式：

mn

n(n2)(

（

m,nN

,

）6阶：n!表示正整数1到n连乘积，叫做n的乘规0!．7．排列数的另一个计算公式：

A

=

n!()!8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙名学选出去参加某天的一项活动，其中1名同参加上午的活动1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名学选出2名去加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中但要求选出2名学，而且还要按照一定的顺序“排列例2只要选出2名同学，是与顺序无关的引出题：组合．二讲新：1组的概念般地个同元素中取出

个元素并成一组做从个同元素中取出

个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例．判断下列问题是组合还是排列精品资源：名师优品店铺

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．m（1）在北京、上海、广州三个航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个进行篮球单环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人选出3人别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共少个电话？问题）1、2和3、1、2相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相的组合2．组合数的概念：从个同元素中取出

个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数用符号C表示．3．组合数公式的推导：（1）从4个不元素

a,c,d

中取出3个素的组合数

C

是多少呢？启发：由于排列先组合再排，而从个同元素中取出3个素的排列数可以考察一下C3和3的系，如下：组合排列

3

可以求得，故我们abcabdacdbcd

abc,abdbad,acdbcdcbd

cab,dabdac,dbc,

acbbca,adbbdaadc,cdabdc由此可知每一个组合都对应着6个不同的排列个不同元素中取出3个素的排列数

3

，可以分如下两步：①考从个同元素中取出个素的组合，共有

C

个；②对每个组合的3个不同元素进行全排列，各有

A3

种方法．由分步计数原理得：

3

＝

334

，所以，

C

33

．（2）推广：一般地，求从n个同元素中取出个素的排列数①先从个同元素中取出m个元素的组合C；

A

，可以分如下两步：②求一个组合中m个元全排列数，根据分步计数原理得：A＝Cn（3）组合数的公式：

．精品资源：名师优品店铺

精品资源：名师优品店铺Amn(nn(nCmAmm!或

mn

n!m!(n)!

n

n)规定:

.三讲范：例．用计算器计算

．解：由计算器可得例．计算C；）7；10（1）解：

C7

74!

＝35（2）解法：

C10

7!

＝120．解法：

C10

10!7!3!3!

＝120．例．证：

Cmn

n

mn

．证明：∵

mn

n!m!(n)!mn

n

mn!n(m1)!(n＝＝

mn!((n1)!n!!(n)!∴

Cmn

n

mn例．

N求C

xx

xx

的值解：由题意可得：

2xx2x

，解得

24

，∵

xN

，∴

2

或

或

4

，精品资源：名师优品店铺

精品资源：名师优品店铺当x2时式值为7；当x时式为7当4原式值为11∴所求值为4或7或11．例．一教练的足球队共有17名级学员们以前没一人参加过比赛照球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问：(l)位教练从这17名员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分：对于1)，根据题意17名学没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个同素中选出11个素的组合问题；对于（2守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上方案有C｝＝12376（种）(2）教练员可以分两步完成这件情：第1步，从17名学中选出n人组成上场小组，共有

种选法；第2步，从选出的人中出1名门员，共有

种选法．所以教练员做这件事情的方法数有

=136136（种）例）平面内有10个点，以其中每2个为端点的线段共有多少条？(2）平面内有个点以其中个点为端点的有向线段共有多少条？解(1以平面内10个点中每2个点端点的线段的条数，是从10个不同的元素中取出2个素的组合数，即线段共有

210

1

45

（条）(2）由于有向线段的两个端点中个是起点、另一个是终点，以平面内0个中每2个为端点的有向线段的条数，就是从10个同元素中取出2个元的排列数，即有向线段共有A

10

（条）例．件产中，有98件格品，件次．从这100产品中任意抽出3件.(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的3件中好有1件次品的抽法有多少种？(3）抽出的3件中少有1件次品的抽法有多少种？解(1所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

3100

1001

=161700（）精品资源：名师优品店铺

221+C+221+C+(2从2件品中抽出1件品的抽法有种98件合格品中出件合品的抽法有C98种，因此抽出的3件恰好有1件品的抽法有2

=9506(.(3解1从100件品抽出的件中至少有1件次品包括有1件品和有件品两种情况题已求得其中1件次品的抽法有

98

种此据分类加法计数原理的

3件中至少有一件是次品的抽法有+2

=9604（种）.解2抽出的3件品中至少有1件次品的抽法的种数是件中抽出3件抽法种数减去件都是合格品的抽法的种数，即

=161700-152096=9604（）说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变：按下列条件，从12人中出5人，多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选（2甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人选；（6甲、乙、丙三人至少1人当选；例（1）6本不的书分给甲、乙、丙3同，每人各得本有多少种不同的分法？解：

．（2）男生和4个女中选出4名学参一次会议，要求至少有名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2类：第一类2名男和2名生参加，有

25

24

中选法；第二类3名男和1名生参加，有

40

中选法依据分类计数原理，共有种法错解：

2C46

种选法引学生用直接法检验，知重复的很多例10．名生和6名女生组成至少1个生参加的三人社会实践活动小组法共有多少种？解法一法小组构成有种情形32男1女1女分别有C3

，

，所以，一共有

C

21

＝100种法．精品资源：名师优品店铺

．．．．m精品资源：名师优品店铺．．．．m解法二接）

100组合数的性质1：

C

．一般地，从n个同元素中取出个素后，剩下n个素．因为从n个同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对，以从n个同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个素中取出m个元的组合数，即：

C

．在这里，主要体现法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵C

!n!(n)]!m!(n)!又

n!m)!

，∴

C

mn说明：①规定：

；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当

时，计算C可为计算，能够使运算简.n例如C2001＝C20012002

＝C

=2002；④

xyxy

或

x

．2．组合数的性质2：

＝Cm+C

．一般地，从

a,a1

n

这+1个同元素中取出m个元素的组合数是

，这些组合可以分为两类：一类含有元素

1

，一类不含有

1

．含有

1

的组合是从

a,,,2

n

这个素中取出m个元素与

1

组成的，共有

个；不含有

1

的组合是从

aa,2

n

这n个元素中取出个元组成的，共有个根据分计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想与含其元素”的分思想．证明：

n!n!m!!()!(mnm1)]!m!(m1)!

()n!(!(n1)!

∴

＝Cm+Cn

．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算精品资源：名师优品店铺

xxx精品资源：名师优品店铺xxx例11．一个口袋内装有大小不同的个白和个黑球，（1）从口袋内取出3个，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个，使其中含有1个球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个，使其中不含黑球，有多少种取法？解）

,或C

C

21

）

．例12）计算：

C

C

；（2）求证：

＝n+Cn+Cnmmm

．解）原式

C462108891010

；证明）边

nm

nm

)C

nm

nm

)

n

n

C

n

左边例13．解方程

）解方程：

xx

xx

110

x

．解）由原方程得

x或x，∴x4或x，又由x得且x，∴原方程的解为4或xN上述求解过程中的不等式组可以不,接把

x4

和

x

代入检验这样运算量小得多.（2）原方程可化为

xx

1，C1010

，∴

((x3)!5!(x2)!10

，∴

1120(x2)!10x

，∴

x

，得x4x

，经检验：4是方的解例14．证明：

npmmm

。证：式左端可看成一个班有

m

个同学，从中选出

n

个同学组成兴趣小组，在选出的

n

个同学中，

个同学参加数学兴趣小组余下

个同学参加物理兴趣小组的选法数式右端可看成直接在

个同学中选出

个同学参加数学兴趣小组，在余下的

m

个同学中选出

个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左=边，等式成立。例15．证明：

…

C

m

（其中

证：某班有个同学、女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为m类男精品资源：名师优品店铺

精品资源：名师优品店铺同学个个m个女同学分别为m个m个个有法数为

…

。又由组合定义知选法数为

m

，故等式成立。例16．证明：

12n

…

n

。证：边

C

C

=

C

，其中

iin

可表示先在元素里选i个再从i元素里选一个的组合数。设某班有n个学，选出若干人（至少1人组兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i

分类（

i

，n

则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，n种法，再决定剩下的人否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有

种，所以选法总数为

n

n

种。显然，两种选法是一致的，故左右边，等式成立。例17．证明：

122

…

1)2

。证：于

iiCC1Ciiin

可表示先在

n

个元素里选

i

个，再从

i

个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有

n

n

种选法组和副组长不是同一个有

n(n

n

种选法共

2

+

n(n

n

(n

种选法。显然，两种选法是一致的，故左=右，等式成立。例18第17届界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有2支球队有幸参加，他们先分成8个组循环赛，决出16强每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将行多少场比赛？答案是：

8264

，这题如果作为习题课应如何分析解：可分为如下几类比赛：⑴小组循环赛：每组有6场，个组共有48场⑵八分之一淘汰赛8个组的第一、二名组成16强，据抽签规则，每两个队比赛一场，可以出8强，共有8场⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则8中每两个队比赛一场，可以决出4强共有4场⑷半决赛：根据抽签规则4强每两个队比赛一场，可以决出2强共有2场⑸决赛：强比1场定冠亚，中的另两队比赛1决出第三、四名共2场精品资源：名师优品店铺

精品资源：名师优品店铺综上，共有64四课练：

场1．判断下列问题哪个是排列问，哪个是组合问题：（1从4个景点中选出2个排游览，有多少种不同的方法？（2从4个景点中选出2个并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．

名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A

．

B

．

．7

D．63．如果把两条异面直线看作“对五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）A

．

对

B

．

25

对

．

30

对

D

．

20

对4．设全集

U

A

、

B

是

的子集，若

A

有

3

个元素，

B

有

个元素，且

求集合A、，本题的解的个数为（）A．

B．21

．7

D．35．从

位候选人中选出

2

人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法6．从

位同学中选出

2

人去参加座谈会，有种同的选法7．圆上有10个点：（1过每2个画一条弦，一共可画

条弦；（2过每3个画一个圆内接三角形，一共可画

个圆内接三角形8）五边形有

条对角线）

五边形有

条对角线9．计算）

15

）

36

48

．10．

,B,C,5

个足球队进行单循环比赛比赛多少场若队的得分互不相同则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个，其中任何4点不面过每3个作一个平面，一共可作多少个平面？）以每4个为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从

,bcde这5个素中每次取出个所有不同的组合答案：（1组合（2）排列

B3.A4.D

306.15（1）45（2120

）5（2）

(/2精品资源：名师优品店铺

精品资源：名师优品店铺⑴455；⑵

27

10.⑴10⑵2011.⑴