人教B版必修第一册1.1.1集合及其表示方法学案

第一章集合与常用逻辑用语集合集合及其表示方法•素养导引.在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程.（数学抽象、直观想象）.能从教材中学会集合中元素的确定性、互异性、无序性及其应用，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题.（逻辑推理）.能从教材中理解空集、区间的概念，学会集合的两种表示方法.（数学抽象、数学运算）一、集合与元素.集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,这些对象组成一个集合（简称为集）..兀素:组成集合的每个对象..表示方法：集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示,集合的元素通常用英文小写字母。，8，c,…表示..集合与元素的关系：关系Md-不属于语言描述。是集合A的元素a不xe集口A的儿系记作读作。属于A。不属于A5.空集：不含任何元素的集合称为空集,记作。.【批注】不要把0与空集混淆.6.集合的元素具有的特点：确定性集合的兀素必须是确定的当。，人为正数，C为负数时，X=-1；当"C为正数，。为负数时，/=-1；当。为正数，b,c为负数时，工二1；当〃为正数，。/为负数时，尸-1;当。为正数，。"为负数时，k1;当a,b,C全为负数时，x=1.故x的所有可能取值构成的集合为{-1,1,3,-3}.答案：［-1,1,3,-31关闭Word文档返回原板块互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的无序性集合中的兀素可以任意排列.集合相等：给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,则称这两个集合相等，记作A=B..集合分类：有限集：含有有限个元素的集合,无限集：含有无限仝元素的集合.［诊断］辨析记忆(对的打“让，错的打“x”).⑴在一个集合中可以找到两个相同的元素.(x)提示：集合中的元素是互不相同的.⑵好听的歌能组成一个集合.(x)提示：好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合.(3)北京冬奥会中所有的比赛项目构成一个集合.(力提示：北京冬奥会中所有的比赛项目是确定的，所以能构成集合.(4)把1,2,3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成集合有6个.(x)提示：因为集合中的元素满足无序性，故由1,2,3三个元素只能组成一个集合.二、常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N+ZQR［诊断］给出下列关系：①生R；②；③I-3|住N；@|-V3|EQ；⑤()4N.其中正确的个数为()B.2C.3D.4【解析】选B.；是实数；也是无理数；|-3|二3是自然数"-小二小是无理数；0是自然数.故①②正确，③④⑤不正确.三、集合的表示方法.列举法：把集合中的元素=2®出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内.【批注】大括号代表所有、全部等含义..描述法：⑴特征性质：属于集合A的任意一个元素/都具有性质血,而不属于集合A的元素都不具有这个性质.⑵描述法：用特征性质表示集合的方法，即3p（©}..区间及其表示⑴一般区间的表示.设。，,且a<h,规定如下：定义名称符号数轴表示{x10次助}闭区间EbiTi{x[a<x<b}开区间但出于石半开半{x\a<x<b}Eb）闭区间半开半{x\a<x<b]（。力1闭区间⑵特殊区间的表示:{x|x{x|x{x|x{x|x定义R>0}>0}<0}<0}符号18,9，（。，（・8,（-8,+oo）+8）+8）a]a）【批注】1.用数轴表示区间时要特别注意端点是实心点还是空心点；2.无穷大是一个符号，不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则，出现此符号的一端时，该端必须是小括号.[诊断].下列说法：①集合｛xWZM-｝用列举法表示为｛-1,0,1｝;②实数集可以表示为为所有实数｝或｛R｝；[x+y=3③方程组J'的解集为｛x=1,y=2｝.其中正确的有（）[x-y=-1A.3个B.2个C.1个D.0个【解析】选C.因为/二犬的解为-1,0,1,所以集合用列举法表示为｛-1,0,1｝,故①正确；实数集可以表示为“仅为实fx+y=3数｝或R,故②错误；方程组1'的解集为｛（1,2）｝,集合｛x[x-y=-1=1,），=2｝中的元素是,尸2,故③错误..（教材P8例2改编）用区间表示不等式组太2X<1的所有解组成的集合A为.【解析】因为/2凶，所以卜<；,1n所以4二[12/答案:L学习任务一集合的概念与元素的特性（数学抽象）1.（多选题）下列对象能构成集合的是（）A.全国所有的优秀医护人员B.所有不全等的钝角三角形c.2021年中国国家最高科学技术奖得主D.大于等于0的整数【解析】选BCD.由集合中元素的确定性知，A中的“优秀医护人员”不确定，所以不能构成集合.2.⑴已知集合2含有两个元素a和4,若1日,则实数a的值为(2)已知集合A含有两个元素a和次，若2£A,则实数a的值为⑶已知集合A含有两个元素。和次则实数。的取值范围为.【解析】⑴若1£4,则1或层二1,即。=±1.当。=1时，集合A有重复元素，不符合集合中元素的互异性，所以存1；当〃二-1时，集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性，所以。=-1.答案：-1(2)若2EA,贝!]〃=2或〃2二2,即。二2或。二小或a--啦.答案：2或也或・^2⑶若A中有两个元素〃和a2,则由a^a2解得好0且在1.答案:存0且a,1.一组对象能构成集合的两个条件⑴能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的兀素.(2)任何两个对象都是不同的..根据集合中元素的特点求值的三个步骤学习任务二元素与集合的关系(数学抽象)【典例】1.由不超过5的实数组成集合A,a他+小,则()A.a^AB.cr^AC.&AD.〃+期【解析】选A.a二也+小〈小+木=4<5,所以aE^A.a+1<木+木+1=5,所以ci+1£A,cr-（近尸+2碑x小+（小>=5+2册>5,、，11小-也。也+S（^2+73）（V3-V2）"Y所以:日..集合A中的兀素x满足6£N,xGN,则集合A中的兀素为-%【解析】由,x£N知xK）,-^->0，且对3,3-x3-x故gx<3.又x£N,故工=0,1,2.当尸0时,-^-=2FN,3-0当x=1时，-^―=3EN,3-1当x=2时，-=6GN.3-2故集合A中的元素为0,1,2.答案：0,1,2【思路导引】L判断。，。2,5，。+1与5的大小关系.2.先确定x的取值，再验证.判断元素与集合关系的常用方法⑴直接法：如果集合中的元素是直接给出（前提），首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可（判断方法）.⑵推理法：对于一些没有直接表示的集合（前提），首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可（判断方法）.⑶配凑法：针对有些从表面上难以判断元素和集合关系的问题（前提），可将元素进行适当的配凑（如化简、配方、拆项、因式分解等）,变形后再判断（判断方法）.已知集合A含有1,a-2,〃一〃-1三个元素，若-1£A,则实数。的值为（）A.1B.1或（）C.0D.-1或0【解析】选C.因为-1£A,若a-2=-1,即,则。-2二-1,屋-a-1=-1,不符合集合元素的互异性，舍去；若标-〃-1二-1,即。=1（舍去）或。=0,则集合A中的元素为1,-2,-1,满足题意,故。=0.【补偿训练】已知已知已知，集合a是由形如/%+/〃（〃?，〃ez）的数组成的集合,则。与A之间是什么关系？已知【解析】因为=2+V3=2+V3xlzH2JGZ，所以2+【解析】因为,则aWA.学习任务三集合的表示方法（数学抽象）角度1集合本质的识别【典例】用列举法表示下列集合.(l)A={y\y=-r+6,xGN,yGN}；(2)8={(x,y)|y=-x2+6,xFN,y£N}.【解析】⑴因为-5+6$6,且足N,)，£N,所以x=0,l,2时，y=6,5,2,所以A二{2,5,6}.(2)(x,y)满足条件产・x2+6,xGN,yWN,)%=(),x-\,\x=2,V1)，=6,[y=5,[y=2,所以8={(0,6),(1,5),(2,2)}.对用描述法表示的集合分不清其代表元素.如(1)中集合A的代表元素是自然数y,且是函数>二-r+6,x£N的函数值，而不是x的值.(2)中集合B的代表元素是有序数对，且是二次函数)，=-5+6上满足x£N,yGN的点，应写成点集.角度2集合的表示【典例】用适当的方法表示下列集合：⑴不大于1()的非负偶数组成的集合；⑵一次函数产2x+1与y轴的交点所组成的集合；⑶被3除余1的正整数的集合；⑷平面直角坐标系中第一象限的点的集合.【解析】(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是指大于或等于0,所以不大于10的非负偶数组成的集合是{0,2,4,6,8,10}.⑵将尸0代入y=2x+1,得产1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.⑶根据被除数=商X除数+余数，可知此集合表示为3工=3/2+1z；?eN}.⑷第一象限内点的横、纵坐标均大于零，故止缥合可表示为{(X,训工>0,y>0}..用列举法表示集合的三个步骤⑴求出集合的元素；⑵把元素一一列举出来，目相同元素只能列举一次；⑶用大括号括起来..描述法表示集合的两个步骤用适当的方法表示下列集合：⑴已知集合P-{x|x=2〃，0</t<2且〃£N}；⑵二次函数,y=/-2x与%轴的公共点的集合.【解析】⑴列举法：P={0,2,4};⑵描述法：{(x,y)|；二：-2：或列举法:{(0,0),(2,0)}.【补偿训练】1.设集合A二卜六£Z，x£n1,用列举法表示为A=.【解析】因为广―WZ,xGN,所以4-x44-x=1时，=4GZ,x=3GN；4-x447=4时，=1GZ,x=0GN；4-x44-x=2时，=2GZ,x=2GN；4-x44-x=-1时，=-4GZ,