第5讲 系统的数学模型2

《控制工程基础》

BasisofControlEngineering

任课教师：李建民 电话 教学方式：讲授为主

学习方式：听课+自学三江学院机械工程学院第二章系统的数学模型

教学要求：（教材第二章）主要内容：Laplace变换；微分方程模型；系统模型的线性化；传递函数模型、框图和信号流图模型及其化简。基本要求：掌握控制模型建立、线性化、化简方法。三江学院机械工程学院第五次课授课内容：1）信号流图模型2）Mason公式化简3）微分方程与框图模型流图模型关系4）本章总结三江学院机械工程学院2.1引言控制是使被控对象按照我们预定方式工作控制目的：y(t)r(t)控制器被控

对象预期输出r(t)实际输出y(t)比较器测量

装置误差

e(t)控制量

u(t)被测变量测量值控制要求：快、准、稳三江学院机械工程学院2.1引言线性系统输入R(s)输出Y(s)微分方程传递函数Laplace变换输入r(t)输出y(t)三江学院机械工程学院2.6框图模型及其化简综合练习：例4：求传递函数Y(s)/R(s)G1G2G3HR(s)Y(s)三种典型结构、信号的前移后移、比较点的前移后移、多输入法则应用等等技巧三江学院机械工程学院1.框图模型与信号流图模型的区别与联系2.7信号流图模型及其化简G(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)G(s)节点支路Y(s)=G(s)R(s)G(s)支路的增益三江学院机械工程学院1.框图模型与信号流图模型的区别与联系2.7信号流图模型及其化简R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)++++R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)框图模型和信号流图模型本质上是一样的，都是描述信号间的代数关系。只是采用了不同形式三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)++++R1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)G11(s)G21(s)G22(s)G12(s)三江学院机械工程学院

2.通路是指从一个信号节点到另一个信号节点的一条或多条相连支路构成的路径。2.7信号流图模型及其化简a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3三江学院机械工程学院

2.通路用其增益表示，通路增益为其包含的支路增益的乘积。例如：2.7信号流图模型及其化简r1到x1通路P1为：r1到x2通路P2为：r2到x1通路P3为：r2到x2通路P4为：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简

3.回路则是指起始节点和终止节点为同一节点，且不与其它节点相交次数多于1次的封闭通路。

a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3三江学院机械工程学院

3.回路用其增益表示，回路增益为其包含的支路增益的乘积。例如：2.7信号流图模型及其化简x1x1回路L1:x1x2x1回路L2为：x2x2回路L3为：其中回路L1和L3互不接触三江学院机械工程学院

4接触性是在信号流图化简中非常重要的概念。2.7信号流图模型及其化简回路L1和L3互不接触a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3通路P1和L3不接触通路P4和L1不接触三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系a11r1r211a22a21a12x2x1L1L2L3框图模型、信号流图模型化简过程本质上是矩阵求逆过程。三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系框图模型、信号流图模型化简过程本质上是矩阵求逆过程。三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系分母只跟回路增益有关：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系分母只跟回路增益有关：=1-(所有不同回路的增益之和) +（所有两两互不接触的回路增益乘积之和） -（所有3个互不接触的回路增益乘积之和） +…称为流图特征式三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系r1到x1的传递函数：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系r1到x1的传递函数：1：通路P1在中的余因子，是特征式中除去所有与通路P1相接触的回路增益项后剩下的余因式1：特征余因子三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系r1到x2的传递函数：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简5.信号流图的本质：信号间的代数关系r1到x2的传递函数：2：通路P2在中的余因子，是特征式中除去所有与通路P2相接触的回路增益项后剩下的余因式2：特征余因子三江学院机械工程学院6.Mason信号流图增益公式：2.7信号流图模型及其化简Pk：输入变量到输出变量第k条前向通路增益：流图的特征式k：特征余因子，通路Pk在中的余因子，是特征式中除去所有与通路Pk相接触的回路增益项后剩下的余因式三江学院机械工程学院6.流图的特征式定义为：2.7信号流图模型及其化简=1-(所有不同回路增益之和) +(所有两两互不接触回路增益乘积之和) -(所有3个互不接触回路增益乘积之和) +…其中Lq为第q条回路增益。三江学院机械工程学院应用Mason公式求取传递函数Y(s)/R(s)步骤：步骤1：列写出输入R(s)到输出Y(s)的所有前向通路步骤2：列写信号流图的所有回路步骤3：判断所有回路的接触性，利用流图的特征式公式计算流图的特征式步骤4：判断前向通路与所有回路的接触性，计算所有前向通路的特征余因子步骤5：利用Mason公式计算输入R(s)到输出Y(s)的传递函数

2.7信号流图模型及其化简三江学院机械工程学院例1：负反馈控制系统2.7信号流图模型及其化简输入R(s)G(s)+-H(s)输出Y(s)偏差E(s)三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简R(s)E(s)Y(s)G(s)-H(s)1(1)前向通路1条：P1=G(s)(2)回路1条：L=-G(s)H(s)(3)流图特征式为：=1-L=1+G(s)H(s)(4)P1和L接触，特征余子式为：(5)传递函数为：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简例2求传递函数Y(s)/R(s)+-2输出Y(s)1-输入R(s)R(s)E(s)Y(s)1/s-211/s-1sY(s)三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简R(s)E(s)Y(s)1/s-211/s-1sY(s)(1)前向通路1条：P1=1/s2(2)回路2条：L1=-2/s,L2=-1/s2,互相接触(3)流图特征式为：=1-L1-L2=1+2/s+1/s2(4)P1和L1、L2接触，特征余子式为：(5)传递函数为：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简例3：求Y(s)/R(s)R(s)G1-G2++G3G4H1H2Y(s)+三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简R(s)G1-G2++G3G4H1H2Y(s)+R(s)Y(s)G2G1G3-H2G4H1三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简R(s)G1-G2++G3G4H1H2Y(s)+(1)前向通路1条：(2)回路2条：互相接触(3)流图特征式为：(4)P1和L1、L2接触，特征余子式为：(5)传递函数为：三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简例4：求传递函数Y(s)/R(s)G1G2G3HR(s)Y(s)三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简R(s)E(s)Y(s)G11G2-HsY(s)G3三江学院机械工程学院2.7信号流图模型及其化简(1)前向通路2条：(2)回路1条：(3)流图特征式为：(4)P1和L接触，特征余子式为：(5)传递函数为：P2和L接触，特征余子式为：三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型已知系统微分方程模型为：试画出系统信号流图模型，并求Y(s)/R(s)三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型解法1：微分算子三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型解法2：积分实现三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型数值法（仿真）：Simulink三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型5系统时间响应的绘制：2）数值法（仿真）：Simulink三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型数值法（仿真）：Simulink非线性方程：线性方程近似：θ质量M长度L三江学院机械工程学院微分方程与信号流图模型数值法（仿真）：Simulink三江学院机械工程学院第二章总结对控制系统的数学描述微分方程模型传递函数模型方框图模型信号流图模型三江学院机械工程学院特点：最基本，通常采用机理建模策略、线性化等手段处理。线性定常系统微分方程一般形式：其中，y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入。1、微分方程模型三江学院机械工程学院在求解微分方程的过程中，可以有如下结论：由微分方程决定的系统特征多项式，决定了解的结构特征方程即特征多项式等于0，其解即为特征根求解微分方程的目的，不在于多么精确地求解微分方程，而要善于抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，弄清微分方程的本质。例如本系统的输入——输出关系，完全可以用如下的传递函数加以刻画。微分方程的求解三江学院机械工程学院比如：特征多项式：特征方程：特征根：微分方程解的构型：微分方程解的构型三江学院机械工程学院微分方程的特征根决定了微分方程解的结构：即：三江学院机械工程学院在零初始条件下，对微分方程两边取拉氏变换，则有：优点：最方便：便于系统组合，便于求取系统响应微分关系的代数化是图示化模型的基础不足：仅仅表示了输入输出关系

2、传递函数模型三江学院机械工程学院传递函数的零极点传递函数的零点和极点：定义：（1）零点：使G(s)=0的所有的解s（2）极点：使G(s)=的所有的解s三江学院机械工程学院传递函数的零极点有限零点2个：有限极点5个：其中s=-15，为二重极点三江学院机械工程学院传递函数的零极点零点5个：极点5个：显然：当s→时,F(s)0。无穷远点是F(s)的零点三江学院机械工程学院输入R(s)G(s)输出Y(s)多项式形式零极点形式时间常数形式传递函数既是问题的描述又是问题的解三江学院机械工程学院以传递函数和代数关系为基础，反映了系统内部的信号变换、传递关系，表示了系统的实现方式。构图特点：

信号在线上，变换因子在框内。优点：图示化模型，直观。除输入输出外，有新的系统实现信息。不足：框图的一致性、等效性需要仔细验证。基本要求：读懂框图！

3、框图模型三江学院机械工程学院特别提醒：熟知典型形式输入R(s