数字信号处理第7章

第7章信号的时频表示与小波变换7.1短时Fourier变换与Gabor变换7.2小波变换7.3离散小波变换的快速算法——Mallat算法7.4常用小波函数7.5小波变换的应用7.1短时Fourier变换与Gabor变换满足傅里叶积分定理的信号f(t)的傅里叶变换和逆变换定义为:(7-1)(7-2)为了了解信号的局部特征，人们最初想到的是通过预先加窗的办法使频谱反映时间局部特征，通常称为短时Fourier变换（STFT）或加窗Fourier变换（WFT）。以符号g(t-b)表示以b为中心的窗函数g(t)的复共轭，记作(7-3)定义短时Fourier变换（STFT）为(7-4)时刻b的STFT是信号f(t)与可移动窗函数g(t-b)乘积的Fourier变换。设窗函数g(t-b)的有效宽度为Dt，由于窗函数过滤了作用范围外的信号，因此在一定程度上可以反映信号在时间域 的频谱信息。图7-1是窗口傅里叶变换的时域示意图。图7.1窗口Fourier变换的时域示意图设g(t)的傅里叶变换为G(jΩ),在复频域的有效宽度为DΩ，则Sb,Ω0(t)的傅里叶变换为G(jΩ-jΩ0)e-j(Ω-Ω0)b，根据Parseval恒等式可得(7-5)也就是说，在时域范围内考察的是以b为中心，宽度为 的局部信号信息;在频域范围内考察的是以Ω0

为中心，宽度为 的局部信息。换句话说，经过加窗，Fourier变换保留了信号的时间特征。首先，为了保证Fourier变换的有效性，窗函数必须是能量有限的;以L2(R)表示能量有限的信号的全体，则必有g(t)∈L2(R)。其次，为了具有时间和频率定位能力，它必须具有时域和频域范围内的有限宽度，也即同时满足条件tg(t)∈L2(R)和ΩG(jΩ)∈L2(R)，这里G(jΩ)是g(t)的傅里叶变换。当然，也要求G(jΩ)和g(t)是连续的。从前面的分析可以看出，对于给定的窗函数，其分辨力是特定的。窗函数只能在时间和频率轴上平移，这就意味着无论高频还是低频，都使用一种尺度来衡量，这是不利于研究高频和低频信号的。而且可以证明，时域窗和频域窗乘积恒定，不能同时取任意窄的窗函数。在取高斯函数（7-6）时，宽Dt与频宽DΩ的乘积达到最小值的1/2，窗函数的性质最好。信号f(t)的STFT成为(7-7)这就是有名的Gabor变换。现在，让我们换一个角度来思考信号的变换。首先介绍几个基本概念：函数空间：满足一定条件的函数组成的集合称函数空间。例如,全体平方可积函数构成信号处理的典型空间L2(R)，定义在(0,2π)的全体平方可积函数构成空间L2(0,2π)。在空间上定义向量加法与向量乘法则构成线性空间。

基:线性空间中的一个极大线性无关组称为该空间的一组基。该空间的任一元素均是基的惟一线性组合。如e-jΩt是函数空间L2(0,2π)的一组基，所有函数均可由它惟一线性表出，表出系数称为该函数在基上的坐标。

内积：在函数空间上常定义内积 是函数f(t)与g(t)的定义域），内积表征了两信号的关系，信号与基的内积实质上就是信号在相应基上的投影。标准正交基：设a1(t),a2(t),…,an(t)是函数空间的一组基，a1(t),a2(t),…,an(t)称为基函数。如果任意两互异基函数的内积为0，即〈ai(t),aj(t)〉=0，i≠j，则称这组基是正交基。若每一基函数长度为1，即 ，则这组基是该函数空间的标准正交基。显然e-jΩt是函数空间L2(0,2π)的标准正交基。令h(t)=ejΩt，则傅里叶变换和反变换可表示为:(7-8)(7-9)傅里叶变换的Paseval恒等式可表示为(7-10)令h(t)=ga(t-b)ejΩt后，Gabor变换或窗口变换的定义可表示为这表明，忽略基函数的具体形式，变换具有统一性。我们希望变换手段在考察信号的时候能根据信号的性质而相应地改变。如果能构造出一种基函数具备这种适应性，则利用变换的统一形式可构造出一种新型的变换。幸运的是，我们找到了这种变换。7.2小波变换7.2.1小波变换的定义

设函数φ(t)的傅里叶变换为Φ(jΩ)，若它满足(7-12)式中，R*表示(-∞,0)∪(0,+∞)，则称φ(t)为基本小波函数。式(7-12)常称为小波函数的容许性条件。实际上，式(7-12)等价于(7-13)这就是说,φ(t)与整个横轴所围面积的代数和为0，也意味着其图形应围绕横轴上下波动且定义域有限。同时，它还给出了另外一个信息，即Φ(jΩ)|Ω=0=0。

引入尺度因子a和平移因子b，设a,b∈R,a≠0,φ(t)在a,b作用下得到连续小波函数

(7-14)于是可以定义信号f(t)∈L2(R)的连续小波变换(CWT)为(7-15)利用Fourier变换的Parseval恒等式，易证得连续小波变换的逆变换(ICWT)为(7-16)7.2.2连续小波变换的性质1.线性设信号f(t)=mf1(t)+nf2(t)，且它们对应的小波变换分别为(Wφf1)(a,b)和（Wφf2)(a,b)，则存在(Wφf)(a,b)=m(Wφf1)(a,b)+n(Wφf2)(a,b)

2.时移性若信号f(t)的小波变换为(Wφf)(a,b)，则f(t-t0)的小波变换为(Wφf)(a,b-t0)。

3.尺度特性

若信号f(t)的小波变换为(Wφf)(a,b)，则f(ct)的小波变换为 。4.微分运算(7-18)5.能量守恒(7-19)6.Moyal定理性质5与性质6实质上是统一的。7.2.3离散小波变换小波变换可以看成是把一维时间信号映射到二维空间，因而存在大量的冗余信息，能否适当选取一些离散点的小波变换值来完整地描述信号？答案是肯定的。这就需要对尺度a和平移因子b进行离散采样。通常按某个常数a0的整数幂进行取样,即取a=a0j

(a0>0,j∈Z)。为了使采样后不同尺度小波的频带相互邻接排列，覆盖整个正频率轴，取b=kb0aj0(b0∈R,j∈Z)。则小波φa,b(t)变为(7-21)令a0=2，即得到著名的二进小波，相应的变换称为二进小波变换。令b0=1，则得到二进正交小波。即(7-22)已经证明，二进正交小波是函数空间L2(R)的一组标准正交基，相应的小波变换称为二进正交小波变换。将式（7-22）代入式（7-15），则得到二进离散小波变换（DWT）(7-23)进行数字信号处理，我们关心的是时域离散信号x(n)。定义序列x(n)的离散小波变换为(j,k,n∈Z)（7-24）7.3离散小波变换的快速算法——Mallat算法7.3.1多分辨分析与尺度函数我们将函数空间L2(R)直观地表示在数轴上，如图7-2所示。取一基准空间V0，首先将其压缩为原来的1/2，得到新的空间记为V1，同时在图上直观地看出形成了“两段小空间”，即是V1和V1的补空间W1，显然V0=V1⊕W1（表示空间的直和）;对空间V1做同样的运算，得到V2和W2。照这样下去，得到一系列空间V0,V1,V2,…和W0,W1,W2,…。反过来对空间V0进行扩展，即加上空间W0形成V-1，使得V-1进行1/2压缩后可以形成空间V0，照此对V-1进行扩展，依次下去，得到一系列空间…V-2,V-1,V0和…W-2,W-1,W0。显然，这些空间满足下列关系：（1）单调性：VjVj-1,j∈Z；（2）渐进完全性： （3）伸缩性：（4）平移不变性：（5）i≠j,Wi∩Wj=φ;j∈Z,Vj-1=Vj⊕Wj;i≤j,

图7-2函数空间分解示意图已经证明，对空间V0存在函数λ(t)∈V0，使得｛λ(t-k),k∈Z｝构成V0的标准正交基。即对于函数空间V0的任意一个函数x(t)都有由基函数构成的惟一线性组合(7-25)常称λ(t)为尺度函数。由于Vj的伸缩性，空间Vj的标准正交基为 。基λ(t)∈V0V-1，因而能被V-1空间的基 展开(7-26)该式被称为尺度函数的“两尺度关系式”。式中, 称为尺度函数滤波器脉冲序列。

同样,空间Ｗ0也存在标准正交基φ(t-k),k∈Z。空间序列Wj的标准正交基为 。由空间序列Wj的性质，这组基将构成完备空间L2(R)上具备小波特性的一组标准正交基，这就是我们的目标。对于小波函数，同样有尺度关系式(7-27)式中， 称为小波函数滤波器脉冲序列。设λ(t),φ(t),｛hk｝和｛gk｝对应的Fourier变换分别为Λ(jΩ)、Φ(jΩ),H(jΩ)和G(jΩ)。下面简单地列举它们的一些性质：(不予具体证明，有兴趣的读者可以参阅相应的参考书。)（6）设尺度函数λ(t)∈L1(R)，｛hk｝是可和序列，且 ,则Λ(0)=1,Λ(2πk)=0(k≠0,k∈Z)，同时有H(0)=1,7.3.2Mallat算法Mallat算法是一种有效的小波变换的快速算法，其地位和作用相当于FFT。

1.分解算法由于 因而空间Vj的标准正交基即尺度函数 和空间Wj的标准正交基即小波函数 均可由空间Vj-1的标准正交基 展开：（7-28）（7-29）于是有（7-30）和（7-31）对信号序列，以n代替t；同时,令 令 令， ,则式（7-30）和式（7-31）可重写为：（7-32）（7-33）这就是Mallat算法的分解算法。称ajn为近似分量信号，dnj为细节分量。如图7-3所示，图中↓2表示“隔一抽一”，即样点数减少一半。图7-3小波分解的Mallat算法示意图2.合成算法分解算法的逆过程即为合成算法，其计算公式为（7-34）如图7-4所示，图中↑2表示“以零内插”，即样点数增加一倍。图7-4小波合成的Mallat算法示意图7.4常用小波函数7.4.1Haar小波Haar小波是由A.Haar于1990年提出的一种最简单的小波函数，是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑（当|t|充分大时φ(t)≡0）的正交小波函数，如图7-5所示。其表达式为尺度函数0≤x≤1其他由于Haar小波函数不是连续可微的函数，因此应用范围有限，多用于理论研究。图7-5Haar小波函数7.4.2Daubechies小波简称D-小波，记为dbN（N是其阶数，N=1即为Haar小波），它是具有紧支集的规范正交小波。dbN不具有解析式，且不具备对称性，从而不具有线性相位，光滑性也较差。若要增加光滑性，则需增加其阶数，而运算量相应地增加了很多。dbN小波具有N阶消失矩。D-小波常用数表给出h(n)，g(n)由公式g(n)=(-1)N-1h(2N-n+1)n=1,2,…,2N

（7-35）表7-1Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）图7-6dbN小波7.4.3Morlet小波Morlet小波没有尺度函数，是非正交分解。常用复值orlet小波的表达式为(7-36)式中，C为常数。为简化运算，常忽略最后一项且取Ω≥5，即Ω≥5(7-37)但这破坏了其收敛性，这在某些情况下有可能引起较大的误差，有学者进行了如下改进：Ω≥0(7-38)Morlet是一种复值小波，能够提取信号中的幅值和相位信息，具有很好的对称性，适于做连续小波变换。图7-7实值Morlet小波函数7.4.4墨西哥草帽小波（Bubble小波）小波函数(7-39)很明显，该函数无穷次可微，因而对单独的噪声点不敏感，但由于它的独特的时域性质使它可以对信息进行漫画式的夸张，使信息特征点特别突出。通常可以选取Gauss函数作为其尺度函数，即(7-40)而得到其Mallat算法所用的滤波器系数h(n)和g(n)，见表7-2。墨西哥草帽小波函数(Bubble小波)如图7-8所示。图7-8Bubble小波表7-2一组墨西哥草帽小波的h(n)和g(n)值墨西哥草帽小波主要用于图像边缘提取和对语音信号进行基音分析等。其他的小波函数还有可看成是对D-小波进行改进的Symlet小波和Coiflet小波，具有无限可微的Mayer小波和基于样条的双正交小波等，在相应的领域都有特殊的用途。7.5小波变换的应用7.5.1信号奇异点检测信号奇异点主要体现在两个方面：一是时域上表象地出现了数学上定义的第一类或第二类间断点；二是信号自身的性质如频率、相位等发生了变化。奇异点检测的主要任务是确定变化发生的时间、强度及断点类型等。

例7-1频率改变信号的奇异点检测。信号如图7-9S栏所示，为一低频信号在500点处突然变化为一较高频信号。我们采用db5小波进行5层分解，1－5层分解系数示为d1－d5，细节信号表示为a5，图7-9d1清楚地表明了信号突变发生的时刻。图7-9频率断点信号的小波检测（小波：db5分解层次：5）

例7-2不连续信号的分析。图7-10中表面看上去光滑的二阶多项式曲线存在不连续点，分别采用db1，即Haar小波和db4小波对其进行2层分解，显然，db4小波可以很明确地对不连续点进行定位，而db1小波的检测显然有些失败。这是因为db4小波4阶可导，也即其消失矩为4，对于二阶多项式曲线有良好的信号抑制性能，因此，明确地表示了信号特征。而db1小波只具有