复变函数与积分变换第3章

第三章复变函数的积分一.复变函数积分的概念二.柯西-古萨特基本定理及其推广形式三.柯西积分公式四.解析函数的高阶导数五.解析函数的应用—处理调和函数方面的问题解析函数的性质第一节复变函数积分的概念一、原函数与不定积分1．原函数的概念2．不定积分第一节复积分的概念有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线．与曲线C反方向的曲线记为

简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向．

分析：将定积分的概念推广，定义复变函数的积分。ab“分割“--”求和”--“极限”一、积分的定义

定义1：

C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线．

回顾一：对坐标的曲线积分的概念1.定义类似地定义2.存在条件：3.组合形式回顾二：对坐标的曲线积分的计算定理特殊情形回顾三：格林公式定理1Gyxo回顾四：曲线积分与路径无关的定义BA如果在区域G内有回顾五：曲线积分与路径无关的条件定理2二、积分存在条件及其计算方法根据高等数学（线积分的知识），得又则且定理1.1对于的计算(见教材P29--公式(3.4))公式的记忆:计算积分的步骤：解：o34例1例．解：注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关，

例3．解：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．11注:例1.2解:2(方法二）（例1.2的结论）积分性质:(见教材P30)不等式两端取极限运算,得到结论.弧长的积分弧段两端点的直线距离弧段的长度补充：复变函数积分的物理意义：（场论中的应用）实部：虚部：(单位电荷沿曲线从起点移动到终点过程中，电场所做的功）（向量场中，单位时间流经曲线的净流量）例4．解：小结1.熟练掌握：应用公式(3.4)计算复变函数的积分.2.熟练掌握：教材P29--例1.2的结论.积分的简单性质第二节柯西积分定理本节内容：例．解：注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关，

例3．解：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的．从上一节所举的例子来看:的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的．由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．究竟关系如何，下面我们讨论此问题．预备知识:关于坐标积分的格林公式充要条件：结论：根据格林公式,得即柯西积分定理定理2.1（柯西—古萨基本积分定理）

柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关．

定理(P33-定理2.2)则B=证明：依柯西-古萨基本定理应用柯西积分定理判定积分：例．解：?GB问题分析：2.2复合闭路定理—柯西积分定理的推广定义2.1构成有界的多连通区域G则DCG定理2.3=或AEBFA’E’B’F’C根据柯西积分定理,得二式相加,得证明：注：（1）解析函数的性质在（多）连通域内解析的函数沿（多）连通域的边界积分值为零。=只要变形过程中不经过函数的奇点。例解:根据闭路变形定理，得注：推广了例题1.2的结论推论2.1（复合闭路定理）则=D或利用复合闭路定理计算积分=（“挖奇点法”）,C为包含1与0的正向简单闭曲线.解:例1,0为被积函数的奇点,根据复合闭路定理,得柯西积分定理柯西积分定理例题1.2BC则：2.3.原函数根据定理2.2定理2.4

则定理2.5类似于微积分学中的基本定理和牛顿——莱布尼兹公式

有了定理7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中．

例解:根据定理

,得例．解：例．解：（）A练习：熟练掌握：柯西积分定理的内容,能够利用定理判定积分值是否为零.小结定理2.3（闭路变形定理），推论2.1（复合闭路定理）能利用它们计算积分---“挖奇点法”定理2.5（牛顿莱布尼兹公式）的前提条件并能够利用它计算积分第三节柯西积分公式一、柯西积分公式分析:定理3.1：(柯西积分公式）

证明：

对于区域内的解析函数，只要边界上的函数值给定，则区域内任意点的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎样，区间端点的函数值不能决定区间内部点的函数值。(1)解析函数的相关性质:DC注:(2)柯西积分公式的特殊形式问题:结论如何?推论3.1证明:根据柯西积分公式,得C(3)通过柯西积分公式,给出了解析函数的一种积分表达式.（改变积分变量符号，积分值不变）解析函数(4)计算积分例：问题:是否正确?为什么?积分的特征：例解：原式=,C为包含1与0的正向简单闭曲线.解:例2.11,0为被积函数的奇点,根据复合闭路定理,得所以，因为练习：小结

1.掌握:柯西积分公式,能利用它计算积分.2.掌握：解析函数的性质

对于区域内的解析函数，只要边界上的函数值给定，则区域内的函数值也就完全确定；积分特征：练习（）(B)-1(D)1A（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定（）C根据柯西积分公式，例题1.2的（推广）结论第四节解析函数的高阶导数一、解析函数高阶导数公式一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示．这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定，更不要说有高阶导数存在了．下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题．再继续又可得：

这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们对此加以讨论．定理4.1DC解析函数的任意阶的导数都是存在的,且都是解析函数.注：计算积分的计算公式.例:解:原式积分的特征：例1．解：例2．解：例3．解：(C)0(D)不确定（）C练习题小结1.熟练掌握：解析函数导数的性质解析函数的任意阶的导数都是存在的,且都是解析的.2.掌握:能利用定理计算积分.第五节解析函数与调和函数的关系本节引入调和函数的定义，并分析它与解析函数的关系，以及与之相关的计算。预备知识:(1)多元函数的混合偏导数:则冰冷却火加热稳定后，导体中温度的分布情况：边缘处取得极值?ADBC

热传导理论中的傅里叶定律：在场中之任一点处，沿任一方向的热流强度（即在该点处于单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比。对于正方形ABCD,热量的净流出量正比于温度达到稳定状态后,热量流动达到一个平衡的状态：净流出量为零（能量守恒）.1.调和函数的概念定义5.1:定理5.1：若解析函数,则与调和函数.(柯西-黎曼方程)定理5.1：若解析函数,则与调和函数.注:定理的逆命题不成立.但均为调和函数；但复平面内处处不解析。(柯西-黎曼方程)定理5.1：若解析函数,则与调和函数.注:定理的逆命题不成立.但均为调和函数；但复平面内处处不解析。定义5.2(1)共轭调和函数的等价定义注:的共轭调和函数.称为(2)两个函数的前后次序不能颠倒!!

解析函数的实部,虚部为调和函数,且虚部为实部的共轭调和函数.（3）解析函数与调和函数的关系:2.计算共轭调和函数方法一(偏积分法)问题：求解偏微分方程。根据共轭调和函数的等价定义,得例1:解:根据柯西-黎曼方程,得所以,解析函数:方法二:原函数法根据共轭调和函数的定义,所以,(柯西黎曼方程)（不定积分运算与高等数学情形中一致）例：解:(补充