专题-物理-L74-机械振动中的动力学问题

机械振动中的动力学问题物理专题简谐运动1．定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F=-kx（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。（2）回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）（4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。2．几个重要的物理量间的关系要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。（1）由定义知：F∝x，方向相反。（2）由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。（3）由以上两条可知：a∝x，方向相反。（4）v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。3．从总体上描述简谐运动的物理量振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期T是描述振动快慢的物理量。（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐运动都有共同的周期公式：

（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F=

-kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。4.典型的简谐运动--弹簧振子（1）周期

，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。（2）竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是

。

这个结论可以直接使用。（3）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；

在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。例题1有一弹簧振子做简谐运动，则

（

）A．加速度最大时，速度最大

B．速度最大时，位移最大C．位移最大时，回复力最大

D．回复力最大时，加速度最大解析：子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F=

-kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对．振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错．故正确选项为C、D小结：分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大．各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向．例题2试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为

，根据胡克定律及平衡条件有

mg-kx0=0①当振子向下偏离平衡位置为

时，回复力（即合外力）为

F回=mg-k(x+x0)②将①代人②得：F回=-kx，可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件．小结：（1）分析一个振动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反．证明思路为：确定物体静止时的位置——即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足

。（2）还要知道

中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数．关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式．而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力．此题中的回复力为弹力和重力的合力．例题3如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？解析：

该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F-mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。（1）最大振幅应满足kA=mg，

A=mg/k（2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：

Fm-mg=mg，Fm=2mg例题4弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20cm．某时刻振子处于B点．经过0.5s，振子首次到达C点．求：（1）振动的周期和频率；（2）振子在5s内通过的路程及位移大小；（3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4cm处P点的加速度大小的比值解析：（1）设振幅为A，由题意BC＝2A＝10cm，所以A＝10cm．振子从B到C所用时间t＝0．5s．为周期T的一半，所以T＝1．0s；f＝1/T＝1．0Hz．（2）振子在1个周期内通过的路程为4A。故在t＝5s＝5T内通过的路程s＝t/T×4A＝200cm．5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm．（3）振子加速度a=-kx/m．a∝x，所以aB：aP＝xB：xp＝10：4＝5：2．例题5

如图所示为一单摆的共振曲线，摆球的质量为0.1kg，求：