2017-2018版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题（二）学案1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE21学必求其心得，业必贵于专精PAGE2。2最大值、最小值问题(二)学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用。2。会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1平面几何中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm。怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图像与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值．命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm。（1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？（2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1）立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．（2）解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱,当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：千克）与销售价格x(单位：元/千克）满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10（x－6)2,其中3〈x〈6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克．(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:（1)利润＝收入－成本；(2）利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格,销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?命题角度2费用（用材)最省问题例4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x(单位：cm）满足关系：C(x)＝eq\f(k，3x＋5)（0≤x≤10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1）求k的值及f(x)的表达式;(2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．反思与感悟（1）用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导,结合实际作答．(2）利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f′（x）＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小）值．跟踪训练4据统计，某种型号的汽车在匀速行驶时，每小时的耗油量y（升)关于行驶速度x（千米/时)的函数解析式可以表示为y＝eq\f(1，128000)x3－eq\f(3,80)x＋8（0〈x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．（1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油多少升？1．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位:万件）的函数关系式为y＝－eq\f（1，3）x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(）A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－eq\f（1，8)t3－eq\f（3，4）t2＋36t－eq\f(629，4），则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(）A．6时B．7时C．8时D．9时3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R(元)与年产量x（件）的关系是R（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(400x－\f（1，2)x20≤x≤400，,80000x>400,))则总利润P(x）最大时，每年生产的产品是（）A．100件 B．150件C．200件 D．300件4．用总长为14。8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为________m时，容器的容积最大．5．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元．正确理解题意，建立数学模型,利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：（1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2）与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．

答案精析问题导学知识点1．优化问题3．数学建模题型探究例1解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x－20，eq\f(y－25，2),其中x>20，y〉25。两栏面积之和为2(x－20）·eq\f(y－25，2)＝18000，由此得y＝eq\f（18000,x－20)＋25.广告的面积S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(18000，x－20)＋25）)＝eq\f（18000x,x－20）＋25x，∴S′＝eq\f(18000[x－20－x],x－202)＋25＝eq\f（－360000，x－202)＋25.令S′>0得x〉140，令S′<0得20〈x〈140.∴函数在（140，＋∞）上是增加的，在(20，140）上是减少的，∴S(x)的最小值为S（140）．当x＝140时，y＝175。即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．跟踪训练1解设点B的坐标为(x，0），且0<x<2,∵f(x)＝4x－x2图像的对称轴为x＝2，∴点C的坐标为（4－x,0)，∴|BC｜＝4－2x，|BA｜＝f（x)＝4x－x2.∴矩形面积为y＝（4－2x)（4x－x2）＝16x－12x2＋2x3，∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)．令y′＝0,解得x＝2±eq\f(2，3）eq\r（3)，∵0<x〈2，∴x＝2－eq\f(2，3）eq\r（3）.∵当0<x<2－eq\f(2，3）eq\r(3)时，y′>0,函数是增加的；当2－eq\f（2,3）eq\r（3)〈x<2时，y′<0,函数是减少的，∴当x＝2－eq\f(2，3）eq\r（3)时,矩形的面积有最大值eq\f(32,9）eq\r(3）。例2解（1)由题意知包装盒的底面边长为eq\r(2)xcm,高为eq\r（2)(30－x)cm,所以包装盒侧面积为S＝4eq\r(2)x×eq\r（2)（30－x）＝8x（30－x)≤8×(eq\f（x＋30－x，2)）2＝8×225，当且仅当x＝30－x，即x＝15时,等号成立,所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15。（2）包装盒容积V＝2x2·eq\r(2)（30－x)＝－2eq\r（2)x3＋60eq\r（2)x2(0〈x<30)，所以V′＝－6eq\r(2）x2＋120eq\r（2)x＝－6eq\r（2)x（x－20）．令V′>0,得0〈x<20;令V′〈0，得20〈x〈30.所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20eq\r（2)cm，高为10eq\r（2）cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2。跟踪训练2解设箱底边长为x，则箱高为h＝eq\f(\r(3)，3)×eq\f（a－x，2)(0<x<a)，箱子的容积为V（x）＝eq\f（1,2）x2×sin60°×h＝eq\f（1,8)ax2－eq\f(1,8)x3（0<x〈a），则V′（x）＝eq\f（1，4)ax－eq\f（3,8）x2。令V′（x)＝0，解得x1＝0(舍)，x2＝eq\f(2,3）a，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（2，3）a））时,V′（x）〉0;当x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3)a，a)）时，V′(x）〈0，所以函数V（x）在x＝eq\f(2，3）a处取得极大值，这个极大值就是函数V（x)的最大值，Veq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2，3）a)）＝eq\f(1,8）a×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）a）)2－eq\f（1,8）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）a)）3＝eq\f（1，54)a3。所以当箱子底边长为eq\f（2,3）a时,箱子容积最大,最大容积为eq\f(1，54)a3.例3解(1)因为当x＝5时，y＝11，所以eq\f（a,2)＋10＝11,所以a＝2.（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y＝eq\f（2,x－3）＋10（x－6）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝（x－3)［eq\f(2，x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10（x－3）(x－6)2,3<x<6。从而f′（x）＝10[(x－6）2＋2（x－3)(x－6)］＝30(x－4）（x－6)．于是,当x变化时，f′（x）,f(x）的变化情况如下表：x（3，4）4(4，6)f′（x)＋0－f(x）极大值42由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时,函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．跟踪训练3解（1）若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f（x）＝（30－x－9)（432＋6x2）＝－6x3＋126x2－432x＋9072,x∈[0，21］．（2)由(1)知,f′(x)＝－18x2＋252x－432，x∈［0，21]，令f′(x）＝0，则x1＝2，x2＝12。当x变化时,f′（x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2）2（2，12）12（12,21)21f′(x）－0＋0－f(x）9072极小值极大值∴x＝12时，f（x)取得极大值．∵f(0)＝9072，f（12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元），能使一个星期的商品销售利润最大．例4解（1)由题设知每年能源消耗费用为C（x）＝eq\f(k,3x＋5），再由C（0)＝8,得k＝40,因此C（x）＝eq\f（40，3x＋5），而建造费用为C1(x)＝6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1（x)＝20×eq\f(40，3x＋5）＋6x＝eq\f(800，3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2）f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)。令f′（x）＝0，即eq\f(2400,3x＋52）＝6，解得x＝5(x＝－eq\f（25,3)舍去）,当0<x〈5时，f′(x）〈0；当5<x<10时，f′（x)〉0，故x＝5为f(x）的最小值点，对应的最小值为f(5）＝6×5＋eq\f(800，15＋5）＝70。即当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元．跟踪训练4解（1）当x＝40时,汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100，40)＝2.5（小时），要耗油eq\b\l