2017-2018版高中数学第二章解析几何初步1.4两条直线的交点学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1。4两条直线的交点学习目标1。会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2。会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系.3。会用求交点坐标的方法解决直线过定点、三条直线交于一点等问题．知识点直线的交点思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点坐标？思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？梳理（1)两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA（a，b）直线l1l1：A1x＋B1y＋C1＝0点A在直线l1上直线l1与l2的交点是A(2）两直线的位置关系方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0）)的解一组无数组直线l1与l2的公共点的个数一个零个直线l1与l2的位置关系重合类型一求两条直线的交点例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.反思与感悟两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在特别提醒：在判定两直线是否相交时,要特别注意斜率不存在的情况．跟踪训练1（1）已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是()A．－4 B．3C．3或－4 D．±4(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．类型二求过两条直线交点的直线方程例2求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”,又如何求解．反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0(不包括l2的方程）,再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程．跟踪训练2直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(）A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0类型三直线过定点问题例3无论a，b为何值，直线(2a＋b）x＋(a＋b)y＋a－b＝0经过定点（）A．（3,－2) B．（－2，3)C．(－2，－3) D．（－3，－2)反思与感悟恒过定点问题的三种解法(1)直接法：将已知直线的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程,进而得出定点．（2)任意法：任取直线系中的两条直线，所有直线的交点即为这两条直线的交点，也就是所有直线都过的定点．(3)方程法：将已知的方程整理成关于参数的方程．由于直线恒过定点，则关于参数的方程应有无穷多解，进而求出定点．形如A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的直线一定过定点，且定点为直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0的交点．跟踪训练3求证：不论m取什么实数，直线（2m－1）x＋（m＋3)y－（m－11）＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．1．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为（）A．1B．－1C．2D．－22．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是(）A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y＋7＝0 D．2x－y＋7＝03．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点,且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(）A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝04．如图，两直线交点B的坐标可以看作二元一次方程组________的解．5．不论m为何实数，直线(m－1）x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________________．1。与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0（D≠C)．与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m（m≠b)．2．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0（λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2）＝0（m2＋n2≠0),是过直线l1与l2交点的所有直线方程．答案精析问题导学知识点思考1直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2只需写出这两条直线方程,然后联立求解．思考3(1）若方程组无解,则l1∥l2；(2）若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；（3）若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)A1a＋B1b＋C1＝0eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，，A2a＋B2b＋C2＝0))（2)无解无数个相交平行题型探究例1解(1)解方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－y－7＝0，，3x＋2y－7＝0，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，,y＝－1。))因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3，－1）．（2)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0,，4x－12y＋8＝0））有无数个解，表明直线l1和l2重合．(3)方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0)）无解，表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2。跟踪训练1(1）C(2)(－eq\f（3,2),2)例2解方法一解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－3y－3＝0，，x＋y＋2＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－\f（3，5)，,y＝－\f(7，5）,)）所以两条直线的交点坐标为（－eq\f（3,5），－eq\f（7，5））．又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋eq\f(7，5)＝－3（x＋eq\f(3,5)）,即15x＋5y＋16＝0。方法二设所求直线方程为(2x－3y－3）＋λ(x＋y＋2）＝0，即（2＋λ)x＋（λ－3)y＋（2λ－3)＝0。（＊）由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋λ×1－λ－3×3＝0，,2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，)）得λ＝eq\f（11，2）。代入（*）式，得(2＋eq\f（11,2）)x＋(eq\f（11,2）－3)y＋(2×eq\f（11，2)－3)＝0,即15x＋5y＋16＝0.引申探究解设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ·（x＋y＋2)＝0，即（2＋λ)x＋(λ－3）y＋（2λ－3）＝0,由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－eq\f（3,4)，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0。跟踪训练2B例3B［原直线方程可化为a（2x＋y＋1)＋b(x＋y－1）＝0，令eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋y＋1＝0，，x＋y－1＝0,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2,，y＝3,)）所以直线经过定点（－2,3）．故选B。]跟踪训练3解方法一对于方程(2m－1）x＋（m＋3）y－(m－11）＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－3y－11＝0，，x＋4y＋10＝0，））得两条直线的交点坐标为（2，－3）．将点(2，－3)代入方程左边,得（2m－1）×2＋(m＋3）×（－3)－(m－11）＝0.这表明不论m取什么实数,所给直线均经过定点（2，－3）．方法二将已知方程（2m－1)x＋(m＋3）y－(m－11）＝0整理为（2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11）＝0.由于m取值的任意性，有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，，－x＋3y＋11＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，，y＝－3.)）所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．当堂训练1．B2.B3。A4。eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3))5．（9，－4)解析方法一取m＝1，得直线y＝－4.取m＝eq\f（1,2)，得直线x＝9.故两直线的交点为（9，－4）．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1）·9－4·（2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过点(9，－4)．方法二直线方程可变形为（x＋2y－1）m－（