2017-2018版高中数学第二章解析几何初步2.3第2课时圆与圆的位置关系学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16学必求其心得，业必贵于专精PAGE第2课时圆与圆的位置关系学习目标1。理解圆与圆的位置关系的种类。2。掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．知识点两圆位置关系的判定思考圆与圆的位置关系有几种？如何判断圆与圆的位置关系？梳理两圆位置关系的判定已知两圆C1：（x－x1)2＋(y－y1）2＝req\o\al(2，1），C2：(x－x2)2＋（y－y2)2＝req\o\al（2，2），则圆心距d＝|C1C2|＝________________________________.两圆C1,C2有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离____个d〉r1＋r2两圆内含d<｜r1－r2|两圆相交____个｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两圆内切____个d＝｜r1－r2｜两圆外切d＝r1＋r2特别提醒：（1)仅从圆与圆的交点个数判定是不科学的,如有1个交点,就不能判定是内切不是外切，应再结合图像判定．（2)判定圆与圆位置的方法有几何法和代数法，代数法要注意相切时的判定．（3）一般情况下，我们尽量选择利用几何法进行判断，以减少运算量，提高解题的速度．类型一两圆的位置关系eq\x（命题角度1两圆位置关系的判断）例1已知圆M:x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r（2），则圆M与圆N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（)A．内切 B．相交C．外切 D．相离反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤（1）将两圆的方程化为标准方程（若圆方程已是标准形式,此步骤不需要）．（2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1,r2.（3）求两圆的圆心距d。(4）比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．（5)根据大小关系确定位置关系．跟踪训练1已知圆C1:x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为（）A．1或3B．4C．0D．2eq\x（命题角度2已知两圆的位置关系求参数）例2当a为何值时,两圆C1:x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2:x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；（2）相交;（3）相离．反思与感悟(1）判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤①将圆的方程化成标准形式,写出圆心和半径．②计算两圆圆心的距离d。③通过d,r1＋r2，｜r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．（2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．跟踪训练2若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：（x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为（)A．±3 B．±5C．3或5 D．±3或±5类型二两圆的公共弦问题例3已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0。(1)判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在的直线方程；（3）求公共弦的长度．反思与感悟（1）当两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立,解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法:求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解．跟踪训练3(1）两圆相交于两点A(1,3）和B（m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上,则m＋c的值为____________．(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋（y－1)2＝eq\f(25,4）截得的弦长．类型三圆系方程及应用例4求圆心在直线x－y－4＝0上,且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．反思与感悟当经过两圆的交点时，圆的方程可设为（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0，然后用待定系数法求出λ即可．跟踪训练4求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3）y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程．1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是（）A．内切 B．相交C．外切 D．相离2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋（y－3)2＝1的内公切线有且仅有(）A．1条 B．2条C．3条 D．4条3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A,B两点，则AB的垂直平分线的方程是(）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知以C(4,－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________．5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2eq\r（3)，则a＝________.1．判断两圆的位置关系的方法（1）由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定,这种方法计算量比较大,一般不用．(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．2．当两圆相交时,把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．答案精析问题导学知识点思考圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含．可根据两圆连心线的长与两圆半径的和差关系判定．梳理eq\r（x1－x22＋y1－y22）021题型探究例1B[由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0,）)得两交点分别为(0,0），（－a，a）．∵圆M截直线所得线段的长度为2eq\r(2），∴eq\r（a2＋－a2)＝2eq\r（2），又a＞0，∴a＝2.∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋（y－2)2＝4，圆心为M(0,2）,半径为r1＝2.又圆N：（x－1）2＋（y－1）2＝1,圆心为N(1,1)，半径为r2＝1，∴｜MN｜＝eq\r（0－12＋2－12）＝eq\r（2）。∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜｜MN|＜3，∴两圆相交．］跟踪训练1D例2解将两圆方程写成标准方程，则C1：（x－a)2＋（y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1,a），r2＝2。设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋（－2－a)2＝2a2＋6a＋5。（1)当d＝5,即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2。（2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交,此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.（3）当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离，此时a＞2或a＜－5.跟踪训练2D例3解（1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1:（x－1)2＋(y＋5）2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5eq\r（2），圆C2的圆心坐标为（－1,－1)，半径为r2＝eq\r(10）.又∵｜C1C2|＝2eq\r（5），r1＋r2＝5eq\r（2)＋eq\r（10)，|r1－r2｜＝｜5eq\r(2）－eq\r(10)｜,∴|r1－r2|〈|C1C2|〈r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.（3)由(2）知圆C1的圆心（1，－5）到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq\f（|1－2×－5＋4｜，\r（1＋－22））＝3eq\r(5),∴公共弦长为l＝2eq\r(r\o\al(2，1)－d2)＝2eq\r（50－45)＝2eq\r(5)。方法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4，，y＝0））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝2，）)∴|AB｜＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5)。即公共弦长为2eq\r(5）.跟踪训练3（1)3(2)解由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0。又圆C3的圆心坐标为（1，1)，其到直线l的距离为d＝eq\f(|1＋1－1｜，\r(12＋12）)＝eq\f（\r（2)，2)，由条件知，r2－d2＝eq\f(25，4）－eq\f（1,2）＝eq\f（23，4）,所以弦长为2×eq\f(\r（23),2）＝eq\r（23).例4解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6）＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ）x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圆心坐标为(eq\f(2，1＋λ)，eq\f(2λ，1＋λ）)．又圆心在直线x－y－4＝0上，所以eq\f（2，1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ）－4＝0，即λ＝－eq\f（1，3)。所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，）)得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x，，x2＋y2－4y－6＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝－1，,y1＝－1，）)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＝3，，y2＝3。）)所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A（－1，－1），B（3,3），线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－（x－1)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,，y＝－1，)）即所求圆的圆心为(3,－1)，半径为eq\r（3－32＋[3－－1］2)＝4.所以所求圆的方程为（x－3)2＋（y＋1)2＝16。跟踪训练4解设所求圆的方程为（x－a)2＋（y－b）2＝r2（r〉0），由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则eq\r（a－12＋b2)＝r＋1。①又所求圆过点M的切线为x＋eq\r(3)y＝0,故eq\f（b＋\r（3），a－3）＝eq\