2017-2018版高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）疑难规律方法学案版

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE41学必求其心得，业必贵于专精PAGE第二章基本初等函数（Ⅰ）1“函数"概念辨析一、表达式相同的两个函数是不是同一函数?答很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数．其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同,但还有定义域是否相同的问题．例如，f（x)＝3x＋1（x∈R)与g(x）＝3x＋1（x∈Z)，尽管f（x）和g(x）的表达式相同,但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数．二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？答有些同学认为,两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如，f(x）＝x，x∈{0,1｝，g(x)＝（x－1）2,x∈{0，1},这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f（0)≠g（0），f（1)≠g(1），即当自变量x取相同值x0时,f(x0）≠g(x0)，故f（x）≠g（x)．事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数f（x)和g（x)的定义域为D，且对于任意x0∈D，都有f(x0)＝g(x0）,那么f（x）＝g（x)．三、函数的定义域可以是空集吗?答教材中指出：“设A,B是非空的数集，……”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．四、y＝0是函数式吗？答很多同学都认为y＝0不是函数式,其理由是:函数定义中有两个变量x和y，而在y＝0中只有一个变量y.从形式上来看,y＝0中只出现了一个变量y，但我们知道,0与任何实数的乘积仍为0，因此，变量y＝0就是y＝0·x，另一个变量x不是出现了吗?根据函数的定义,集合A＝｛x｜x∈R}显然满足函数的定义，即不论x取何值，y都有唯一确定的值0与之对应,因此,按函数的定义，y＝0是函数式．同理，对任意实数m,y＝m也是函数式，只要把它写成y＝m＋0·x就清楚了．五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到?答可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分,这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？答因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数的解析式就是确定函数关系，在这个关系下，每一个x都有唯一的y与之对应,因此可由定义域和解析式确定值域.2诠释函数“三要素”构成函数的要素为定义域、对应法则“f”、值域三者．因此，这里我们把“定义域、对应法则、值域”称为函数的“三要素”．对于初学者来说，理解好函数的“三要素”极为重要．在“三要素"中函数的定义域可称得上是函数的灵魂，做任何函数题都首先要考虑到函数的定义域，定义域不同，不管对应法则、值域是否相同，都是不同函数．如:(1)y＝x＋1，x∈R；（2)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5｝；（3）y＝x＋1，x∈[1，5]．这三个函数是不同的函数．所以，要弄清楚函数的有关问题，首先要弄清楚其定义域．一、定义域1．函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示．2．求函数定义域的方法，主要有如下三类：（1)有函数解析式时求函数定义域：只需使函数有意义即可．例1求y＝eq\r(x＋2)＋eq\f（x＋2,｜x｜－4）的定义域．解由题意知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，｜x|－4≠0）),从而解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2,4)∪(4,＋∞)．(2）没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解．例2已知函数y＝f（x＋1）的定义域为(－1，1），求函数y＝f（x)的定义域．解令t＝x＋1，∵－1＜x＜1，∴0＜t＜2，∴f（t）的定义域为（0,2)，即所求定义域为(0,2）．（3）应用题当中，需满足问题所包含的实际意义．例3一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，求其解析式和定义域．解由题意知解析式为y＝20－2x，又因为构成三角形必须有2x＞y，y＞0，x＞0，解得5＜x＜10，所以定义域为(5,10）．特别提示求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集．二、对应法则一般地说，在函数f(x)符号中，“f”表示对应法则，等式y＝f（x）表明对于定义域中的任意的x值,在对应法则“f”的作用下,可得到值域中唯一的y值．因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径,是联系x与y的纽带，也就是函数的核心．特别地，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量．例4已知函数f(x)＝x2－2x，求f（1）、f(a）、f（2x）．解f(1)＝－1，f(a）＝a2－2a，f（2x）＝4x2－4x.特别提示对于函数来说,即使定义域相同,值域相同，对应法则不同，也是不同函数．如：(1）y＝x＋1,x∈R,（2)y＝2x＋1，x∈R，这两个函数对应法则不同，就是不同的函数．三、值域1．函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示．2．值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法：（1）二次函数型利用“配方法”．例5求函数y＝－2x2＋4x＋6的值域．解由y＝－2(x－1)2＋8得函数的值域为(－∞，8］．(2）换元法(注意换元后新元的范围）．例6求函数y＝2x＋4eq\r(1－x）的值域．解令t＝eq\r(1－x）,则y＝－2t2＋4t＋2＝－2（t－1)2＋4,t≥0，故所求值域为(－∞，4］．(3)形如y＝eq\f（ax＋b,cx＋d)(a,c≠0)的函数用分离常数法．例7求函数y＝eq\f（2x＋3,x＋1）的值域．解y＝eq\f（2x＋3,x＋1)＝eq\f(2x＋1＋1，x＋1）＝2＋eq\f(1，x＋1），∵eq\f（1,x＋1）≠0，故y≠2,∴值域为｛y∈R｜y≠2}．特别提示关于“配方法”,若有定义域加以限制的，可画出图象，利用“图象法"解决．对于值域来说，定义域和对应法则相同,值域就一定相同,即为同一函数．所以判断是否为同一函数，只需看定义域和对应法则是否相同即可．例8下列为同一函数的是________．（填序号）①y＝eq\r(x2－1)和y＝eq\r(x－1)eq\r(x＋1)；②y＝x0和y＝1；③y＝eq\r(x＋12)和y＝x＋1；④y＝x2－2x和y＝t2－2t.解析①②定义域不同，③对应法则不同，④定义域与对应法则都相同，所以答案为④。答案④3函数解析式求解的常用方法一、换元法例1已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r（x)，求f（x）．分析采用整体思想,可把f(eq\r（x)＋1)中的“eq\r(x)＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．解令t＝eq\r(x）＋1，则x＝（t－1)2(t≥1），代入原式有f(t）＝（t－1）2＋2(t－1）＝t2－1。∴f（x）＝x2－1（x≥1)．评注将接受对象“eq\r（x）＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．二、待定系数法例2已知f（x)为二次函数，且f(x＋1）＋f（x－1）＝2x2－4x，求f(x)的表达式．解设f（x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f（x＋1）＋f(x－1）＝a(x＋1)2＋b（x＋1）＋c＋a(x－1)2＋b（x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x。故有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，，2b＝－4，,2a＋2c＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝1,，b＝－2，，c＝－1.））所以f（x）＝x2－2x－1.评注若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式,再利用已知条件求出系数．三、方程消元法例3已知：2f（x)＋f(eq\f(1，x))＝3x，x≠0，求f(x）．解2f（x)＋f(eq\f（1，x))＝3x， ①用eq\f（1,x)去代换①式中的x得2f(eq\f(1，x)）＋f(x）＝eq\f（3,x）. ②由①×2－②得f（x）＝2x－eq\f（1，x），x≠0.评注方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.4解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考．一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式（或对应关系)不同而已．二、常见的题型及其求解策略1．求分段函数的定义域、值域例1求函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≤－2,,\f（x,2)，x＞－2)）的值域．解当x≤－2时，y＝x2＋4x＝(x＋2）2－4，∴y≥－4;当x＞－2时,y＝eq\f（x，2），∴y＞eq\f（－2,2)＝－1.∴函数f(x)的值域是｛y｜y≥－4}．解题策略分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．2．求分段函数的函数值例2已知f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2，x＞10,,f［fx＋6］，x＜10，))求f（5)的值．解∵5＜10，∴f（5)＝f[f（5＋6）］＝f［f（11)]，∵11＞10,∴f［f(11）]＝f（9)，又∵9＜10,∴f（9）＝f［f（15）］＝f(13)＝11。即f（5)＝11.解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理．3．画出分段函数的图象例3已知函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x，x≥0,，x2,x＜0，)）作出此函数的图象．解由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．解题策略分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时：一、要注意每段自变量的取值范围，二、要注意判断函数图象每段端点的虚实．4．求解分段函数的解析式例4某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图所示．则:(1）月通话为50分钟时，应交话费多少元；（2）求y与x之间的函数关系式．解（1）由题意可知当0＜x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点（100，40），得解析式为y＝eq\f（2,5)x，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y＝eq\f(2，5）×50＝20（元)．(2)当x＞100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由图知x＝100时,y＝40；x＝200时，y＝60。则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（40＝100k＋b,60＝200k＋b）),解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝\f(1,5),,b＝20，））所以解析式为y＝eq\f（1，5)x＋20,故所求函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(2，5）x，0＜x≤100,,\f(1，5）x＋20，x＞100.)）解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图象）给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点．5合理变形——突破单调性的证明由定义证明函数f(x）在区间D上的单调性，其步骤为:取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1）－f（x2)的符号的关键所在．本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略．一、因式分解例1求证：函数f（x)＝x2－4x在(－∞，2］上是单调减函数．证明设x1，x2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x1＜x2,则f（x1）－f（x2)＝(xeq\o\al(2,1）－4x1)－（xeq\o\al（2,2)－4x2)＝（x1－x2）（x1＋x2－4）．因为x1＜x2≤2，所以x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0.所以f（x1)－f（x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f（x)在(－∞，2]上是单调减函数．评注因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f（x1)－f(x2)的符号．二、配方例2求证：函数f（x）＝x3＋1在R上是单调增函数．证明设x1，x2是R上的任意两个实数,且x1＜x2，则f（x1)－f(x2)＝xeq\o\al（3，1）＋1－xeq\o\al(3，2）－1＝xeq\o\al（3，1）－xeq\o\al（3,2）＝(x1－x2)（xeq\o\al(2,1)＋x1x2＋xeq\o\al（2，2））＝（x1－x2)eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x1＋\f(x2,2)））2＋\f（3,4)x\o\al（2,2）））。因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x1＋\f（x2,2)）)2＋eq\f(3,4)xeq\o\al（2，2)＞0.所以f(x1)－f（x2）＜0，即f（x1）＜f(x2)．故函数f(x）在R上是单调增函数．评注本题极易在(x1－x2)（xeq\o\al(2,1）＋x1x2＋xeq\o\al（2，2)）处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断xeq\o\al（2，1)＋x1x2＋xeq\o\al（2，2）的符号，又不能因式分解时，而采用配方则会“柳暗花明”．三、通分例3已知函数f(x)＝x＋eq\f（1,x)，求证：函数f（x)在区间(0，1］上是单调减函数．证明设x1，x2是区间(0,1]上的任意两个实数,且x1＜x2，则f(x1)－f（x2)＝x1＋eq\f（1,x1）－x2－eq\f（1，x2)＝（x1－x2）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，x1）－\f（1,x2）)）＝（x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2）＝(x1－x2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，x1x2))）＝（x1－x2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x1x2－1，x1x2））)。因为x1＜x2,且x1，x2∈（0,1］，所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜1.所以f（x1）－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f(x）在（0,1］上是单调减函数．评注同样，我们可以证明f(x)＝x＋eq\f(1,x）在区间[1，＋∞）上是单调增函数．四、有理化例4已知函数f（x）＝eq\r（x－1),求证:函数f(x）在区间[1，＋∞）上是单调增函数．证明设x1,x2是区间［1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2,则f（x1）－f(x2）＝eq\r(x1－1)－eq\r(x2－1)＝eq\f(x1－x2,\r（x1－1)＋\r(x2－1)）。因为x1＜x2,且x1，x2∈[1，＋∞）,所以x1－x2＜0,eq\r（x1－1)＋eq\r(x2－1）＞0。所以f（x1)－f（x2)＜0，即f（x1)＜f(x2)．故函数f（x）在［1，＋∞）上是单调增函数．评注对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1）－f(x2)符号的目的。6谈复合函数的单调性设y＝f(t)是t的函数，t＝g（x）是x的函数,若t＝g（x）的值域是y＝f（t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t）＝f［g(x)］．如函数y＝eq\r(1－x），若设t＝1－x,则y＝eq\r(t）.这里t是x的函数,y是t的函数，所以y＝eq\r（1－x）是x的复合函数，把t称为中间变量．思考1已知函数y＝f（t)的定义域为区间[m，n]，函数t＝g(x)的定义域为区间［a,b］，值域D⊆［m，n］．若y＝f（t)在定义域内单调递增，t＝g(x)在定义域内单调递增，那么y＝f［g(x）]是否为[a,b］上的单调增函数?为什么？答y＝f［g（x)]是区间［a,b]上的单调增函数．证明如下：任取x1，x2∈[a,b］，且x1〈x2，则t1＝g（x1），t2＝g（x2），且t1,t2∈[m，n]．因为t＝g（x)在[a,b］上单调递增，所以g（x1)〈g（x2),即t1<t2,而y＝f（t）在[m,n］上单调递增，故f（t1)<f(t2），即f［g（x1)］〈f[g（x2）]，所以y＝f[g（x)］在[a,b］上是单调增函数．思考2若将g（x）在区间[a，b］上“单调递增”改为“单调递减”或将f(x)在区间［m，n]上“单调递增"改为“单调递减”等,这时复合函数y＝f[g(x）]在区间[a，b］上的单调性又如何呢？答利用解决思考1的方法就可以得出相应的结论（同学们不妨一试）．由此可得到如下复合函数单调性的结论：y＝f(t）单调递增单调递减t＝g(x)单调递增单调递减单调递增单调递减y＝f[g（x）]单调递增单调递减单调递减单调递增以上规律可总结为：“同向得增,异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数）的值域，否则无法确定f(t）（常称外层函数）的单调性．例1求函数y＝eq\f（1，x＋12)的单调区间．解函数y＝eq\f（1，x＋12)的定义域为(－∞，－1）∪(－1,＋∞),设t＝(x＋1）2，则y＝eq\f(1，t)（t>0）．当x∈(－∞，－1)时，t是x的单调减函数，y是t的单调减函数，所以(－∞，－1）是y＝eq\f(1，x＋12)的单调增区间；当x∈（－1，＋∞）时,t是x的单调增函数，y是t的单调减函数,所以（－1,＋∞）是y＝eq\f(1,x＋12）的单调减区间．综上知,函数y＝eq\f(1,x＋12）的单调增区间为（－∞，－1），单调减区间为(－1，＋∞）．例2求y＝eq\f(1，x2－2x－3）的单调区间．解由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3,令t＝x2－2x－3(t≠0），则y＝eq\f(1，t),因为y＝eq\f（1，t）在（－∞,0)，(0，＋∞)上为单调减函数，而t＝x2－2x－3在（－∞，－1)，（－1,1)上为单调减函数，在(1，3),(3，＋∞)上是单调增函数，所以函数y＝eq\f（1，x2－2x－3)的单调增区间为（－∞，－1），（－1，1),单调减区间为(1,3），(3，＋∞)。7函数单调性的应用一、比较大小例1若函数f（x）＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f（2＋x）成立，试比较f(－1)，f(2)，f（4）的大小．解依题意可知f（x）的对称轴为x＝2，∴f(－1）＝f(5）．∵f(x）在[2，＋∞)上是单调增函数，∴f（2)〈f(4)<f(5）,即f（2）<f(4）<f（－1)．评注（1）利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；（2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．二、解不等式例2已知函数f(x）为R上的单调减函数，则满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f（1，x)））))〈f(1）的实数x的取值范围是____________．解析由f（x）为R上的单调减函数且feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f(1,x))））)<f(1），得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))>1，，x≠0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（｜x|〈1，，x≠0。）)∴－1<x<0或0<x〈1。答案(－1,0）∪（0，1)三、求参数的值或取值范围例3已知a>0，函数f(x）＝x3－ax是区间[1,＋∞）上的单调函数，求实数a的取值范围．解任取x1，x2∈［1，＋∞）,且x1〈x2，则x2－x1>0.f(x2)－f(x1）＝(xeq\o\al（3,2)－ax2）－(xeq\o\al(3,1）－ax1）＝(x2－x1)(xeq\o\al(2，1）＋x1x2＋xeq\o\al(2，2）－a)．∵1≤x1<x2,∴xeq\o\al(2，1）＋x1x2＋xeq\o\al（2,2)〉3.显然不存在常数a，使(xeq\o\al(2，1)＋x1x2＋xeq\o\al（2,2)－a）恒为负值．又f(x)在［1，＋∞)上是单调函数,∴必有一个常数a，使xeq\o\al(2，1）＋x1x2＋xeq\o\al(2,2)－a恒为正数，即xeq\o\al（2,1）＋x1x2＋xeq\o\al（2，2)〉a.当x1，x2∈［1，＋∞）时，xeq\o\al(2，1)＋x1x2＋xeq\o\al(2，2)>3，∴a≤3。此时，∵x2－x1〉0,∴f（x2)－f(x1）>0，即函数f（x）在［1,＋∞)上是单调增函数,∴a的取值范围是（0，3]．四、利用函数单调性求函数的最值例4已知函数f（x）＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1）当a＝4时，求f(x)的最小值;（2)当a＝eq\f（1,2)时，求f（x)的最小值；(3)若a为正常数,求f(x）的最小值．解（1）当a＝4时，f（x）＝x＋eq\f(4,x)＋2，易知，f（x)在［1,2］上是单调减函数，在［2,＋∞）上是单调增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6。(2）当a＝eq\f(1,2）时，f（x)＝x＋eq\f（1，2x）＋2.易知，f（x）在[1，＋∞)上为单调增函数．∴f(x）min＝f(1)＝eq\f(7,2）.（3）函数f（x)＝x＋eq\f（a，x)＋2在（0，eq\r(a)］上是单调减函数，在[eq\r（a),＋∞）上是单调增函数．若eq\r(a）〉1，即a〉1时，f(x）在区间[1,＋∞)上先减后增，∴f(x)min＝f(eq\r（a））＝2eq\r（a)＋2.若eq\r（a）≤1，即0〈a≤1时，f(x）在区间［1,＋∞)上是单调增函数，∴f(x）min＝f(1)＝a＋3.8例析函数的值域求函数值域的常用方法:配方法、换元法、单调性法、判别式法、不等式法、数形结合法、有界性法、分离常数法．例1求下列函数的值域．(1）y＝eq\f（x2－x，x2－x＋1)；（2)y＝2x－1－eq\r(13－4x)。解（1）方法一(配方法）∵y＝1－eq\f（1，x2－x＋1)，又x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2））)2＋eq\f（3,4)≥eq\f（3,4)，∴0<eq\f(1,x2－x＋1)≤eq\f(4,3),∴－eq\f(1,3）≤y〈1.方法二（判别式法）由y＝eq\f（x2－x，x2－x＋1)，x∈R,得（y－1）x2＋(1－y)x＋y＝0.当y＝1时，x∈∅.当y≠1时，∵x∈R,∴Δ＝(1－y）2－4y（y－1)≥0，∴－eq\f（1,3）≤y<1.∴函数的值域为eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,3)，1))。（2）方法一(换元法）设eq\r（13－4x）＝t,则t≥0，x＝eq\f(13－t2,4），于是f(x）＝g(t）＝2·eq\f（13－t2，4）－1－t＝－eq\f(1,2)t2－t＋eq\f（11，2）＝－eq\f（1,2）（t＋1)2＋6，显然函数g(t）在[0，＋∞)上是单调减函数，所以g（t)≤g（0)＝eq\f（11,2)，因此原函数的值域是eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（11，2)））.方法二(单调性法）函数的定义域是eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜x≤\f(13，4）)),当自变量x增大时,2x－1增大，eq\r（13－4x）减小，所以2x－1－eq\r（13－4x）增大,因此函数f（x)＝2x－1－eq\r(13－4x)在其定义域上是一个单调增函数，所以当x＝eq\f(13，4)时,函数取得最大值feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（13，4）)）＝eq\f(11，2），故原函数的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－∞，\f（11,2）))。例2求函数y＝eq\f（10x＋10－x,10x－10－x)的值域．解（有界性)因为y＝eq\f(10x＋10－x，10x－10－x）＝eq\f（102x＋1，102x－1)，所以102x＝eq\f(y＋1，y－1)（y≠1）．又因为102x>0，所以eq\f(y＋1,y－1）〉0。解得y>1或y〈－1，所以值域为(－∞，－1）∪（1,＋∞)．例3求函数y＝eq\f（3＋x，4－x)的值域．解∵y＝eq\f（3＋x,4－x)＝eq\f(x－4＋7，4－x)＝－1－eq\f（7，x－4），又∵eq\f(7,x－4）≠0，∴y＝－1－eq\f(7，x－4）≠－1，即函数的值域为（－∞，－1)∪（－1，＋∞).9函数奇偶性的判定方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法．一、定义域判定法例1判断函数f(x）＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)的奇偶性．分析一个函数是奇（偶）函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件．若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数．解要使函数f（x)有意义，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，，x＋1≥0。）)解得x≥1，即定义域是{x|x≥1}．因为定义域不关于原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．评注用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性．二、变式法例2判断f(x）＝eq\f(\r（1＋x2)＋x－1,\r(1＋x2)＋x＋1）的奇偶性．分析直接验证f（－x)＝±f（x）有困难，可转化为验证eq\f（f－x，fx）＝±1（f(x)≠0)．解f(x)的定义域为R，关于原点对称．当x＝0时，f(x）＝0，图象过原点．因为当x≠0时，eq\f(f－x,fx）＝eq\f(1＋x2－x＋12,1＋x2－x－12）＝－1，所以f(－x)＝－f（x）．又f（0)＝0，所以函数f（x)为奇函数．评注为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f(－x）＝±f(x）转化为验证其变式：f（x）±f(－x）＝0或eq\f(f－x，fx）＝±1（f(x）≠0)．三、图象法例3判断函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋2，x＜－1，，0,－1≤x≤1，,－x＋2，x＞1)）的奇偶性．分析本题可用图象法较为直观地判断．解作出函数f(x)的图象，如图所示．因为函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f(x）为偶函数．评注一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数。10函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质,在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明．一、求函数的解析式例1已知f（x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x）＝x(1＋eq\r（3，x))，求f(x)的解析式．分析要求f(x）在R上的解析式，条件已给出f(x）在（0,＋∞）上的解析式，还需求当x≤0时f（x)对应的解析式．解因为x∈（－∞，0)时,－x∈(0,＋∞)，所以f(－x)＝－x（1＋eq\r(3,－x))＝－x(1－eq\r(3，x)），因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f（－x）＝x（1－eq\r(3,x)），x∈(－∞，0）．在f(－x）＝－f（x）中,令x＝0，得f(0)＝0.所以f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＋\r（3,x），x＞0，，0,x＝0,,x1－\r（3，x），x＜0。)）评注利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型,其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；（2）化，即将x转化到已知区间上；(3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式．二、求参数的值例2已知函数f(x)是R上的奇函数,当x≥0时，f（x)＝x(x＋1），若给出一个实数a，a＜0,有f(a)＝－2，则实数a＝________。分析根据已知条件当x≥0时，函数f（x)＝x(x＋1）≥0,由于f（a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式．解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x）＝－x(1－x)．又f（x）为奇函数,所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x）．令f（a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0。解得a＝－1或a＝2(舍去)．答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键．三、求参数的范围例3定义在(－2，2）上的偶函数f（x)在区间［0,2）上是单调减函数，若f(1－m)＜f（m）,求实数m的取值范围．解因为f(x)是偶函数，所以f（1－m）＝f（｜1－m|)，f（m）＝f(|m|)．又f（1－m)＜f(m),所以f(|1－m|)＜f（｜m｜）．由f（x）在区间[0，2）上是单调减函数，得0≤｜m|＜｜1－m｜＜2.解得－1＜m＜eq\f（1，2).故实数m的取值范围是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－1，\f(1，2)））.评注本题利用了偶函数的性质：若函数f(x）是偶函数，则恒有f（x)＝f（|x|），从而达到简捷求解的目的.11函数单调性、奇偶性联袂解题单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下面的密切联系:(1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数问题．下面分类举例说明．一、比较大小例1已知函数f(x)是偶函数，且在区间［0,1]上是单调减函数，则f(－0.5）、f(－1)、f(0)的大小关系是________________________________________________________________________．解析因为函数f（x）是偶函数，所以f(－0。5）＝f(0.5），f（－1)＝f（1)．又因为f(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以f（－1)＜f（－0.5)＜f（0)．答案f（－1)＜f(－0.5）＜f（0)评注比较两个函数值大小时，如果两个自变量的值不在同一单调区间上，则需要利用奇偶性来进行转化．二、求函数最值例2若偶函数f(x)在区间［3，6］上是单调增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上的最大值为________．解析因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是单调增函数，所以f(x）在区间［－6，－3]上是单调减函数．因此，f（x)在区间［－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6)＝9。答案9评注应用单调性和奇偶性的联系求最值时,一定要确定是最大值还是最小值．三、解不等式例3若函数f（x）是奇函数,且在（－∞,0)上是单调增函数，又f(－2）＝0,则x·f(x)＜0的解集是________．解析因为函数f(x）是奇函数，且在（－∞，0）上是单调增函数，又f(－2)＝0,所以可画出符合条件的奇函数f（x)的图象，如图所示．因为x·f（x)＜0，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＞0，fx＜0）)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，fx＞0，））结合图象，得到答案为（－2，0）∪（0，2）．答案(－2,0）∪(0,2)评注本题是单调性和奇偶性的综合应用，并且有较强的抽象性．只要抓住其对称性，分析图象的特点，画出符合条件的图象，就不难使问题得到解决．四、求参数的取值范围例4设定义在(－1，1)上的奇函数f（x)在[0,1)上单调递增，且有f（1－m)＋f（eq\f（1，2）－2m)＜0，求实数m的取值范围．解由于函数f(x）的定义域为（－1，1），则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜1－m＜1，，－1＜\f(1，2）－2m＜1，)）解得0＜m＜eq\f(3，4).又f(1－m)＋f（eq\f（1，2)－2m）＜0，所以f（1－m）＜－f（eq\f（1，2)－2m）．而函数f（x）为奇函数,则有f（1－m）＜f（2m－eq\f(1，2））．因为函数f（x)是奇函数，且在[0,1）上单调递增，所以函数f(x）在定义域(－1，1）上单调递增，则有1－m＜2m－eq\f（1,2)，解得m＞eq\f(1,2），故实数m的取值范围为（eq\f(1，2)，eq\f（3，4))．评注本题通过函数奇偶性和单调性的定义及其相关特征解决问题，这是比较常见的题型之一．12函数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1设f(x）＝x2，在同一坐标系中画出：（1)y＝f(x)，y＝f(x＋1）和y＝f（x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2）y＝f（x)，y＝f（x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解（1）如图1（2）如图2图1图2观察图象得：y＝f(x＋1）的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1）的图象可由y＝f（x)的图象向右平移1个单位长度得到；y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f（x）－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．二、对称变换例2设f（x）＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x）和y＝f(－x）的图象，并观察两个函数图象的关系．解画出y＝f（x）＝x＋1与y＝f（－x）＝－x＋1的图象如图所示．由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．评注函数y＝f(x）的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f（x)的图象关于x轴对称；函数y＝f（x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．三、翻折变换例3设f（x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f（x）和y＝|f(x）｜的图象，并观察两个函数图象的关系．解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x）｜的图象如图2所示．通过观察两个函数图象可知：要得到y＝|f(x）|的图象，需把y＝f(x）的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方,其余部分不变．例4设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f（x)和y＝f（|x｜)的图象,并观察两个函数图象的关系．解y＝f（x)的图象如图1所示．图1图2通过观察两个函数图象可知：要得到y＝f(|x|）的图象，先把y＝f（x）图象在y轴左方的部分去掉,然后