第4章 点的合成运动

第一篇理论力学第4章点的合成运动

第4章点的合成运动前面我们研究点的运动是相对于惯性参考坐标系，当所研究的点相对于不同参考坐标系运动时（即它们之间存在相对运动），就形成了点的合成运动。本节主要学习动点相对于不同参考坐标系运动时的运动方程、速度、加速度之间的几何关系。

4.1点的运动合成在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多，例如沿直线滚动的车轮，在地面上观察轮边缘上点M的运动轨迹是旋轮线，但车厢上观察是一个圆，如图4.1所示，又如在雨天观察雨滴的运动，如果在地面上观察（不计自然风的干扰）雨滴铅锤下落，而行驶的汽车上，雨滴在车窗上留下倾斜的痕迹，如图4.2所示。

图4.1点的合成运动实例图4.2点的合成运动实例

从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动是不同的，它们之间存在运动的合成和分解的关系。一般情况下，将研究的物体看成是动点，动点相对于两个坐标系运动，其中建立在不动物体上的坐标系称为定参考坐标系（简称定系），如建立在地面上的坐标系。另一个坐标系是相对定参考坐标系的运动坐标系，称为动参考坐标系（简称动系）。动点相对于定系运动可以看成是动点相对于动系的运动和动系相对定系的运动的合成。上面的例子中，定系建立在地面上，动点的运动轨迹是旋轮线，动系建立在车厢上，点相对于动系的运动轨迹是一个圆，而车厢是作平移的运动。即动点的旋轮线可以看成圆的运动和车厢平移运动的合成。

研究点的合成运动必须要选定一个动点、两个参考坐标系，三种运动，即一点、两系三运动。一点即所研究的动点（运动物体上的点）；两系即动系（与动点有相对运动）和定系；三运动即绝对运动、相对运动和牵连运动。下面说明一下这三个运动：绝对运动即动点相对于定参考坐标系的运动；相对运动即动点相对于动参考坐标系的运动；牵连运动即动系相对于定系的运动。一般来讲，绝对运动看成是运动的合成，相对运动和牵连运动看成是运动的分解，合成与分解是研究点的合成运动的两个方面，切不可孤立看待，必须用联系的观点去学习。

动点的绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系可以通过动点在定参考坐标系和动参考坐标系中的坐标变换得到。以平面运动为例，设为定系，为动系，为动点，如图4.3所示，图4.3坐标变换关系M点绝对运动方程为

（4-1）M点相对运动方程为

（4-2）牵连运动是动系相对于定系的运动，其运动方程为

（4-3）由图4-3得坐标变换

（4-4）由此可见，绝对运动是由相对运动和牵连运动合成的。

例题4-1半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动，如图4.4所示，已知轮心C的速度为

，试求轮缘上的点M绝对运动方程和相对轮心C的运动方程和牵连运动方程。图4.4

解：沿轮子滚动的方向建立定系oxy，初始时设轮缘上的点M位于y轴上Mo处。在图示瞬时，点M和轮心C的连线与CH所的夹角为

在轮心C建立动系

，点M的相对运动方程为

（1）点M相对运动轨迹方程为

（2）由式（2）知点M的相对运动轨迹为圆。牵连运动为动系

相对于定系oxy的运动，其牵连运动方程为

（3）其中，由于动系作平移，因此动系坐标轴

与定系坐标轴的夹角

。

由式(4-4)得点M绝对运动方程为

（4）点M的绝对运动轨迹为式（4）表示的旋轮线。例题4-2用车刀切削工件直径的端面时，车刀沿水平轴z作往复的运动，如图4.5所示。设定系为oxyz，刀尖在oxy面上的运动方程为

，工件以匀角速度绕z轴转动，动系建立在工件上为

，试求刀尖在工件上画出的痕迹。

图4.5解：由题意知，刀尖为动点，刀尖在工件上画出的痕迹为动点相对运动轨迹。由图4.5得动点相对运动方程为xyy'x'OM

削去时间t，得动点相对运动轨迹方程为则刀尖在工件上画出的痕迹为圆。注意：若求三种运动的速度之间的关系，最直接的方法是式（4-4）对时间求导，即可求出点的相对速度、牵连速度的绝对速度三者之间的关系。

在了解上述三个运动的基础上，下面研究点的三个速度。动点的绝对速度即绝对运动所对应的速度，用表示；动点的相对速度即相对运动所对应的速度，用表示；动点的牵连速度即牵连点的速度，用表示。所谓牵连点即动系上与动点重合的点。下面分析点的绝对速度、相对速度和牵连速度三者之间的关系。图4.6三种运动中矢径的关系

如图图4.6所示，设为定系，为动系，M为动点。动系的坐标原点在定系中的矢径为，动点M在定系上的矢径为，动点M在动系上的矢径为，动系坐标的三个单位矢量为，，，牵连点为（动系上与动点重合的点）在定系上的矢径为，有如下关系：

（4-5）

（4-6）

（4-7）动点M的绝对速度为

（4-8）动点M的相对速度为

（4-9）将式（4-6）和（4-7）代入（4-5）中，因牵连点是动系上的一个确定点，因此的三个坐标，，是常量，得牵连速度

（4-10）从而得相对速度、牵连速度的绝对速度三者之间的关系：

（4-11）

式（4-11）即为点的速度合成定理的公式表述。点的速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对速度等于在同一瞬时的相对速度和牵连速度的矢量和。或者说，点的相对速度、牵连速度、绝对速度三者之间满足平行四边形合成法则，即绝对速度由相对速度和牵连速度所构成平行四边形对角线所确定。应当注意：（1）三种速度有三个大小和三个方向共六个要素，必须已知其中四个要素，才能求出剩余的两个要素。因此只要正确地画出上面三种速度的平行四边形，即可求出剩余的两个要素。（2）动点和动系的选择是关键，一般不能将动点和动系选在同一个参考体上。（3）动系的运动是任意的运动，可以是平动、转动或者是较为复杂运动。

例题4-3汽车以速度

沿直线的道路行驶，雨滴以速度铅直下落，如图4.7所示，试求雨滴相对于汽车的速度。图4.7

解：（1）选择动点、动系动点：淋在车上的雨滴M；定系:建立在地面上(以后不特殊说明定系都建立在地面上)；动系:建立在汽车上。

（2）分析三种运动及速度绝对运动：直线运动，即雨滴的运动。其绝对速度为牵连运动：平动，即汽车的运动。牵连速度相对运动：雨滴相对于汽车的运动，这是未知的，也是要求的。（3）作速度的平行四边形由于绝对速度和牵连速度的大小和方向都是已知的，如图4-7所示，只需将速度和矢量的端点连线便可确定雨滴相对于汽车的速度。故设雨滴相对于汽车速度与铅垂线的夹角为

例题4-4如图4.8所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于水平位置，DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以匀角速度

绕O轴转动，OA=r=10cm，试求当曲柄OA与水平线的夹角

、

、

、

时，T形杆的速度

。图4.8

解：（1）选择动点、动系动点：套筒A；动系：T字形杆；

（2）运动及速度分析绝对运动：圆周运动，即套筒A的运动。绝对速度大小为

绝对速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度

的方向。牵连运动：直线运动，即T字形杆的运动。牵连速度为

。相对速度：直线运动，即套筒A相对T字形杆的运动，

。（3）作速度的平行四边形速度关系如图（4.8）所示，即将已知条件代入得

：

：

：

：

例题4-5曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，其上套有小环M，而小环M又在固定的大圆环上运动，大圆环的半径为R，如图4.9所示。试求当曲柄与水平线成的角

时，小环M的绝对速度和相对曲柄OA的相对速度。解：（1）选择动点、动系动点：小环M。动系：曲柄OA。（2）分析三种运动及速度，小环M的绝对运动是在大圆上的运动，因此小环M绝对速度垂直于大圆的半径R；小环M的相对运动是在曲柄OA上的直线运动，因此小环M相对速度沿曲柄OA并指向O点，牵连运动为曲柄OA的定轴转动，小环M的牵连速度垂直于曲柄OA，如图4.9所示，作速度的平行四边形。即

图4.9小环M的牵连速度为小环M的绝对速度为小环M的相对速度为

例题4-6如图7.10a所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度绕O轴转动，并使滑槽内的直杆AB上下移动，设OAB在一条直线上，轮心C与O轴在水平位置，试求在图示位置时，杆AB的速度。(b)

图4-10a图4-10b解：由于杆AB作平移，所以研究杆AB的运动只需研究其上A点的运动即可。因此选杆AB上的A点为动点，凸轮为动系，地面为定系。

动点A的绝对运动是直杆AB的上下直线运动；相对运动为凸轮的轮廓线，即沿凸轮边缘的圆周运动；牵连运动为凸轮绕O轴的定轴转动，作速度的平行四边形如图4.10a所示。动点A的牵连速度为动点A的绝对速度为动点和动系的选择可以是任意的。本题的另一种解法是：选凸轮边缘上的点A为动点，杆AB为动系，地面为定系。动点A的绝对运动是凸轮绕O轴的定轴转动，绝对速度的方向垂直于OA，水平向右，绝对速度的大小为

动点A的相对运动为沿凸轮边缘的曲线运动，相对速度的方向沿凸轮边缘的切线，牵连运动为直杆AB上下的直线运动，作速度的平行四边形如图4.10b所示。杆AB的速度为动点A的牵连速度，即应当注意：（1）动点和动系不能选在同一个物体上；（2）动点和动系应选在容易判断其相对运动的物体上；否则会使问题变得混乱。（3）无特殊说明，定系应选在地面上。

4.3点的加速度合成定理

4.3.1牵连运动为平移动时点的加速度合成定理

在图4.11中，设

为定系，为动系且作平移，为动点。动点的相对速度为图4.11牵连运动为平移时点的加速度合成

（4-12）动点的相对加速度为

（4-13）

其中，，，为动系坐标，，的单位矢量，由于动系作平移，故，，为常矢量，对时间的导数均为零，

。将速度合成定理式（4-11）对时间求导得动点的绝对加速度为

（4-14）牵连运动为水平移动时点的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度和牵连加速度的矢量和。它与速度合成定理一样满足平行四边形合成法则，即绝对加速度位于相对加速度和牵连加速度所构成平行四边形对角线位置。在求解时也要画加速度平行四边形来确定三种加速度之间的关系。

第4章点的合成运动例题4-7如图4.12a所示，曲柄OA以匀角速度绕定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，滑块A在铅直槽DE内运动，OA=r，曲柄OA与水平线夹角为

，试求图示瞬时，杆BC的速度及加速度

。图4.12a图4.12b图4.12c

解：滑块A为动点，丁字形杆BC为动系，地面为定系。动点A的绝对运动是曲柄OA绕O轴的定轴转动；相对运动为滑块A在铅直槽DE内的直线运动；牵连速度为丁字形杆BC沿水平方向的往复平移

第4章点的合成运动（1）求杆BC的速度作速度的平行四边形，如图4.12b所示。动点A的绝对速度为杆BC的速度为（2）求杆BC的加速度作加速度的平行四边形，如图4.12c所示。动点A的绝对加速度为杆BC的加速度为

例题4-8如图4.13a所示的平面机构中，直杆O1A、O2B平行且等长，分别绕O1、O2轴转动，直杆的A、B连接半圆形平板，动点M沿半圆形平板ABD边缘运动，起点为点B。已知O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm，

，

，试求当时，动点M的绝对速度和绝对加速度。

图4.13a图4.13b

图4.13c

解：根据题意，选半圆形平板ABD为动系，地面为定系。由于直杆O1A、O2B平行且等长，则动系ABD作平移，动点M的牵连速度为

（cm/s）动点M牵连速度的方向垂直于直杆O1A，沿角速度的转动方向。由于动系作曲线运动，动点M的牵连加速度分为切向和法向加速度，即

（cm/s2）动点M的相对速度为同理，动点M的相对加速度也分为切向和法向加速度，即当

时，动点M的相对轨迹为

（cm）而

（cm）则当

时，动点M恰巧运动到半圆形平板ABD最高点，动点M相对速度的方向为水平向左，即

（cm/s）

（cm/s2）

（cm/s2）此时直杆O1A与水平线的夹角为

（1）动点M的绝对速度如图4.13b所示，由速度合成定理的矢量形式向直角坐标轴x、y上投影，得动点M的绝对速度在坐标轴上的投影为

（cm/s）

（cm/s）从而得动点M的绝对速度为

（cm/s）

（2）动点M的绝对速度如图4.13c所示，由牵连运动为平移时点的加速度合成定理的矢量形式向直角坐标轴x、y上投影，得动点M的绝对加速度在坐标轴上的投影为

（cm/s2）

（cm/s2）从而得动点M的绝对加速度为

（cm/s2）

4.3.2牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理

设动系

相对于定系

作定轴转动，角速度矢量为，角加

速度矢量为，如图4.14所示，动系坐标轴的三个单位矢量为，

，，在定系

中是变矢量，对时间的导数矢量端点的速度.图4.14牵连运动为定轴转动时点的加速度合成即

（4-15）

动点M的绝对速度为动点M的牵连速度为动点M的相对速度为动点M的牵连加速度为动点M的相对加速度为由速度合成定理

（4-16）

式（4-16）对时间求导，得动点M的绝对速度为即

（4-17）

（4-18）式中，称为科氏加速度，是科利澳里加速度在1832年给出的，当动系作平移时，其角速度矢量为

，科氏加速度

，式（4-18）就转化为式（4-14）。

式（4-18）为牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度、牵连加速度和科氏加速度的矢量和。牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理适合动系作任何运动的情况，此时动系的角速度矢量可以分解为定系三个轴方向的角速度矢量，，即可。例题4-9刨床的急回机构如图4.15a所示。曲柄OA与滑块A用铰链连接，曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动，滑块A在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1转动。设曲柄OA=r，两个轴间的距离OO1=l，试求当曲柄OA在水平位置时，摇杆O1B的角速度和角加速度。

图4.15a图4.15b

解：根据题意，选滑块A为动点，摇杆O1B为动系，地面为定系。动点A绝对运动为曲柄OA的圆周运动，动点A相对运动沿摇杆O1B的直线运动，牵连运动为摇杆O1B绕固定轴O1转动。（1）求摇杆O1B的角速度当曲柄OA在水平位置时，动点A的绝对速度沿圆周的切线铅锤向上，动点A的相对速度沿摇杆O1B，牵连运动垂直摇杆O1B，作速度的平行四边形，如图4.15a所示。动点A的绝对速度为

（1）动点A的牵连速度为

（2）利用速度的平行四边形的三角关系有

（3）其中

，

，

，

将式（1）和式（2）代入式（3）得摇杆O1B绕固定轴O1转动的角速度，

（4）转向与曲柄OA的角速度相同。动点A的相对速度为

（5）将式（1）代入式（5）得

（6）（2）求摇杆O1B的角加速度由于动系作定轴转动，因此求摇杆O1B的角加速度，应选择牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理。即

（7）

动点A的绝对加速度分为切向加速度和法向加速度，但由于曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动，所以其角加速度

，则有

（8）动点A的牵连加速度为

（9）

（10）动点A的相对加速度大小未知，方向沿摇杆O1B是已知的。动点A的科氏加速度由式（4-18）的矢量形式，大小为

（11）将式（4）和式（6）代入式（11）得

（12）

方向按右手螺旋法则来确定，如图4.15b所示。式（7）的具体表达式为

（13）由图4.15b所示，将式（13）向轴投影，得

（14）将式（8）、（10）和（11）代入式（14）得摇杆O1B的角加速度，即负号说明原假设方向与实际相反，如图4.15b所示，应为逆时针转向。例题4-10例题4-6中求杆AB的加速度。图4.16解：选杆AB上的A点为动点，凸轮为动系，地面为定系。应用牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理，即

（1）

下面分析加速度：动点A的绝对加速度：由于动点A的绝对运动是作直线运动，故其加速度的方向是已知的，大小是未知的。动点A的相对加速度：动点A的相对运动是沿凸轮边缘的圆周运动，故其加速度分为切向加速度和法向加速度。由前面例题求得相对速度为

（2）则相对加速度的法向加速度为

（3）相对加速度的切向加速度的方向沿圆轮的切线，指向任意；的大小是未知的。牵连加速度：因为凸轮以匀角速度绕O轴转动，所以牵连加速度为法向加速度，切向加速度，即

（4）科氏加速度：由式（4-18）的矢量形式得其大小为

（5）将式（2）代入式（5）得

（6）方向按右手螺旋法则来确定，如图4.16所示。式（1）的具体表达式为

（7）由图4.16所示，将式（7）向x轴投影，得

（8）其中，

，将式（3）、（4）和（6）代入式（8）

得杆AB的加速度为

4.4本章小结

1.建立两种坐标系定参考坐标系：建立在不动物体上的坐标系，简称定系。动参考坐标系：建立在运动物体上的坐标系，（简称动系）。2.动点的三种运动绝对运动：动点相对于定参考坐标系运动。相对运动：动点相对于动参考坐标系运动。牵连运动：动参考坐标系相对于定参考坐标系的运动。3.点的速度合成定理在任一瞬时，动点的绝对速度等于在同一瞬时动点的相对速度和牵连速度的矢量和。

4.点的加速度合成定理（1）牵连运动为平移时点的加速度合成定理在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度和牵连加速度的矢量和。在应用速度合成定理和牵连运动为平移时点的加速度合成定理时，应画速度合成和加速度合成的平行四边形，使绝对速度和绝对加速度位于平行四边形对角线的位置。只有画出平行四边形，才能确定三种运动的关系。（2）牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点的相对加速度、牵连加速度和科氏加速度的矢量和。在应用牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理时，一般采用投影法求解。

4.4习题

4-1.如图所示，点M在平面

中运动，运动方程为

t以s计，、以mm计，平面

绕O轴转动，其转动方程为

（rad），试求点M的相对运动轨迹和绝对运动轨迹。4-2.如图所示，汽车A沿半径为150m的圆弧道路，以匀速=45km/h行驶，汽车沿B直线道路行驶，图示瞬时汽车B的速度为=70km/h，加速度为=－3m/s2。试求汽车A相对汽车B的速度和加速度。

习题4-1图习题4-2图

4-3.如图所示的两种机构（a）和（b）中，已知

，试求图示瞬时杆

的角速度。

习题4-3图

习题4-4图4-4.如图所示的机构中，杆AB以匀速v沿铅直导槽向上运动，摇杆OC穿过套筒A，OC=a，导槽到O的水平距离为l